tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省广州市华南师大附中2015届高考数学“临门一脚”试卷(理科)


广东省广州市华南师大附中 2015 届高考数学“临门一脚”试卷(理 科)
一、选择题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1. (3 分)定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆为若干个 不同的单位分数之和. 如:1= + + ,1= + + + 1= + + 则 A. + + + + + + + + + + ,1= + +

+ + ,…依此类推可得:
*

, 其中 m≤n, m, n∈N . 设 1≤x≤m, 1≤y≤n,

的最小值为() B. C. D.

2. (3 分)定义区间(a,b) ,[a,b) , (a,b],[a,b]的长度均为 d=b﹣a,多个区间并集的长 度为各区间长度之和,例如, (1,2)∪[3,5)的长度 d=(2﹣1)+(5﹣3)=3.用[x]表示不 超过 x 的最大整数,记{x}=x﹣[x],其中 x∈R.设 f(x)=[x]{x},g(x)=x﹣1,当 0≤x≤k 时, 不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 5,则 k 的值为() A.6 B. 7 C. 8 D.9 3. (3 分)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},则 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 其元素都是“孤立元”的集合个数是() A.6 B.15 C.20 D.25 4. (3 分) 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别为 (0, 0, 2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面 体的正视图和俯视图分别为()

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

5. (3 分)现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是() A.152 B.126 C.90 D.54

二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 6. (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(﹣5,a)作圆 x +y ﹣2ax+2y﹣1=0 的两条切 线,切点分别为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,且 + =0,则实数 a 的值为.
2 2

7. (3 分)设(x﹣1) (x+2) =a0x +a1x +…+anx+a12,则 a2+a4+…+a12=. 8. (3 分)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相连的着色方案如图所示:由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着 色方案共有种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种, (结果用数值表示)

4

8

12

11

三、解答题(共 15 小题,满分 122 分) 9.已知在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b(b﹣ 且∠B 为钝角. (Ⅰ)求角 A 的大小,并求出角 C 的范围; (Ⅱ)若 a= ,求 b﹣ c 的取值范围.

c)=(a﹣c) (a+c) ,

10. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α, 值. ,

(x∈R)的图象经过点





,求 cos(α﹣β)的

11. (12 分)为备战 2016 年奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练,现分别从他们的 强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3; 乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5. (1)现要从中选派一人参见奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由; (2)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及均值 E(ξ) . 12.如图,直二面角 D﹣AB﹣E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB= CE 上的点,且 BF⊥CE,G 为 AC 中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BGF; (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣E 的平面角正弦的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. ,F 为

13.已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视为直角三角形, 俯视图为正方形. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)若 E 是侧棱 PA 上的动点.问:不论点 E 在 PA 的任何位置上,是否都有 BD⊥CE?请 证明你的结论? (3)求二面角 D﹣PA﹣B 的余弦值.

14. (14 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3, 点 D、 E 分别是边 AB、 AC 上的点, 且满足 (如图 1) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角,连结 A1B、A1C (如图 2) .

(1)求证:A1D 丄平面 BCED; (2)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°?若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由. 15. (14 分)已知数列{an}是公比为 的等比数列,数列{bn}满足 a1=
2 +

b1=1,且

an+1 =

,bn+1=1+

,n∈N ,若 cn=



(1)求证:数列{cn}是等差数列,并求出{cn}的通项公式; (2)记数列{cn}的前 n 项和为 Sn,若对于?n∈N ,不等式 k 的取值范围. 16. (14 分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表.记表中第 一列数 a1, a2, a4, a7, …构成的数列为{bn}, b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 且满足 2bn=bnSn 2 * ﹣Sn (n≥2,n∈N ) . (1)证明数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
+

ai

≤k﹣

恒成立,求实数

(2)图中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比为同一个 正数.当 a81=﹣ 时,求上表中第 k(k≥3)行所有数的和.

17.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4Sn=an +2an(n∈N ) . (1)求 a1 的值及数列{an}的通项公式; (2)记数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< (n∈N ) .
*

2

*

18.已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点 F 和上顶

点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

19. (14 分)如图,已知点 S(﹣2,0)和圆 O:x +y =4,ST 是圆 O 的直径,从左到右 M、 O 和 N 依次是 ST 的四等分点, P (异于 S, T) 是圆 O 上的动点, PD⊥ST, 交 ST 于 D, =λ 直线 PS 与 TE 交于 C,|CM|+|CN|为定值. (1)求点 C 的轨迹曲线 Γ 的方程及 λ 的值; (2) 设 n 是过原点的直线, 直线 l 与 n 垂直相交于 Q 点, l 与轨迹 Γ 相交于 A, B 两点, 且| 否存在直线 l,使 ? |=1. 是 ,

2

2

=1 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

20. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B,C 是椭圆

+

=1(a>b>0)

上不同的三点,A(3



) ,B(﹣3,﹣3) ,C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA

上. (1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A,B,C)且直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M,N 两点, 证明 ? 为定值并求出该定值.

21.设函数 f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣bx,其中 a 和 b 是实数,曲线 y=f(x)恒与 x 轴相 切于坐标原点. (1)求常数 b 的值; (2)当 0≤x≤1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: ( )
10000.4

<e<(



1000.5



22. (14 分)已知函数 f(x)=2(a﹣1)ln(x﹣1)+x﹣(4a﹣2)lnx,其中实数 a 为常数. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; x (Ⅱ)设函数 y=f(e )有极大值点和极小值点分别为 x1、x2,且 x2﹣x1>ln2,求 a 的取值范 围. 23. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣xlnx,g(x)=f(x)﹣xf′(a) ,其中 f′(a)表示函数 f(x) 在 x=a 处的导数,a 为正常数. (1)求 g(x)的单调区间; (2)对任意的正实数 x1,x2,且 x1<x2,证明: (x2﹣x1)f′(x2)<f(x2)﹣f(x1)<(x2 ﹣x1)f′(x1) ; (3)对任意的 n∈N ,且 n≥2,证明:
*



广东省广州市华南师大附中 2015 届高考数学“临门一脚” 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1. (3 分)定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆为若干个 不同的单位分数之和. 如:1= + + ,1= + + + 1= + + 则 A. + + + + + + + + + + ,1= + + + + ,…依此类推可得:
*

, 其中 m≤n, m, n∈N . 设 1≤x≤m, 1≤y≤n,

的最小值为() B. C. D.

考点: 归纳推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 由题意,m=13,n=4×5=20,则 小值. 解答: 解:由题意,m=13,n=4×5=20,则 ∵1≤x≤m,1≤y≤n, ∴y=1,x=13 时, 的最小值为 , =1+ , =1+ ,可得 y=1,x=13 时, 取得最

故选:C. 点评: 本题考查归纳推理,考查学生的计算能力,取得 m,n 的值是关键. 2. (3 分)定义区间(a,b) ,[a,b) , (a,b],[a,b]的长度均为 d=b﹣a,多个区间并集的长 度为各区间长度之和,例如, (1,2)∪[3,5)的长度 d=(2﹣1)+(5﹣3)=3.用[x]表示不 超过 x 的最大整数,记{x}=x﹣[x],其中 x∈R.设 f(x)=[x]{x},g(x)=x﹣1,当 0≤x≤k 时, 不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 5,则 k 的值为() A.6 B. 7 C. 8 D.9 考点: 函数单调性的性质;函数的值域. 专题: 计算题;新定义. 2 分析: 先化简 f(x)=[x]?{x}=[x]?(x﹣[x])=[x]x﹣[x] ,再化简 f(x)<g(x) ,再分类 讨论:①当 x∈[0,1)时,②当 x∈[1,2)时③当 x∈[2,3)时,从而得出 f(x)<g(x) 在 0≤x≤k 时的解集的长度,依题意即可求得 k 的值. 2 解答: 解:f(x)=[x]?{x}=[x]?(x﹣[x])=[x]x﹣[x] ,g(x)=x﹣1, 2 2 f(x)<g(x)?[x]x﹣[x] <x﹣1 即([x]﹣1)x<[x] ﹣1, 当 x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为 x>1,

∴x∈?; 当 x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为 0>0, ∴x∈?; 当 x∈[2,3)时,[x]=2,[x]﹣1>0,上式可化为 x<[x]+1=3, ∴当 x∈[0,3)时,不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 d=3﹣2=1; 同理可得,当 x∈[3,4)时,不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 d=4﹣2=2; ∵不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度为 5, ∴k﹣2=5, ∴k=7. 故选 B. 点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用,同时考查了创新能力,以及分类讨论的思想和 转化思想,属于中档题. 3. (3 分)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},则 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 其元素都是“孤立元”的集合个数是() A.6 B.15 C.20 D.25 考点: 分类加法计数原理;元素与集合关系的判断;排列、组合的实际应用. 专题: 集合;排列组合. 分析: 若集合 S 的子集的 3 个元素都是“孤立元”,则三元素两两不相邻,可采用间接法,即 先不考虑相邻与否,算出 S 的所有三元素子集的个数,再从中去掉只有两个元素相邻和三个 元素都相邻的三元素子集个数. 解答: 解:S 的所有三元素子集共有 个,

三元素中只有两个相邻的有两类:一是若 1、2,或 7、8 相邻,则只需再从与之不相邻的 5 个 元素中任取一个,共有 2 =10 个;二是若 2、3 或 3、4 或 4、5 或 5、6 或 6、7 相邻,则需 =20 个;

从与之不相邻的四个元素中再任取一个,共 5

三元素都相邻的共有 6 个(即:123,234,345,456,567,678) ; 所以符合题意三元素子集共 ﹣10﹣20﹣6=20 个.

故选 C 点评: 这个题以集合知识为载体,重点考查利用组合知识解决问题的能力. 4. (3 分) 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别为 (0, 0, 2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面

体的正视图和俯视图分别为()

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 解答: 解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视 图和俯视图分别为④②, 故选:D.

点评: 本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题. 5. (3 分)现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是() A.152 B.126 C.90 D.54 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三 项工作之一,②甲乙不同时参加一项工作;分别由排列、组合公式计算其情况数目,进而由 分类计数的加法公式,计算可得答案. 1 3 解答: 解: 根据题意, 分情况讨论, ①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一: C3 ×A3 =18 种; ②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为 2 种小情况; 2 2 2 1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作,有 A3 ×C3 ×A2 =3×2×3×2=36 种; 2 1 1 2 2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作:A3 ×C3 ×C2 ×A2 =72 种;

由分类计数原理,可得共有 18+36+72=126 种, 故选 B. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,注意要根据题意,进而按一定顺序分情况讨论. 二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 2 2 6. (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(﹣5,a)作圆 x +y ﹣2ax+2y﹣1=0 的两条切 线,切点分别为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,且 或﹣2. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和,进而可得两斜率乘积为﹣1,可 得 P,Q,R,T 共线,即可求出实数 a 的值. 解答: 解:设 MN 中点为 Q(x0,y0) ,T(1,0) ,圆心 R(a,﹣1) , 根据对称性,MN⊥PR, = = = , + =0,则实数 a 的值为 3

∵kMN=



+

=0

∴kMN?kTQ=﹣1, ∴MN⊥TQ, ∴P,Q,R,T 共线, ∴kPT=kRT, 即
2



∴a ﹣a﹣6=0, ∴a=3 或﹣2. 故答案为:3 或﹣2. 点评: 本题考查实数 a 的值,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 7. (3 分)设(x﹣1) (x+2) =a0x +a1x +…+anx+a12,则 a2+a4+…+a12=7. 考点: 二项式系数的性质;二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 分别令 x=1 与 x=﹣1 即可求得 a0+a2+a4+…+a12 的值,而 a0=1,从而可得答案. 4 8 12 11 解答: 解:∵(x﹣1) (x+2) =a0x +a1x +…+a11x+a12, ∴当 x=1 时,a0+a1+a2+…+a12=0,① 当 x=﹣1 时,a0﹣a1+a2﹣…﹣a11+a12=16,② ①+②得:2(a0+a2+a4+…+a12)=16,
4 8 12 11

∴a0+a2+a4+…+a12=8; 12 又含 x 项的系数为 1,即 a0=1, ∴a2+a4+…+a12=7. 故答案为:7. 点评: 本题考查二项式定理的应用,考查二项式系数的性质,突出赋值法的应用,属于中 档题. 8. (3 分)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相连的着色方案如图所示:由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着 色方案共有 21 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种, (结果用数值表示)

考点: 归纳推理;计数原理的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据所给的涂色的方案,观测相互之间的方法数,得到规律,根据这个规律写出当 n 取不同值时的结果数;利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案, 得到结果. 解答: 解:由题意知当 n=1 时,有 2 种, 当 n=2 时,有 3 种, 当 n=3 时,有 2+3=5 种, 当 n=4 时,有 3+5=8 种, 当 n=5 时,有 5+8=13 种, 当 n=6 时,有 8+13=21 种, 6 当 n=6 时,黑色和白色的小正方形共有 2 种涂法, 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种结果, ∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 64﹣21=43 种结果, 故答案为:21;43 点评: 本题考查简单的排列组合及简单应用,考查观察规律,找出结果的过程,是一个比 较麻烦的题目,当作为 2015 届高考题目比前几年的排列组合问题不难. 三、解答题(共 15 小题,满分 122 分) 9.已知在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b(b﹣ 且∠B 为钝角. (Ⅰ)求角 A 的大小,并求出角 C 的范围;

c)=(a﹣c) (a+c) ,

(Ⅱ)若 a= ,求 b﹣

c 的取值范围.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)把已知的等式变形,然后利用余弦定理求得 cosA,再结合角 A 的范围求 A, 再由∠B 为钝角可得 C 的范围; (Ⅱ)利用正弦定理得到 b=sinB,c=sinC,代入 b﹣ c 后利用辅助角公式化积,再由 C 的 范围得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 b(b﹣ 得 , c)=(a﹣c) (a+c) ,得 ,

于是 又 A∈(0,π) ,∴A= ∵B 为钝角,于是 A+C



,又 A=

,∴



(Ⅱ)由正弦定理可知,



∴b=sinB,c=sinC.

= 又0 ∴ ,

, , .

点评: 本题考查三角形的解法,考查了正弦定理和余弦定理的应用,训练了两角和与差的 余弦公式,是中低档题. (x∈R)的图象经过点

10. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α, 值. ,





,求 cos(α﹣β)的

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的余弦函数.

专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式,代入点 函数 f(x)的解析式. (2)由 f(x)= 换化简 可由 可得 sinβ 的值, 结合范围 解得 sinα 的值,利用三角函数恒等变 , 利用同角三角函 的坐标,解得 a 的值,从而可求

数关系式可求 cosα,cosβ 的值,由两角和与差的余弦函数公式即可得解. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由函数 f(x)的图象经过点 则 因此 (2) ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ , , , . , , , .解得 a=﹣1, . = = , , ,

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,两角和与差的余弦函 数公式,同角三角函数关系式的应用,属于中档题. 11. (12 分)为备战 2016 年奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练,现分别从他们的 强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3; 乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5. (1)现要从中选派一人参见奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由; (2)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及均值 E(ξ) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差;离散型随机变量及其分布列.

专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)求平均数 =8.5, =8.5;再求标准差 S 甲≈0.52,S 乙≈0.64;从而确定;

(2)对于乙射击选手,每次射击不低于 8.5 分的概率为 ,从而求 ξ 分布列及数学期望. 解答: 解: (1) = S甲 = = =8.5; =8.5,

≈0.52, S 乙≈0.64; 甲射击选手更稳定一些,故派甲选手参加合理. (2)对于乙射击选手,每次射击不低于 8.5 分的概率为 , 故 ξ 分布列为 ξ P 故 E(ξ)= + ×2+ ×3= . 点评: 本题考查了离散型随机变量的期望及分布列的求法,计算量比较大,属于中档题. 12.如图,直二面角 D﹣AB﹣E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB= CE 上的点,且 BF⊥CE,G 为 AC 中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BGF; (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣E 的平面角正弦的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. ,F 为

0

1

2

3

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

分析: (1)证明 CB⊥平面 ABE.然后证明 BF⊥AC.BG⊥AC.利用直线与平面垂直的判 定定理证明 AC⊥平面 BGF. (2)连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG,说明∠BGF 是二面角 B﹣AC﹣E 的平面角,通过求解 直角△ BFG,得到二面角 B﹣AC﹣E 的平面角正弦值. (3)过点 E 作 EO⊥AB 交 AB 于点 O,OE=1.利用 VD﹣ACE=VE﹣ACD,求解点 D 到平面 ACE 的距离. 解答: (1)证明:∵二面角 DABE 为直二面角,且 CB⊥AB,∴CB⊥平面 ABE. ∴CB⊥AE.又∵AE=EB= ,AB=2∴EB⊥AE. ∴AE⊥平面 BCE.∴BF⊥AE.又∵BF⊥CE. ∴BF⊥平面 ACE∴BF⊥AC.又∵BG⊥AC. ∴AC⊥平面 BGF; …(4 分) (2)解:连结 BD 交 AC 于 G,连结 FG, ∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG⊥AC,BG= .∵BF⊥平面 ACE, 由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC,∴∠BGF 是二面角 B﹣AC﹣E 的平面角.…(6 分) 由(1)AE⊥平面 BCE,又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形 AEB 中,BE= . 又∵直角△ BCE 中, ,BF= = = ,

∴直角△ BFG 中,sin∠BGF=

=

=

. ;…(10 分)

∴二面角 B﹣AC﹣E 的平面角正弦值为:

(3)解:过点 E 作 EO⊥AB 交 AB 于点 O,OE=1. ∵二面角 D﹣AB﹣E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h, ∵VD﹣ACE=VE﹣ACD,∴ ∵AE⊥平面 BCE,∴AE⊥EC. = S△ ACD?EO.…(12 分)

∴h=

=

=



∴点 D 到平面 ACE 的距离为

.…(14 分)

点评: 本题考查二面角的平面角的求法,找出二面角的平面角是求解角的关键,同时考查 点、线、面之间距离,考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空 间想象能力以及计算能力. 13.已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视为直角三角形, 俯视图为正方形. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)若 E 是侧棱 PA 上的动点.问:不论点 E 在 PA 的任何位置上,是否都有 BD⊥CE?请 证明你的结论? (3)求二面角 D﹣PA﹣B 的余弦值.

考点: 由三视图求面积、体积;棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合 题. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)根据三视图的数据,结合三视图的特征直接求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)若 E 是侧棱 PA 上的动点.不论点 E 在 PA 的任何位置上,都有 BD⊥CE,说明 BD⊥平 面 PAC,都有 CE?平面 PAC,即可. (3)在平面 DAP 过点 D 作 DF⊥PA 于 F,连接 BF.说明∠DFB 为二面角 D﹣AP﹣B 的平面 角,在△ DFB 中,求二面角 D﹣PA﹣B 的余弦值. 解答: 解: (1)由三视图可知,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2 ∴ S 正方形 ABCD?PC= . (4 分)

(2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE(5 分) 证明:连接 AC,∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,∴BD⊥PC. (6 分) 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC(7 分) ∵不论点 E 在何位置,都有 CE?平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 BD⊥CE. (9 分) (3)在平面 DAP 过点 D 作 DF⊥PA 于 F, 连接 BF∵ ,AD=AB=1,

∴Rt△ ADP≌Rt△ ABP∴∠PAD=∠PAB, 又 AF=AF,AB=AD 从而△ ADF≌△ABF,∴BF⊥AP.∴∠DFB 为二面角 D﹣AP﹣B 的平面角(12 分) 在 Rt△ ACP 中, 故在 Rt△ ADP 中, 又 ,在△ DFB 中, . . (14 分) .

由余弦定理得: 所以二面角 D﹣PA﹣B 的余弦值为

点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形 状是解题的关键,同时注意:空间想象能力,逻辑思维能力的培养.

14. (14 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3, 点 D、 E 分别是边 AB、 AC 上的点, 且满足 (如图 1) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角,连结 A1B、A1C (如图 2) .

(1)求证:A1D 丄平面 BCED; (2)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°?若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由. 考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角;空间向量及应用.

分析: (1) 等边△ ABC 中, 根据
2 2 2

得到 AD=1 且 AE=2, 由余弦定理算出 DE=



从而得到 AD +DE =AE ,所以 AD⊥DE.结合题意得平面 A1DE⊥平面 BCDE,利用面面垂 直的性质定理,可证出 A1D 丄平面 BCED; (2)作 PH⊥BD 于点 H,连接 A1H、A1P,由 A1D 丄平面 BCED 得 A1D 丄 PH,所以 PH⊥ 平面 A1BD, 可得∠PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角, 即∠PA1H=60°. 设 PB=x (0≤x≤3) , 分别在 Rt△ BA1H、Rt△ PA1H 和 Rt△ DA1H 中利用三角函数定义和勾股定理,建立等量关系 得 1 +(2﹣ x) =( x) ,解之得 x= ,从而得到在 BC 上存在点 P 且当 PB= 时,直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°. 解答: 解: (1)∵正△ ABC 的边长为 3,且 ∴AD=1,AE=2, △ ADE 中,∠DAE=60°,由余弦定理,得 DE=
2 2 2 2 2 2

=

=

=

∵AD +DE =4=AE ,∴AD⊥DE. 折叠后,仍有 A1D⊥DE ∵二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角,∴平面 A1DE⊥平面 BCDE 又∵平面 A1DE∩平面 BCDE=DE,A1D?平面 A1DE,A1D⊥DE ∴A1D 丄平面 BCED; (2)假设在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60° 如图,作 PH⊥BD 于点 H,连接 A1H、A1P 由(1)得 A1D 丄平面 BCED,而 PH?平面 BCED 所以 A1D 丄 PH ∵A1D、BD 是平面 A1BD 内的相交直线, ∴PH⊥平面 A1BD 由此可得∠PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角,即∠PA1H=60° 设 PB=x(0≤x≤3) ,则 BH=PBcos60°= ,PH=PBsin60°= 在 Rt△ PA1H 中,∠PA1H=60°,所以 A1H= , 在 Rt△ DA1H 中,A1D=1,DH=2﹣ x 由 A1D +DH =A1H ,得 1 +(2﹣ x) =( x) 解之得 x= ,满足 0≤x≤3 符合题意 所以在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°,此时 PB= .
2 2 2 2 2 2

x

点评: 本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题, 着重考查了线面垂直、 面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识, 属于中档题.

15. (14 分)已知数列{an}是公比为 的等比数列,数列{bn}满足 a1=
2 +

b1=1,且

an+1 =

,bn+1=1+

,n∈N ,若 cn=



(1)求证:数列{cn}是等差数列,并求出{cn}的通项公式; (2)记数列{cn}的前 n 项和为 Sn,若对于?n∈N ,不等式 k 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)把 bn+1=1+ 右边通分后两边平方,与 an+1 =
2 +

ai

≤k﹣

恒成立,求实数

两边作积即可证得

数列{cn}是等差数列,由等差数列的通项公式求其通项公式; (2)求出数列{cn}的前 n 项和为 Sn,代入 ai 整理,利用错位相减法求其和,由不等式

ai

≤k﹣

分离 k 后求得函数的最大值得答案.

解答: (1)证明:递推关系可变形为: (n∈N ) ,
*



两式相乘得:

(n∈N ) ,即 cn+1=cn+1(n∈N ) ,

*

*



,∴



∴数列{cn}是首项为 ,公差为 1 的等差数列, 故{cn}的通项公式: ;

(2)解:由(1)知道,







ai

=





① ②

由①﹣②得:

=











即对于任意的正整数 n,不等式

恒成立,∴k≥



当 n=1 时,



∴k 的范围是[ ) . 点评: 本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了错位相减法求数列的和,考 查了数列的函数特性,属中高档题.

16. (14 分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表.记表中第 一列数 a1, a2, a4, a7, …构成的数列为{bn}, b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 且满足 2bn=bnSn 2 * ﹣Sn (n≥2,n∈N ) . (1)证明数列{ }是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(2)图中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比为同一个 正数.当 a81=﹣ 时,求上表中第 k(k≥3)行所有数的和.

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 n≥2 时,2bn=bnSn﹣Sn ,得 2(Sn﹣Sn﹣1)=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣
1,两边同除以 2

=﹣SnSn﹣

SnSn﹣1 整理后得

,由此可知数列{

}是等差数列,从而可求得

Sn,根据 Sn 与 bn 的关系可求得 bn; (2)设上表中从第三行起,每行中的数构成的等比数列的公比都为 q,且 q>0.易判断 a81 所在的行和列,借助 bn 可求得公比 q,再根据等比数列的求和公式可求得结果; 2 解答: 解: (1)由已知,当 n≥2 时,2bn=bnSn﹣Sn , 又 Sn=b1+b2+b3+…+bn, ∴2(Sn﹣Sn﹣1)=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣ ∴ ∴数列{ ∴ ∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1= ,又 S1=b1=a1=1. }是首项为 1,公差为 的等差数列. ,则 =﹣ . , =﹣SnSn﹣1,





(2)设上表中从第三行起,每行中的数构成的等比数列的公比都为 q,且 q>0. ∵1+2+…+12= =78,

∴表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项,

故 a81 在表中第 13 行第 3 列,∴ 又 ,∴q=2.



记表中第 k(k≥3)行所有数的和为 Sn,则 =﹣

?

=



点评: 本题考查等差关系的确定、等比数列的通项公式及数列的求和,属中档题,考查学 生分析问题解决问题的能力. 17.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4Sn=an +2an(n∈N ) . (1)求 a1 的值及数列{an}的通项公式; (2)记数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< (n∈N ) .
* 2 *

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过 4Sn=an +2an,令 n=1 可得首项,当 n≥2 时,利用 4an=an +2an﹣(an﹣1 +2an ﹣1)可得公差,进而可得结论; (Ⅱ)通过令 n=1 可得 T1< 满足结论,当 n≥2 时,利用放缩法可得 <
2 2 2

[

?



?

],并项相加即得. +2a1,

解答: (1)解:当 n=1 时,4a1=4S1=

解得 a1=2 或 a1=0(舍去) ; 2 2 当 n≥2 时,4Sn=an +2an,4Sn﹣1=an﹣1 +2an﹣1, 2 2 2 2 相减得 4an=an +2an﹣(an﹣1 +2an﹣1) ,即 an ﹣an﹣1 =2(an+an﹣1) , 又 an>0,∴an+an﹣1≠0,则 an﹣an﹣1=2, ∴数列{an}是首项为 2,公差为 2 的等差数列, ∴an=2n; (Ⅱ)证明:当 n=1 时,T1= = = < ;

当 n≥2 时,

=

=



=

= ?

= {

+[



]

}

= [ ∴Tn< + [ ? = + ( < + ? = + = ;

?

﹣ ﹣

? +

], ﹣ +…+ ? ﹣

] ﹣ ? )

综上,对任意 n∈N ,均有 Tn<

*

成立.

点评: 本题考查求数列的通项、判断数列和的取值范围,注意解题方法的积累,属于中档 题.

18.已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点 F 和上顶

点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 分析: (Ⅰ)在圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 中,令 y=0,得 F(2,0) ,令 x=0,得 B(0,2) , 由此能求出椭圆方程.

(Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0,则

=

=x0+y0,又

,设 b=x0+y0,与 求出 的最大值.
2

联立,得:

,由此能

解答: 解: (Ⅰ)在圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 中, 令 y=0,得 F(2,0) ,即 c=2, 令 x=0,得 B(0,2) ,即 b=2, 2 2 2 ∴a =b +c =8, ∴椭圆 Γ 的方程为: .

2

(Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0, 则 = =(1,1)?(x0,y0) =x0+y0, 又 ,

设 b=x0+y0,与

联立,得: ,

令△ ≥0,得 16b ﹣12(12b ﹣8)≥0, 解得﹣2 . 又点 Q(x0,y0)在第一象限, ∴当 时, 取最大值 2 .

2

2

点评: 本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线 的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归转化及函数与方程等数 学思想. 19. (14 分)如图,已知点 S(﹣2,0)和圆 O:x +y =4,ST 是圆 O 的直径,从左到右 M、 O 和 N 依次是 ST 的四等分点, P (异于 S, T) 是圆 O 上的动点, PD⊥ST, 交 ST 于 D, =λ 直线 PS 与 TE 交于 C,|CM|+|CN|为定值. (1)求点 C 的轨迹曲线 Γ 的方程及 λ 的值; ,
2 2

(2) 设 n 是过原点的直线, 直线 l 与 n 垂直相交于 Q 点, l 与轨迹 Γ 相交于 A, B 两点, 且| 否存在直线 l,使 ?

|=1. 是

=1 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)设出点的坐标,得 可求 λ 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2) 分类讨论, 根据 ? =1, |

,根据|CM|+|CN|为定值,建立条件关系即

|=1, 进行转化, 将 y=kx+m 代入椭圆方程, 利用 x1x2+y1y2=0,

即可得出结论. 解答: 解: (1)由题意,T(2,0) ,M(﹣1,0) ,N(1,0) , 设 P(x0,y0) ,C(x,y) ,则 E(x0, 直线 PS 与 TE 交于 C,故 x≠±2, ) ,

①且

,②

①②相乘得



又点 P 是圆 O 上的动点,故

, (4 分)

要使|CM|+|CN|为定值,则 4﹣

=1,解得 λ= .

此时

(x≠±2) .

即 λ= 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为

(x≠±2) .

(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,假设使 (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 Q 点且| |=1.得 =1,即 m =k +1
2 2

?

=1 成立的直线 l 存在,

∵ ∴

? ?

=1,| =( +

|=1. )?( + )=0

即 x1x2+y1y2=0, 2 2 2 将 y=kx+m 代入椭圆方程,得(3+4k )x +8kmx+(4m ﹣12)=0 由求根公式可得 x1+x2=﹣ ,④x1x2=
2


2

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m , 2 2 2 2 2 2 将④,⑤代入上式并化简得 (1+k ) (4m ﹣12)﹣8k m +m (3+4k )=0⑥ 2 2 2 将 m =1+k 代入⑥并化简得﹣5(k +1)=0,矛盾,即此时直线 l 不存在; (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,满足| |=1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=﹣1,

当 X=1 时,A,B,Q 的坐标分别为(1, ) , (1,﹣ ) , (1,0) , ∴ ∴ =(0,﹣ ) , ? = ≠1 ? ≠1,矛盾,即此时直线 l 也不存在 =(0,﹣ ) ,

当 x=﹣1 时,同理可得 综上可知,使 ?

=1 成立的直线 l 不存在.

点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.

20. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B,C 是椭圆

+

=1(a>b>0)

上不同的三点,A(3



) ,B(﹣3,﹣3) ,C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA

上. (1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A,B,C)且直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M,N 两点, 证明 ? 为定值并求出该定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)将 A,B 坐标代入椭圆方程,求出 a,b,即可求椭圆的标准方程; (2)设点 C(m,n) (m<0,n<0) ,则 BC 中点为( , ) ,求得直线 OA 的方程,

利用点 C 在椭圆上,即可求点 C 的坐标; (3)求出 M,N 的纵坐标,利用点 C 在椭圆上,结合向量的数量积公式,即可求得结论.

解答: (1)解:由已知,得

,解得

…(2 分)

∴椭圆的标准方程为



…(3 分)

(2)解:设点 C(m,n) (m<0,n<0) ,则 BC 中点为( 由已知,求得直线 OA 的方程为 x﹣2y=0,从而 m=2n﹣3.① 2 2 又∵点 C 在椭圆上,∴m +2n =27.② 由①②,解得 n=3(舍) ,n=﹣1,从而 m=﹣5. ∴点 C 的坐标为(﹣5,﹣1) .



) .

…(5 分) …(6 分)

(3)证明:设 P(x0,y0) ,M(2y1,y1) ,N(2y2,y2) . ∵P,B,M 三点共线,∴ ,整理,得 y1= .…(8 分)

∵P,C,N 三点共线,∴ ∵点 C 在椭圆上,∴

,整理,得

.…(10 分) .

,∴

=27﹣

从而 y1y2= ∴ ∴ =5y1y2= . .

=3× = .

…(14 分) …(15 分) …(16 分)

? ?

为定值,定值为

点评: 本题考查椭圆的方程,考查向量的数量积公式,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 21.设函数 f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣bx,其中 a 和 b 是实数,曲线 y=f(x)恒与 x 轴相 切于坐标原点. (1)求常数 b 的值; (2)当 0≤x≤1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: ( )
10000.4

<e<(



1000.5



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)对 f(x)求导,根据条件知 f′(0)=0,即可求常数 b 的值; (2)f′(x)=﹣aln(1+x)+ 性,即可求实数 a 的取值范围; (3)对要证明的不等式等价变形如下: ( )
10000.4

﹣1,f″(x)=﹣

,分类讨论,确定函数的单调

<e<(



1000.5

.所以可以考虑

证明:对于任意的正整数 n,不等式

<e<

恒成立. ﹣b,

解答: (1)解:对 f(x)求导得:f′(x)=﹣aln(1+x)+ 根据条件知 f′(0)=0,所以 1﹣b=0, 所以 b=1. (3 分) (2)解:由(1)得 f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣x,0≤x≤1

f′(x)=﹣aln(1+x)+ f″(x)=﹣ .

﹣1

①当 a≤﹣ 时,由于 0≤x≤1,有 f″(x)≥0,于是 f′(x)在[0.1]上单调递增,从而 f′(x)≥f′ (0)=0,因此 f(x)在[0.1]上单调递增,即 f(x)≥f(0)而且仅有 f(0)=0; ②当 a≥0 时,由于 0≤x≤1,有 f″(x)<0,于是 f′(x)在[0.1]上单调递减,从而 f′(x)≤f′(0) =0,因此 f(x)在[0.1]上单调递减,即 f(x)≤f(0)而且仅有 f(0)=0; ③当﹣ <a<0 时,令 ,当 0≤x≤m 时,f″(x)<0,于是 f′(x)在[0,

m]上单调递减,从而 f′(x)≤f′(0)=0,因此 f(x)在[0,m]上单调递减, 即 f(x)≤f(0)而且仅有 f(0)=0. 综上可知,所求实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]. (8 分) (3)证明:对要证明的不等式等价变形如下: ( )
10000.4

<e<(



1000.5



所以可以考虑证明:对于任意的正整数 n,不等式

<e<

恒成立.

并且继续作如下等价变形

对于(p)相当于(2)中 a=﹣ ∈(﹣ ,0) , f(x)≤f(0)而且仅有 f(0)=0. 取 x= ,当 n≥2 时, (p)成立; 当 n=1 时, (p)成立. 从而对于任意正整数 n 都有(p)成立.

情形,有 f(x)在[0, ]上单调递减,即

对于(q)相当于(2)中 a=﹣ 情形,对于任意 x∈[0,1],恒有 f(x)≥f(0)而且仅有 f(0) =0. 取 x= ,得:对于任意正整数 n 都有(q)成立.

因此对于任意正整数 n,不等式

<e<

恒成立.

这样依据不等式 右边,即可得到( )

<e<
10000.4

,再令 n=10000 利用左边,令 n=1000 利用 )
1000.5

<e<(

成立. (12 分)

点评: 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的单 调性、极值以及函数零点的情况.本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 22. (14 分)已知函数 f(x)=2(a﹣1)ln(x﹣1)+x﹣(4a﹣2)lnx,其中实数 a 为常数. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; x (Ⅱ)设函数 y=f(e )有极大值点和极小值点分别为 x1、x2,且 x2﹣x1>ln2,求 a 的取值范 围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: (I)先对函数 y=f(x)进行求导,然后令导函数大于 0(或小于 0)求出 x 的范围, 根据 f′(x)>0 求得的区间是单调增区间,f′(x)<0 求得的区间是单调减区间,即可得到答 案. (II)由题意可知由题意知,y′=0 有两解.下面分类讨论:当 2a﹣1>2 时;当 1<2a﹣1<2 时;当 2a﹣1=2 时,研究其极值点得到 b 的范围即可. 解答: 解: (1)解:当 a=2 时,f(x)=2ln(x﹣1)+x﹣6lnx, ∴ ,

又∵x>0,x﹣1>0,∴当 2<x<3 时,f′(x)<0,∴函数 f(x) 的单调递减区间为(2,3) . (6 分) (2)∵y=f(e )=2(a﹣1)ln(e ﹣1)+e ﹣(4a﹣2)lne , ∴ 由题意知,y′=0 有两解. 又 e ﹣1>0,∴2a﹣1>1,∴a>1, (9 分) x 当 2a﹣1>2 时,y=f(e )在(0,ln2) , (ln(2a﹣1) ,+∞)上单调递增, 在(ln2,ln(2a﹣1) )单调递减,∴x1=ln2,x2=ln(2a﹣1) ,∵x2﹣x1>ln2,∴ 分) 当 1<2a﹣1<2 时,y=f(e )在(0,ln(2a﹣1) ) , (ln2,+∞)上单调递增,在(ln(2a﹣1) , ln2)单调递减,∴x1=ln(2a﹣1) ,x2=ln2,∵x2﹣x1>ln2,∴a<1,舍去, 当 2a﹣1=2 时,无极值点,舍去,∴ . (15 分)
x x x x x x



, (12

点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识, 考查运算求解能力与转化思想.属于基础题. 23. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣xlnx,g(x)=f(x)﹣xf′(a) ,其中 f′(a)表示函数 f(x) 在 x=a 处的导数,a 为正常数.

(1)求 g(x)的单调区间; (2)对任意的正实数 x1,x2,且 x1<x2,证明: (x2﹣x1)f′(x2)<f(x2)﹣f(x1)<(x2 ﹣x1)f′(x1) ; (3)对任意的 n∈N ,且 n≥2,证明:
*



考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 压轴题. 分析: (1)求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间; (2)先证明 f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)f'(x1) ,f(x2)﹣f(x1)>(x2﹣x1)f'(x2) ,即 可得(x2﹣x1)f'(x2)<f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)f'(x1) ; (3)构造函数 φ(x)= 可得 结论. 解答: (1) 解: f' (x) =﹣lnx, g (x) =x﹣xlnx+xlna, g' (x) =f' (x) ﹣f' (a) =﹣lnx+lna=ln . 所以,x∈(0,a)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;x∈(a,+∞)时,g'(x)<0,g(x) 单调递减. 所以,g(x)的单调递增区间为(0,a],单调递减区间为[a,+∞) . (2)证明:∵f′(x)=﹣lnx, ∴f′(x)在(0,+∞)上是一个减函数, 对任意的正实数 x1,x2,且 x1<x2, 由拉格朗日中值定理,可知,存在 b∈(x1,x2) ,使得 ∴x1<b<x2,又 f′(x)在(0,+∞)上是一个减函数, ∴f′(x2)<f′(b)<f′(x1) , ∴f′(x2)< <f′(x1) , , ,确定 φ(x)在(1,+∞)上单调递减,从而 ,即 ln2lnn≤ln(2+k)ln(n﹣k) ,再利用放缩法,即可证得

∴(x2﹣x1)f′(x2)<f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)f′(x1) . (3)证明:对 k=1,2,…,n﹣2,令 φ(x)= = , ,则 φ′(x)

显然 1<x<x+k,0<lnx<ln(x+k) ,所以 xlnx<(x+k)ln(x+k) ,所以 φ′(x)<0,φ(x) 在(1,+∞)上单调递减. 由 n﹣k≥2,得 φ(n﹣k)≤φ(2) ,即 所以 ln2lnn≤ln(2+k)ln(n﹣k) ,k=1,2,…,n﹣2. .

所以 ≤

= =2

又由(2)知 f(n+1)﹣f(n)<f′(n)=﹣lnn,所以 lnn<f(n)﹣f(n+1) . ∴ln1+ln2+…+lnn<f(1)﹣f(2)+f(2)﹣f(3)+…+f(n)﹣f(n+1)=f(1)﹣f(n+1) =1﹣f(n+1) . 所以, .

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,考查放缩法的 运用,综合性强,难度较大.


推荐相关:

广东省广州市华南师大附中2015届高考数学“临门一脚”试卷(理科)

广东省广州市华南师大附中2015届高考数学临门一脚试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市华南师大附中 2015 届高考数学临门一脚试卷(理科)一、...


广东省广州市华南师大附中2015届高考数学“临门一脚”试卷(理科)

广东省广州市华南师大附中2015届高考数学临门一脚试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市华南师大附中 2015 届高考数学临门一脚试卷(理科)一、...


广东省华南师大附中2015年高考临门一脚数学理试题

广东省华南师大附中2015年高考临门一脚数学理试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三理数临门一脚资料 1. 定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单...


广东省华南师大附中2015年高考临门一脚数学理试题

广东省华南师大附中2015年高考临门一脚数学试题_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三理数临门一脚资料 1. 定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数....


华南师大附中2015届高考临门一脚考前各题型提点(英语)

华南师大附中2015届高考临门一脚考前各题型提点(英语)_高考_高中教育_教育专区。...2014年高考语文北京卷真... 2014年高考理科数学新课... 2014年高考理科数学北京...


2011年华南师大附中高三临门一脚综合测试

2011 年华南师大附中高三临门一脚综合测试 语文试题 一、本大题 4 小题,每小...六所高校中,有 4 所要么是理科生不考语文,要么是全部考生只考数学和英语 ...


广东省华南师大附中2015年高考临门一脚英语试题

广东省华南师大附中2015年高考临门一脚英语试题_高中教育_教育专区。华南师大附中 2015 年高考临门一脚英语 2015 高三考前英语各题型提点 I. 完形填空 关键: 通读...


广东省华南师大附中2014年高考临门一脚(英语)WORD版(2014-6-3)

广东省华南师大附中2014年高考临门一脚(英语)WORD版(2014-6-3)_英语_高中教育...2014年高考语文北京卷真... 2014年高考理科数学新课... 2014年高考理科数学北京...


高考冲刺:广东省华南师大附中高考历史临门一脚

高考冲刺:广东省华南师大附中高考历史临门一脚_高三政史地_政史地_高中教育_...近几主观题集中在必修二,必修一、三有点被冷淡了,综观近五年高考试题,今年 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com