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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时2 范围、最值问题课件 文


§9.8 圆锥曲线的综合问题

课时2 范围、最值问题

内容 索引

题型一 范围问题 题型二 最值问题 思想方法 感悟提高 练出高分

题型一 范围问题

题型一

范围问题
x2 y2 (2015· 天津)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0), 离

例1

2 3 b 心率为 3 , 点 M 在椭圆上且位于第一象限, 直线 FM 被圆 x2+y2= 4 截

4 3 得的线段的长为 c,FM= 3 . (1)求直线 FM 的斜率;

解析答案

(2)求椭圆的方程;



x2 y2 由(1)得椭圆方程为3c2+2c2=1,

3 直线 FM 的方程为 y= 3 (x+c),
5 两个方程联立,消去 y,整理得 3x +2cx-5c =0,解得 x=-3c 或 x=c. ? 2 3 ? ? ? 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 ? ?
2 2

由 FM=

?c+c?

2

x y 解得 c=1,所以椭圆的方程为 3 + 2 =1.
解析答案

?2 3 ? 4 3 ? ?2 +? c-0? = 3 . 3 ? ? 2 2

思维升华

解析答案

跟踪训练1



x y 设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0).

2

2

x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 3 -y =1.

解析答案

(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,
且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.

解析答案

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题型二 最值问题

题型二

最值问题

命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线 y2 = 4x的焦点 F的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O是坐 标原点,则AF· BF的最小值是________. 4

解析

2 2 设直线 AB 的倾斜角为 θ,可得 AF= ,BF= , 1-cos θ 1+cos θ

2 2 4 则 AF· BF= · =sin2θ≥4. 1-cos θ 1+cos θ

解析答案

命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 (2015· 江苏 ) 在平面直角坐标系 xOy中, P 为双曲线 x2 - y2 = 1 右支 上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的 最大值为_________________.

解析答案

命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
y2 x2 2 2 例 4 设椭圆 M: + = 1 ( a > b >0) 的离心率与双曲线 x - y = 1 的离心 2 2 a b 率互为倒数,且椭圆的长轴长为 4. (1)求椭圆 M 的方程;

解析答案

(2)若直线 y= 2x+m 交椭圆 M 于 A, B 两点, P(1, 2)为椭圆 M 上一点, 求△PAB 面积的最大值.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
(1)已知焦点为F的抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则AB的最
6 大值为________.

解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,
那么AF+BF=x1+x2+2,

又AF+BF≥AB?AB≤6,当AB过焦点F时取得最大值6.

解析答案

(2)(2014· 北京)已知椭圆C:x2+2y2=4.

①求椭圆C的离心率;
解 x2 y2 由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1,

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.

因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e=a= 2 .

解析答案

②设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求
线段AB长度的最小值.

解析答案

返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函 数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条 件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建 立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结 为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.

2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相 关的一些问题. (2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征 及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论 能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的 最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.

失误与防范

1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时,要注意“ 相切”与 “公共点唯一 ”的不等价 关系.注意特殊关系,特殊位置的应用.

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练出高分

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1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共
[-1,1] 点,则直线l的斜率的取值范围是________. 解析 Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2), 代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 由Δ=(4k2-8)2-4k2· 4k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1.

解析答案

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x2 y2 → → → 2.已知 P 为双曲线 C: 9 -16=1 上的点,点 M 满足|OM|=1,且OM· PM 12 → 5 =0,则当|PM|取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为_______.

解析

→ → 由OM· PM=0,得 OM⊥PM,

根据勾股定理,求MP的最小值可以转化为求OP的最小值, 当OP取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±3,0), 而双曲线的渐近线为4x±3y=0,
12 ∴所求的距离 d= 5 .
解析答案

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x2 y2 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 9 + 8 =1 的中点和左焦点,点 P 为椭圆上的 → → 任一点,则OP· FP的最小值为________.

解析答案

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x2 y2 x2 y2 5.已知椭圆 C1: - n =1 与双曲线 C2:m+ n =1 有相同的焦点,则 m+2 椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为________.

解析答案

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6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.
(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;

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(2) 若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M,求△AMB 的面积的最大值及此时直线 AB

的方程.

解析答案

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7.如图,已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3),且 1 它的离心率 e=2. (1)求椭圆的标准方程;

解析答案

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(2)与圆(x-1)2+y2=1 相切的直线 l:y=kx+t 交椭圆于 M,N 两点,若 → → → 椭圆上一点 C 满足OM+ON=λOC,求实数 λ 的取值范围.

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x2 y2 8.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. 3 (1)若 e= 2 ,求椭圆的方程;

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2 3 → → (2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A, B 两点, 若AF2· BF2=0, 且 2 <e≤ 2 , 求 k 的取值范围.

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1 9.如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1,2)到抛物线 C:y2=2px(p>0) 5 的准线的距离为4.点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线 段 AB 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值;

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AB (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m

解析答案

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