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河北省唐山市2016届高三第三次模拟考试文数试题Word版含答案.doc


文科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {?1,0,1, 2} , B ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {?1, 0} B. {0,1} C. {1, 2} ) D. {0,1, 2}
2



2. 以下三个命题中,真命题有(

①若数据 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差为 1,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,?, 2 xn 的方差为 4; ②对分类变量 x 与 y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ x 与 y 有关系”的把 握程度越大; ③已知两个变量线性相关,若它们的相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ )
2

3. 若复数 z 满足 2 z ? z ? 2 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 5 B.5 C. 13
2

D.13

4.直线 x ? my ? 5 ? 0 与双曲线 x ? A.4 B.2 C.

y2 ? 1的一条渐近线垂直,则正实数 m ? ( 4



1 1 D. 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 若向量 a, b 满足 a ? 2 b ? 2 , a ? 4b ? 2 7 ,则 a 在 b 方向上的投影为(
A. 2 B. 3 C.1 D.-1 ) D. ?



6.已知 tan ? ? 2 ,则 cos ? sin ? ? (

A.

2 3

B. ?

2 3

C.

1 3

2 3


7. 执行下面的程序框图,若输出的 y 值为 5,则判断框中可填入的条件是( A. i ? 3 B. i ? 4 C. i ? 5 D. i ? 6

8. 等差数列 ?an ? 的各项均为正值,若 a3 ? 2a6 ? 6 ,则 a4 a6 的最大值为( A.1 B.2 C.4 D.6



?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 9. 若变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.



25 4

B.

5 2

C. 5

D.5

10.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) ( ? ? 0, ? ? A. 3 B.1 C.-1

?
2

)的图象如图所示,则 f (

2? ) ?( 3



D. ? 3

11. 一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( A.



1 6

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 2

?2 x3 ? ax 2 ? 1, x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 恰有两个零点,则 a 的取值范围是( ? ? x ? 3 ? a, x ? 0
A. (?3, 0) B. (??, 0) C. (??, ?3) 第Ⅱ卷 D. (0, ??)



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在机读卡上相应的位置.)
2 13. 若函数 y ? ln( 1 ? ax ? 2 x ) 为奇函数,则 a ? ___________.

14.已知 F 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,若该抛物线上一点 M 满足 MO ? 3 MF ( O 为坐标 原点) ,则 MF ? ___________. 15. 在六棱锥 P ? ABCDEF 中,底面是边长为 2 的正六边形, PA ? 2 且与底面垂直,则 该六棱锥外接球的体积等于___________. 16.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 3Sn ? 4n?1 ? 4 ,则数列 {(3n ? 2)an } 的前 n 项和为 ___________. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选 考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 3a sin B ? b cos A ? c (1)求 B; (2)若 a ? 2 3c , S?ABC ? 2 3 ,求 b . 18.(本小题满分 12 分) 为了解某生产线的运行情况,从该生产线上随机抽取了 15 件产品进行检测,得分低于 85

2

3.

分的为不合格品,得分不低于 85 分的为合格品,该批产品检测得分情况如下:

(1)写出该组数据的中位数和众数,并估计该条生产线所生产产品为合格品的概率; (2)若生产一件合格品该厂可获利 270 元,生产一件不合格品则亏损 90 元,估计该厂生产 上述 150 件产品平均一件的利润. 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为梯形, AD // BC ,

BC ? 6 , PA ? AD ? CD ? 2 , E 为 BC 上一点且 BE ?
(1)求证: AB ? 平面 PAE ; (2)求点 C 到平面 PDE 的距离.

2 BC , PB ? AE . 3

20.(本小题满分 12 分) 过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 2) ? 4 交于 A, B 两点, N 为圆 C 与 y 轴正半轴的
2 2

交点. (1)若 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)证明:直线 AN , BN 的斜率之和为定值. 21.(本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ( x) ? ln(mx) ? x ? 1 , g ( x) ? ( x ?1)e ? mx , m ? 0 .

(1)若 f ( x) 的最大值为 0,求 m 的值; (2)求证: g ( x) 仅有一个极值点 x0 ,且

1 ln(m ? 1) ? x0 ? m . 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请

写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, A, B, C 为 ? O 上三点, B 为 ? AC 的中点, P 为 AC 延长线上一点, PQ 与 ? O 相切 于点 Q , BQ 与 AC 相交于点 D . (1)证明: ?DPQ 为等腰三角形; (2)若 PC ? 1, AD ? PD ,求 BD ? QD 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,M (?2,0) , 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

A( ? ,? ) 为曲线 C 上一点, B ( ? , ? ? ) ,且 BM ? 1 . 3
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 OA ? MA 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? b ? c ? d ? 0 , ad ? bc . (1)证明: a ? d ? b ? c ; (2)比较 a b c d 与 a b c d 的大小.
a b d c b a c d
2 2

?

唐山市 2015—2016 学年度高三年级第三次模拟考试 文科数学参考答案
一、选择题 A 卷:DCADD B 卷:DCABD 二、填空题 (13)1 -1)4n 1+4


ABCDA ABCDC

BC BA

(14)3

(15)4 3π( 16 ) (n

三、解答题 (17)解:

由 sin A≠0 得 tan B =

3 ,所以 B =30° . 3

?6 分

(Ⅱ)由 a=2 3c 得 S△ABC=

1 3 acsin B = c2=2 3,所以 c=2,a=4 3. 2 2 ?12 分

由余弦定理得 b2=a2+c2- 3ac=28,故 b=2 7. (18)解: (Ⅰ)该组数据的中位数为 87,众数为 92, 抽取的 15 件产品中,合格品有 10 件, 由此估计该条生产线所生产的产品为合格品的概率为 2 . 3

?5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得若生产该产品 150 件,则有 50 件不合格品,100 件合格品, 所以生产 150 件上述产品平均一件的利润为 1 ×(100×270-50×90)=150 元 150 (19)解: (Ⅰ)由已知可得:AD∥EC,且 AD=EC, ?12 分

∴四边形 AECD 为平行四边形, ∴AE∥CD,且 AE=CD=2. ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD, ∴PA⊥AE, 又∵PB⊥AE,PB∩PA=P, ∴AE⊥平面 PAB,又 AB?平面 PAB, ∴AE⊥AB. 又∵PA⊥AB,PA∩AE=A, ∴AB⊥平面 PAE, (Ⅱ)由(Ⅰ)可知△ABE 是直角三角形且∠AEB=60° , 从而有△CDE 是边长为 2 的等边三角形. 设 C 到平面 PDE 的距离为 h, 由 VP-ECD=VC-PDE 得 2 21 解得 h= , 7 2 21 即 C 到平面 PDE 的距离为 . 7 ?12 分 1 1 S ·PA= S△ PDE·h, 3 △ ECD 3 ?6 分

(20)解: (Ⅰ)依题意可设直线 l 的方程为 x=my+1, 圆心 C(0,2)到直线 l 的距离 d=1= 解得 m=0 或- 4 , 3 ?5 分 |2m+1| 1+m2 ,

故 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-3=0. (Ⅱ)依题意可得 N(0,4),可设 A(x1,y1),B(x2,y2),

将 x=my+1 代入圆 C 方程可得:(1+m2)y2+(2m-4)y+1=0, 得 y1+y2= 4-2m 4m+1 1 , 2 ,y1y2= 2,x1x2= 1+m 1+m 1+m2

kAN+kBN= (21)解:

y1-4 y2-4 -16m-4 + = =-4 为定值. x1 x2 4m+1

?12 分

(Ⅰ)由 m>0 得 f (x)的定义域为(0,+∞), f ?(x)= 1-x 1 -1= ,当 x=1 时,f ?(x)=0; x x

当 0<x<1 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x>1 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 故当 x=1 时,f (x)取得最大值 0, 则 f (1)=0,即 ln m=0, 故 m=1. (Ⅱ)g ?(x)=xex-m,令 h (x)=xex-m, 则 h ?(x)=(x+1)ex,当 x=-1 时,h ?(x)=0; 当 x<-1 时,h ?(x)<0,h (x)单调递减; 当 x>-1 时,h ?(x)>0,h (x)单调递增. 故当 x=-1 时,h (x)取得最小值 h (-1)=-e 1-m<0.


?4 分

当 x<-1 时,h (x)<0,h (x)无零点, 注意到 h (m)=mem-m>0,则 h (x)仅有一个零点 x0,且在(-1,m)内.?8 分 由(Ⅰ)知 ln x≤x-1,又 m>0,则 而h( 1 ln (m+1))=h (ln m+1) 2 1 1 ln (m+1)∈(0, m). 2 2

= m+1ln m+1-m< m+1( m+1-1)-m =1- m+1<0,则 x0> 1 ln (m+1), 2 1 ln (m+1)<x0<m. 2 1 ln (m+1)<x0<m. 2 ?12 分

故 h (x)仅有一个零点 x0,且

即 g (x)仅有一个极值点 x0,且 (22)解:

(Ⅰ)证明:连接 CQ,BC,AB, 因为 PQ 是圆 O 的切线,所以∠PQC=∠CBD, 因为 B 为⌒ AC 的中点,所以∠CQB=∠ACB, 所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB,

即∠PQD=∠CDQ, 故△DPQ 为等腰三角形. (Ⅱ)设 CD=t,则 PD=PQ=1+t,PA=2+2t, 由 PQ2=PC·PA 得 t=1, 所以 CD=1,AD=PD=2, 所以 BD·QD=CD·AD=2. ?10 分 ?5 分

(23)解: (Ⅰ)设 A(x,y),则 x=ρcos θ, y =ρsin θ, 所以 xB=ρcos(θ+ 故 B( π 1 3 π 3 1 )= x- y;yB=ρsin(θ+ )= x+ y, 3 2 2 3 2 2

1 3 3 1 x- y, x+ y). 2 2 2 2
2 1 3 3 1 2 x- y+2) +( x+ y) =1, 2 2 2 2

由|BM|2=1 得(

整理得曲线 C 的方程为(x+1)2+(y- 3)2=1.
?x=-1+cos α, (Ⅱ)圆 C:? (α 为参数) , ?y= 3+sin α

?5 分

则|OA|2+|MA|2=4 3sin α+10, 所以|OA|2+|MA|2∈[10-4 3,10+4 3]. (24)解: (Ⅰ)由 a>b>c>d>0 得 a-d>b-c>0,即(a-d)2>(b-c)2, 由 ad=bc 得(a-d)2+4ad>(b-c)2+4bc,即(a+d)2>(b+c)2, 故 a+d>b+c. aabbcddc a a-b c d-c a a-b d c-d (Ⅱ) b a c d=( ) ( ) =( ) ( ) , abcd b d b c 由(Ⅰ)得 a-b>c-d,又 即( a a a-b a c-d >1,所以( ) >( ) , b b b ?5 分 ?10 分

a a-b d c-d a c-d d c-d ad c-d ) ( ) >( ) ( ) =( ) =1, b c b c bc ?10 分

故 aabbcddc>abbaccdd.


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