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福建省莆田八中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年福建省莆田八中高一(上)期中数学试卷
一.选择题 1. (5 分)设集合 A={x|x>﹣1,x∈Q},则() A.Φ?A B. ?A C. { 2. (5 分)函数 A. (1,4] B. (1,4) ①y1= ②y1= ,y2= ; ,f2(x)=2x. B. ③ =() B.2π﹣4 C.2π﹣4 或 4 D.4﹣2π C. ④ D.无 C



}∈A

D.{

}?A

的定义域为() D.

,y2=x﹣5; ;

③f(x)=x,g(x)= ④ A.①、② 5. (5 分)化简: A.4

6. (5 分)设集合 M={x|﹣2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合 (c,m 为常数)为定义域,N 为值域的函数关系的是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)若 f(x)=x﹣1,x∈{0,1,2},则函数 f(x)的值域是() A.{0,1,2} B.{y|0<y<2} C.{﹣1,0,1 } D.{y|﹣1≤y≤1} 8. (5 分)如图所示的曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象.已知 n 分别取﹣1,l, ,2 四个值,则与曲线 C1,C2,C3,C4 相应的 n 依次为()
n

A.2,1, ,﹣1

B.2,﹣1,1,

C. ,1,2,﹣1

D.﹣1,1,2,

9. (5 分)函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A. B. C.
3 2

D.

10. (5 分)若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参 3 2 考数据如下表:那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确度 0.04)为() f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=﹣0.984 f(1,375)=﹣0.260 f(1.4375)=0.165 f(1.40625)=﹣0.052 A.1.5
2

B.1.25

C.1.375

D.1.4375

11. (5 分)函数 y=ax +bx+3 在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在,x2∈,且 a,b∈{1,2,3,4,5, 6,7,8,910,11,12},指出 a,b 的值,并说明理由; (2)结合函数图象示意图,请把 f(6) ,g(6) ,f,g 四个数按从小到大的顺序排列.

22. (13 分)已知函数 f(x)=

,x∈时,g(x)+2x+ >0 恒成立,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年福建省莆田八中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题

1. (5 分)设集合 A={x|x>﹣1,x∈Q},则() A.Φ?A B. ?A C. {

}∈A

D.{

}?A

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 探究型;集合. 分析: 根据集合元素和集合关系进行判断即可. 解答: 解:∵ 是无理数, ∴ ?A. 故选:B. 点评: 本题主要考查元素和集合关系的判断,比较基础. 2. (5 分)函数 A. (1,4] B. (1,4) C. A.{0,1,2} B.{y|0<y< 2} 1≤y≤1} 的定义域为() D. C.

{﹣1,0,1 } D. {y|﹣

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数的值域由函数的定义域及对应关系确定. 解答: 解∵x∈{0,1,2}, ∴x﹣1∈{0,﹣1,1}, 故选 C. 点评: 本题考查了函数的值域的求法,属于基础题.
n

8. (5 分)如图所示的曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象.已知 n 分别取﹣1,l, ,2 四个值,则与曲线 C1,C2,C3,C4 相应的 n 依次为()

A.2,1, ,﹣1

B.2,﹣1,1,

C. ,1,2,﹣1

D.﹣1,1,2,

考点: 幂函数的图像. 专题: 应用题. 分析: 在图象中,做出直线 x=2,根据直线 x=2 和曲线交点的纵坐标的大小,可得曲线 C1, C2,C3,C4 相应的 n 应是从大到小排列. 解答: 解:在图象中,做出直线 x=2,根据直线 x=2 和曲线交点的纵坐标的大小, 可得曲线 C1,C2,C3,C4 相 应的 n 依次为 2,1, ,﹣1,

故选 A. 点评: 本题考查幂函数的图形和性质的应用. 9. (5 分)函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A. B. C.

D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的零点存在性定理,把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入 函数的解析式中,得到函数值,把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了,得到结果. 解答: 解:∵f( )= ∴只有 f( )?f( )<0, ∴函数的零点在区间上. 故选 C. 点评: 本题考查函数零点的存在性判定定理,考查基本初等函数的函数值的求法,是一个 基础题,这是一个新加内容,这种题目可以出现在高考题目中. 10. (5 分)若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参 3 2 考数据如下表:那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确度 0.04)为() f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=﹣0.984 f(1,375)=﹣0.260 f(1.4375)=0.165 f(1.40625)=﹣0.052 A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375
3 2

<0,f( )=

<0,f( )=

>0,f(1)=π,

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 3 2 分析: 可判断方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的近似根在 ( 1, 1.5) , (1.25, 1.5) , (1.375, 1.5) , (1.375, 1.4375) , (1.40625,1.4375) ,从而求近似值. 解答: 解:由表格可知, 3 2 方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的近似根在 (1, 1.5) , (1.25, 1.5) , (1.375, 1.5) , (1.375, 1.4375) , (1.40625, 1.4375) , 3 2 故程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确度 0.04)为:1.4375, 故选 D. 点评: 本题考查了二分法的应用,属于基础题. 11. (5 分)函数 y=ax +bx+3 在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在上是增函数,在 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数定义知,函数 y=logax 图象过定点(1,0) ,故可令 x+2=1 求此对数型函数图 x 象过的定点.由指数定义知,函数 y=a 图象过定点(0,1) ,故可令 x+2=0 求此对数型函数图 象过的定点.
2

解答: 解:由对数函数的定义, 令 x+2=1,此时 y=3, 解得 x=﹣1, 故函数 y=loga(x+2)的图象恒过定点(﹣1,3) , 由指数函数的定义, 令 x+2=0,此时 y=4, 解得 x=﹣2, 故函数 y=a +3 的图象恒过定点(﹣2,4) , 故答案为(﹣1,3) , (﹣2,4) 点评: 本题考点是对数函数和指数函数的单调性与特殊点,考查对数函数和指数函数恒过 定点的问题,属于基础题. 16. (4 分)关于下列命题: x ①若函数 y=2 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; ②若函数 y= 的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤ }; ③若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}; ④若函数 y=log2x 的值域是{y|y≤3},则它的定义域是{x|0<x≤8}. 其中不正确的命题的序号是 ①②③. (注:把你认为不正确的命题的序号都填上) 考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域;指数函数的定义、解析式、定义域和值域; 对数函数的值域与最值. 专题: 计算题. 分析: 根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 解答: 解:①中函数 y=2 的定义域 x≤0,值域 y=2 ∈(0,1];原解错误; ②函数 y= 的定义域是{x|x>2},值域 y= ∈(0, ) ;原解 错误; ③中函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4}, ,y=x 的值域是{y|0≤y≤4}, 但它的定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2};原解错误 ④中函数 y=log2x 的值域是{y|y≤3},y=log2x≤3, ∴0<x≤8,故①②③错,④正确. 故答案为:①②③ 点评: 本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函 数的值域与最值,考查计算能力,高考常会考的题型. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)计算: (1) ;
2 2 x x 2 x+2

(2)



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则和换底公式,即可得出. 解答: 解: (1) 1; (2) = = =log12144=2. =﹣2﹣1+0.5×4=﹣3+2=﹣

点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 18. (12 分)设全集为 R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}, 1)求:A∪B,?R(A∩B) ; 2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)由 A 与 B,求出两集合的交集,并集,以及交集的补集即可; (2)B∪C=C,则 B?C,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A={x|﹣1≤x<3},B={x|x≥2},全集为 R, ∴A∪B={x|x≥﹣1},A∩B={x|2≤x<3},CR(A∩B)={x|x<2 或 x≥3}; (2)C={x|2x+a>0}={x|x>﹣ }, ∵B∪C=C, ∴B?C, ∴﹣ <2, ∴a>﹣4. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 19. (12 分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状 态,经抢修排气扇恢复正常.排气后 4 分钟测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm(ppm 为浓 度单位,一个 ppm 表示百万分之一) ,再过 4 分钟又测得浓度为 32ppm.由检验知该地下车库 一氧化碳浓度 y(ppm)与排气时间 t(分钟)存在函数关系 y=c( ) (c,m 为常数) . 1)求 c,m 的值 2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的 一氧化碳含量才能达到正常状态? 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用.
mt

分析: (1)利用待定系数法,解得即可. (2)由题意,构造不等式,解得即可. 解答: 解: (1)∵函数 y=c( ) (c,m 为常数)经过点(4,64) , (8,32) ,
mt



解得 m= ,c=128,

(2)由(1)得 y=128



∴128

< ,

解得 t=32. 故至少排气 32 分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 点评: 本题主要考查了指数函数的性质,属于基础题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=loga(1+x) ,g(x)=loga(1﹣x) , (a>0,且 a≠1) (1)求函数 f(x)﹣g(x)定义域;判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并予以证明 ; (2)求使 f(x)﹣g(x)>0 的 x 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据对数函数的真数大于 0 建立关系式可求出函数的定义域,判断函数 f(x) ﹣g(x)的奇偶性直接利用函数奇偶性的定义; (2)讨论 a 与 1 的大小关系,根据函数的单调性建立关系式,解之即可,需注意函数的定义 域. 解答: 解: (1)使函数 f(x)﹣g(x)有意义,必须有: 所以函数 f(x)﹣g(x)的定义域是{x|﹣1<x<1} 函数 f(x)﹣g(x)是奇函数 证明:∵x∈(﹣1,1) ,﹣x∈(﹣1,1) ,….…(5 分) f(﹣x)﹣g(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x) =﹣=﹣ ∴函数 f(x)﹣g(x)是奇函数 (2)使 f(x)﹣g(x)>0,即 loga(1+x)>loga(1﹣x) 解得:﹣1<x<1 …(4 分)

…(8 分)

当 a>1 时,有

解得 x 的取值范围是(0,1)…(10 分)

当 0<a<1 时,有

解得 x 的取值范围是(﹣1,0)…(12 分)

点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,判断函数的奇偶性的方法,解对 数不等式,属于中档题. 21. (13 分)函数 f(x)=2 和 g(x)=x 的图象的示意图如下图所示.设两个函数的图象交 于点 A(x1,y1) ,B,2,y2)且 x1<x2. (1)若 x1∈,x2∈,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,910,11,12},指出 a,b 的值,并 说明理由; (2)结合函数图象示意图,请把 f(6) ,g(6) ,f,g 四个数按从小到大的顺序排列.
x 3

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据指数函数、幂函数的图象特点,可得结论,令 φ(x)=f(x)﹣g(x)=2 3 ﹣x ,则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点,确定其所在区间,即可得出结论; (2)从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x) ,当 x>x2 时,f(x)>g(x) ,即 可得出结论. 3 x 解答: 解: (1)C1 对应的函数为 g(x)=x ,C2 对应的函数为 f(x)=2 .a=1,b=9.理由 如下: x 3 令 φ(x)=f(x)﹣g(x)=2 ﹣x ,则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点, 9 3 10 3 由于 φ(1)=1>0,φ(2)=﹣4<0,φ(9)=2 ﹣9 <0,φ(10)=2 ﹣10 >0, 则方程 φ(x)=f(x)﹣g(x)的两个零点 x1∈(1,2) ,x2∈(9,10) , 因此整数 a=1,b=9.…(9 分) (2)从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x) , ∴f(6)<g(6) . 当 x>x2 时,f(x)>g(x) ,∴g<f, ∵g(6)<g, ∴f(6)<g(6)<g<f. 点评: 本题考查函数解析式的确定,考查函数的零点,考查函数的单调性,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.
x

22. (13 分)已知函数 f(x)=

,x∈时,g(x)+2x+ >0 恒成立,求 a 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)= =x+2 ,能推导出 f(x)在上恒成立.由此能求出 a 的

取值范围. 解答: 解: (1)f(x)在,∴x+1∈, ∴①式可转化为 a>﹣(x+1)﹣ ∴题目等价于 a>﹣(x+1)﹣ 即 a 大于函数 y=﹣(x+1)﹣ 即求 y=(x+1)+ 令 t =x+1,t∈, 则 y=t+ ,由(1)得 y=t+ .所以﹣ 在 t∈上为增函数, <a<1. , 在 x∈上恒成立. 在 x∈上的最大值.

在 x∈上的最小值.

所以最小值为

点评: 本题考查函数的单调性及证明,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用.


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