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第十二讲:直线的交点坐标与距离公式


第十二讲:直线的交点坐标与距离公式

姓名____________
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 。若方程组有惟一 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

1.两条不重合的直线 l1、l 2 , 其斜率分别为 k1、k 2 , 有: ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 ; ② l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1 。 2.(1)一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ?

解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直 线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. (2)方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点 就是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 的交点。
2 2 3.平面内两点 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) ,则两点间的距离为: | P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 。

( 1 ) 当 P1 P2 所 在 直 线 与 x 轴 平 行 时 , | P1 P2 |?| x1 ? x 2 | ; 当 P1 P2 所 在 直 线 与 y 轴 平 行 时 ,

| P1 P2 |?| y1 ? y2 | ;当 P1 P2 在直线 y ? kx ? b 上时, | P1 P2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 | .
(2)坐标法解决问题的基本步骤是:①建立坐标系,用坐标表示有关量;②进行有关代数运算; ③把代数运算的结果“翻译”成几何关系。 4.(1)点 P ( x 0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ?

| Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2



(2)两平行直线 l 1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 之间的距离公式 d ? 特别地,使用公式前要判断直线是否平行,且 A, B 是否一样。 基础练习: 1、不论 m 取任何实数直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过一个定点,定点坐标 2、直线 3x ? y ? 4 ? 0 和 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 是一个圆的两条切线,圆的面积为 3、如果三条直线 mx+y+3=0,x?y?2=0,2x?y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线, 那么 m 的值是__ _____. 4、已知实数 x,y 满足 5x+12y=60,则 x2+y2-2x-4y+5的最小值是__ 5、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 . .

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2



. .

_____.

6、已知直线 3 和6 互相平行,则它们之间的距离是 x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0

例 1 已知直线 l 经过点 A ( 2,4) ,且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得的线段的 中点 M 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程.

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例 2.已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程. (1)l′与 l 平行且过点(-1,3);l′与 l 垂直且过点(-1,3);

(2)l′关于直线 l:x+y-2=0 的对称直线.;

(3)l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线.

例 3、证明一等腰三角形底边上的任何一点到两条腰的距离之和为定值。

例 4.直线 y ? 2 x 是 ? ABC 中 ?C 的平分线所在的直线,若 A 、 B 坐标分别为 A( ?4,2) 、 B( 3,1) ,判 断 ? ABC 形状,并求面积。

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第十二讲作业:直线的交点坐标与距离公式 班级______ 姓名____________
一、选择题: 1.已知直线 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则他们之间的距离是( A.4 B. )

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 13 26

2.设 A,B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程为 ( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 3.点 P ( 2,3) 到直线: ax ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 的距离 d 为最大时, d 与 a 的值依次为( A. 3 、 ? 3 B. 5 、 1 C. 5 、 2 D. 7 、 1 )

4. 平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,?1)、C ( 2,?3) 两点,D 点在直线 3 x ? y ? 1 ? 0 上移动, 则 B 点轨迹所在的方程为 A. 3 x ? y ? 20 ? 0 B. 3 x ? y ? 10 ? 0 ( ) C. 3 x ? y ? 9 ? 0 D. 3 x ? y ? 12 ? 0 )

5.过点 P(0,1)且和 A(3,3),B(5,-1)距离相等的直线的方程是 ( A.y=1 B.2x+y-1=0 C.y=1 或 2x+y-1=0 D.2x+y-1=0 或 2x+y+1=0 二、填空题: 6.两平行线分别过 A(-2,-2),B(1,3),它们之间的距离为 d,则 d 的取值范围为______

7.经过两直线 l1:x –2y +4 = 0,l2:x +y – 2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x – 4y+ 5=0 垂直的直线 l 的方程 为 。 8.已知 x,y∈R, x-y+4=0,则 x2+y2+2x 的最小值为______ 9 . 设 直 线 l 过 点 A( 2,4) , 它 被 平 行 线 x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 1 ? 0 所 截 线 段 的 中 点 在 直 线

x ? 2 y ? 3 ? 0 上,则 l 的方程是
三、解答题:



10.光线从点 M (?2,3) 射到 x 轴上后被 x 轴反射,反射光线所在的直线 l 1 与直线 l 2 : 3 x ? 2 y ? 13 ? 0 平行,求 l 1 和 l 2 的距离。

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11.有两条直线 l 1 : ax ? 2 y ? 2a ? 4 ? 0 和 l 2 : 2 x ? (1 ? a 2 ) y ? 2 ? 2a 2 ? 0 ,当 a 在区间 ( 0,2) 内 变化时,求二直线与坐标轴围成的四边形的面积的最小值及此时 a 的值。

12 .在 ? ABC 中, BC 边上的高所在直线的方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 , ?A 的平分线所在直线的方程为

y ? 0 ,若点 B 的坐标为 ( ?1,4) ,求点 A 和点 C 的坐标。

13.以 A(4,5) 为顶点,在 x 轴上找一点 B ,另在直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 上找一点 C ,构成 ? ABC ,使 其周长最小,并求出最小值。

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