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安徽省合肥一六八中2014-2015学年高二下学期期末(暨新高三升学)考


文科数学
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、设 x ? R ,“复数 z ? (1 ? x ) ? (1 ? x)i 为纯虚数”是“ lg | x |? 0 ”的(
2



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充

分也不必要条件

2、若 a ? 2 0.5 , b ? log ? 3 , c ? log 2 sin (A) b ? c ? a (B) b ? a ? c 3、已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

2? ,则( 5

) (D) c ? a ? b

(C) a ? b ? c

5 6 4 4.5 ? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归方程为 y ? b x ? a ,根据中间两组数据(4,3)和 (5,4)求得的直线方程为 y ? bx ? a ,则 b 与b , a与a 的大小为(

x y

3 2.5

4 3

?

?

? ? ? ? ? ? ? A、 b ? b , a ? a B、 b ? b , a ? a C、 b ? b , a ? a D、 b ? b , ? a?a 4、在 △ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 △ ABC 的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定



5、动圆M经过双曲线 x 2 ? 是( )

y2 ? 1 左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程 3

A、 y 2 =8 x

B、 y 2 =-8 x

C、 y 2 =4 x

D、 y 2 =-4 x

6、设数列 {a n } 是由正数组成的等比数列, S n 为其前 n 项和,已知 a 2 a 4 ? 1, S 3 ? 7 ,则

S5 ? (
(A)

) (B)

15 2 33 (C) 4

31 4 17 (D) 2

开始

S ? 0,??k ? 1
输入n

? y ?1 ? 7、已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值 ?x ? y ? m ?
为-2,则实数 m 的值为( ) (A)8 (B) 4 输出的 S ? (10,20) , 那么 n 的值为( (A)6 (B)5 (C)2 (D)0

S ? 1 ? 2S
k ? k ?1
k ? n?



8、 阅读右图所示的程序框图, 运行相应的程序, 如果输入某个正数 n 后,
) (D)3

输出 S
结束

(C)4

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9、偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为奇函数,且 f(1)=1,则 f(9)+f(10)=( (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1

)

10、定义在R上的函数f(x),若对任意 x1 ? x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称f(x)为“Z函数”,给出下列函数,
1 3 2 ①y ? x ?x ? x?2 3

② y ? 2 x ? (sin x ? cos x)

③ y ? ex ? 1



?ln | x |, x ? 0 y?? ?0, x ? 0
其中是“Z函数”的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11、命题“对 ?x ? 0 ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 。

12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 。

13 、 已 知 实 数 x , y 满 足 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 , 则 x ? y 的 最 大 值
为 .

14 、 已 知 正 数 a, b , 对 任 意 a ? b 且 a, b ? (0,1) 不 等 式

ax 2 ? ax ? a 2 ? bx 2 ? bx ? b 2 恒成立,则实数 x 的取值范围是
15、下列说法中 ①若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则点 O 是 ? ABC 的重心 ②若点 O 满足: OA ? BC
2 2

? OB ? CA ? OC ? AB ,则点 O 是 ? ABC 的垂心。

2

2

2

2

③若动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

)(? ? R) ,点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的内心。 AC AC sin C

④若动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( 的重心。 ⑤若动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( 的外心。

AB AB sin B

?

)(? ? R) ,点 P 的轨迹一定过 ? ABC

AB AB cos B

?

AC AC cos C

)(? ? R) ,点 P 的轨迹一定过 ? ABC

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其中正确的是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16、 (本小题满分 12 分) 如图, 在△ABC 中, D 为 AB 边上一点, DA=DC, 已知 B ? (Ⅰ)若△ABC 是锐角三角形, DC ? (Ⅱ)若△BCD 的面积为

?
4

, BC=1.

6 ,求角 A 的大小; 3

1 ,求边 AB 的长. 6

17、 (本小题满分 12 分) 2015 年安徽省文科高考数学试题考生一致认为比较简单,从而好成绩的取得不仅与知 识掌握程度有关更与细节的把握程度有关(非知识错误) !学校就数学学科考试上是否有失 误从本届文科毕业生中随机调查了 100 人,其中男生 36 人,有失误的学生中男生 14 人,女 生 16 人。 (1)问:你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关? (2)为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误,现用分层抽样的方法从 100 人中抽取样 本容量为 10 的样本,求从这 10 人中任取两人,恰有一人犯有非知识错误的概率. 附: (1)临界值表:

p (k 2 ? k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

n(ad ? bc) 2 (2) K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

18、 (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各个侧 面均是边长为 2 的正方形, D 为线段 AC 的中点.

C1 A1 B1

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C A D B

(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (Ⅲ)设 M 为线段 BC1 上任意一点,在 ?BC1 D 内的平面区域(包括边界)是否 存在点 E ,使 CE ? DM ,并说明理由.

19、(本小题满分 13 分) 已知 f ? x ? ?

m ? n ln x(m, n 为常数,在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . x ?1

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式并写出定义域;
3 2 (Ⅱ)若? x ? [ ,1] , 使得对? t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立, 求实数 a 的

1 e

1 2

取值范围;

20、(本小题满分 13 分) 数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ? (1)求 a2 的值; (2)求数列 {S n } 的通项公式; (3)设 f (n) ?
2 2Sn (n ? 2) . 2Sn ? 1

(1 ? S1 )(1 ? S 2 )(1 ? S3 ) 2n ? 1

(1 ? S n )

,若存在正数 k ,使 f (n) ? k 对一

切 n ? N ? 都成立,求 k 的最大值.

21、(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知点 P (0,1) , Q (0,2) , 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的 a2 b2

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离心率为 切.

3 ,以坐标原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M , N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T . 求证:点 T 在椭圆 C 上.

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数学(文科)参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题 11、对 ?x ? 0 ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 14、 x ? ?1或x ? 2 ; 三.解答题 16、 解: (Ⅰ)在△BCD 中,B= 由正弦定理得到: ,BC=1,DC= , , 15、①②③④⑤ 12、32 13、 2 1 A 2 C 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 D 10 C

解得 sin∠BDC=

=



则∠BDC=



.△ABC 是锐角三角形,可得∠BDC= .

2? 3

又由 DA=DC,则∠A= (Ⅱ)由于 B= 则 ?BC?BD?sin

,BC=1,△BCD 面积为 , = ,解得 BD= .

再由余弦定理得到 CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos =1+ ﹣2× 故 CD= , + , × = ,

又由 AB=AD+BD=CD+BD= 故边 AB 的长为: .

17、(1) k 2 ? 2.12 ? 2.072 ,故有 85%的把握

7 15 18. 解:(Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形,
(2)基本事件 45,满足要求 21 个,故 P ?

C1 A1 B1 O

所以 CC1 ? BC , CC1 ? AC , BC ? AC ? C .

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C A D B

所以 CC1? 底面 ABC . 因为 BD ? 底面 ABC ,所以 CC1 ? BD . 由已知可得,底面 ABC 为正三角形. 因为 D 是 AC 中点,所以 BD ? AC . 因为 AC ? CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 A1 . ……… 5 分

(Ⅱ)证明:如图,连接 B1C 交 BC1 于点 O ,连接 OD .显然点 O 为 B1C 的中点. 因为 D 是 AC 中点, 所以 AB1 / / OD . 又因为 OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , 直线 AB1 ∥平面 BC1 D 分 (Ⅲ)在 ?BCD1 内的平面区域(包括边界)存在一点 E ,使 CE ? DM . 此时点 E 是在线段 C1D 上. 证明如下: 过 C 作 CE ? C1 D 交线段 C1 D 于 E , 由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 ACC1 A1 ,而 CE ? 平面 ACC1 A1 , 所以 BD ? CE . 又 CE ? C1 D , BD C 1 D ? D ,所以 CE ? 平面 BC 1 D . A 又 DM ? 平面 BC 1 D ,所以 CE ? DM . ……… 14 分 E D C B A1 M C1 B1 ……… 10

19、(Ⅰ)由 f ( x) ?

m n m ? ,由条件可得 ? n ln x 可得 f ' ( x) ? ? 2 ( x ? 1) x x ?1

f ' (1) ? ?

m m ? n ? ?1 ,把 x ? ?1 代入 x ? y ? 2 可得, y ? 1 ,? f (1) ? ? 1 ,? m ? 2 , 4 2

1 n?? , 2 2 1 ……………………5 分 ? ln x , (0,??) x ?1 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,? f ( x) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ,故只需 e e 1 1 1 即 2a ? t 2 ? t ? 对任意的 t ? [ ,2] 上恒成立, 令 m(t ) ? t 2 ? t ? , t 3 ? t 2 ? 2at ? 2 ? 1 , t 2 t ? f ( x) ?
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易求得 m(t ) 在 [ ,1] 单调递减, [1,2] 上单调递增,而 m( 1 )? 2

1 2

7 5 , m(2) ? , 4 2

? 2a ? m(t ) max ? g (2)
?a ? 5 5 ,即 a 的取值范围为 [ ,??) 4 4
2 2Sn (n ? 2) , 2Sn ? 1

……………………13 分

20、 解:(1)∵ a1 ? 1 , an ? 解得
a2 ? ? 2 3

∴ a2 ?

2(a1 ? a2 ) 2 2(a1 ? a2 ) ? 1

………………2 分
2 2S n , ? 2S n ? 1

(2)证明:∵ n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ,∴ S n ? S n ?1

2 ∴ ( S n ? S n ?1 )(2 S n ? 1) ? 2 S n ,∴ S n ?1 ? S n ? 2 S n S n ?1 ,

………………6 分



1 1 1 1 以 2 为公差的等差数列. ? ? 2(n ? 2) ,数列 { }是以 ? 1 为首项, S n S n ?1 Sn S1
1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,∴ S n ? 2n ? 1 Sn



………………8 分

1 ? ? 1? 2n ? 1 ? f (n ? 1) (1 ? S n ?1 ) 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? ? (3)由(2)知 S n ?1 ? ,又 ? 2n ? 1 f ( n) 2n ? 3 2n ? 3
(2n ? 2) 2 4 n 2 ? 8n ? 4 2n ? 2 ? ? ? 1, ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 4n 2 ? 8n ? 3 4n 2 ? 8n ? 3
∴ f (n) 在 n ? N ? 上递增,要使 f (n) ? k 恒成立,只需 f min (n) ? k ∵ f min (n) ? f (1) ?
2 3 , 3

∴0 ? k ?

2 3 , 3

∴ kmax ?

2 3 .……………… 3

14 分
20.解: ?1?由题意知,椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即b ? 2 2 ? 2 .?????? 2分

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离心率e ? ? b ? a

c 3 ? , a 2 4分 5分

c 1 1 ? ( ) 2 ? .故a ? 2 2.?????????? a 2 x2 y2 ? ? 1.??????????? 8 2
6分 7分

? 椭圆C的方程为

( 2)证明:由题意可设点M , N的坐标分别为(x0 ,y 0 ),(-x0 ,y 0 ), 则直线PM 的方程为y ? 直线QN的方程为y ? 设点T的坐标为( x, y ), 联立直线PM ,QN的方程得x0 ? 点M , N 均在椭圆C 上,故 ? x 3y ? 4 , y0 ? . 2y ? 3 2y ?3 9分?? y0 ? 1 x ? 1,????????? x0

y0 ? 1 x ? 2.???????????? ? x0

x0 2 y 2 ? 0 ? 1.?????? 8 2

1 x 1 3y ? 4 2 ( )2 ? ( ) ? 1. 8 2y ? 3 2 2y ? 3

2 x 2 (3y -4) ? ? (2 y ? 3) 2 8 2 x2 9 y 2 ? + -12 y ? 8 ? 4 y 2 ? 12 ? 9, 8 2 x2 y2 即 + ? 1,?点T的坐标满足椭圆C的方程, 8 2 即点T 在椭圆C 上.???????????????????????????? 12分 13

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