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求函数值域的几种办法


浅析求函数值域的几种办法 函数是中学数学的重要内容,函数的值域是函数概念的三要素之 一。一般地,求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的 定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判 别式 0 的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、 画函数的图像等等,在数学思想方法上是融会贯通的。 一.反函数法 利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数, 原函数的定义域是它的反函数的值域,原函数的值域是它的反函数 的定义域, 因此只要求出反函数的定义域, 就求出了原函数的值域, 这样求函数的值域的问题便得以解决。 例 1.求 y=函数的值域. 分析:函数 y=的反函数为 y=log,且其定义域为. ∴ 函数的值域为. 二.不等式法 根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点,先由函数的定义 域, 列出满足条件的不等式或不等式组, 而后解不等式或不等式组, 判断函数的值域,有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观 察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的 值域。 例 2 求函数的值域. 解 :∵ , 故值域为. 三.用求函数最值的方法求函数的值域 函数的最大值与最小值是中学数学的知识点,最值问题涉及中学 数学的各个分支,融会了众多数学思想和解题方法,构成了中学数 学中重要的横向知识体系,它对于求一部分函数的值域有很重要的 作用。 例 3.求函数 y= 的值域. 解 y=, ∴当 x=2 时,=3; 当 x=0 时,=. ∴函数的值域为[]. 四.单调性法 函数的单调性是函数的重要性质,利用函数在给定区间的单调性 来求值域是常用的方法,只要知道函数在给定的区间的增减性,就 可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值,然后确定 函数的值域. 例 4.求函数的值域, 解 设, , 易知它是定义域内为增函数,从而,. 在上也为增函数,而且,故函数的值域为. 五.判别式法 把已知函数看做是以 x 为未知数,以 y 为参数的方程,进行恒等 变形,得到关于 x 的一元二次方程,再利用一元二次方程有实根的 判别式,列出关于的不等式,解不等式求函数的值域. 例 5.求函数的值域. 解:整理得 . 当时, ,得 ; 当时,x=-. 又当 y=1 时,x=0;y=时,x=-1,0 与-1 在定义域内. ∴值域为. 六.换元求函数值域的方法 以新变量代换函数式中的某些量,使函数转为以新变量为自变量 的形式。 在新变量代换某些量的过程中,必须由某些量在函数解析式中的 意义,确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式, 然后整理转化为原自变量为函数,新变量为自变量的函数表达式, 再代入原函数解析式中,得到原函数与新自变量关系的函数解析 式,这样函数将变为新自变量的二次函数,下面通过配方求出函数 的最大值或最小值,进而求出值域。 例 6.求函数的值域. 解:设, 则 . 于是 , ∴函数的值域为. 七.有界法. 把待求值域的函数式,通过恒等变形变为值域已知的函数式,再 利用变形后的函数式的值域,求出原来函数的值域. 例 7.求函数的值域. 解 , ,又 ∣∣,∣∣. 解得, ,因此 函数值域为. 八.图像法 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学,因而数形结 合的思想是研究数学的基本思想之一。”数缺形时少直观,形缺数 时难入微”。就是说,在解题时要经常思考,有些数量关系可以借 助图形,使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化,找 到研究对象的”几何意义”来形象、直观地揭示数量关系,启示解

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