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第3章 瞬时变化率 导数 §3.1 3.1.2(二)


3.1.2
课时目标

瞬时变化率——导数(二)

1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程.

1.导数的几何意义 函 数 y = f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 : ________________________________. 2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: (1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-y0=f′(x0)· (x-x0).

一、填空题 1 1.曲线 y= 在点 P(1,1)处的切线方程是________. x 2.已知曲线 y=2x3 上一点 A(1,2),则 A 处的切线斜率为________. 3.曲线 y=4x-x3 在点(-1,-3)处的切线方程是____________. 4. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直, 则 l 的方程为______________. 5.曲线 y=2x-x3 在点(1,1)处的切线方程为________. 6.设函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且 f′(x0)>0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的 倾斜角的范围是________. 7 .曲线 f(x)= x3+ x-2 在点 P 处的切线平行于直线 y= 4x -1,则 P 点的坐标为 ______________. 8.已知直线 x-y-1=0 与曲线 y=ax2 相切,则 a=________. 二、解答题 4 9.已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17,求直线 l 的方程. x

1 10.求过点(2,0)且与曲线 y= 相切的直线方程. x

能力提升 11.已知曲线 y=2x2 上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.

12.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1 (a<0).若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+ y=6 平行,求 a 的值.

1.利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题. 2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上, 则切线方程为 y-f(x0)=f′(x0) (x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)), 表示出切线方程,然后求出切点.

3.1.2

瞬时变化率——导数(二)

知识梳理 1.曲线 y=f(x)上过点 x0 的切线的斜率 作业设计 1.x+y-2=0 -Δx 1 -1 1+Δx -1 Δy 1+Δx 解析 = = = , Δx Δx Δx 1+Δx Δy 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于-1, Δx

∴k=-1, ∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. 2.6 解析 ∵y=2x3, 3 3 Δy 2?x+Δx? -2x ∴ = Δx Δx 2?Δx?3+6x?Δx?2+6x2Δx = Δx =2(Δx)2+6xΔx+6x2. Δy ∴当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 6x2, Δx ∴点 A(1,2)处切线的斜率为 6. 3.x-y-2=0 3 3 Δy 4?x+Δx?-?x+Δx? -4x+x 解析 = Δx Δx =4-(Δx)2-3x2-3x(Δx), Δy 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 4-3x2, Δx ∴f′(-1)=1. 所以在点(-1,-3)处的切线的斜率为 k=1, 所以切线方程是 y=x-2. 4.4x-y-3=0 解析 与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0, 即 y=x4 在某一点的导数为 4, 而 y′=4x3,所以 y=x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线方程为 4x-y-3=0. 5.x+y-2=0 Δy 解析 =2-(Δx)2-3x2-3x(Δx), Δx Δy 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 2-3x2, Δx ∴y′=2-3x2,∴k=2-3=-1. ∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. π? 6.? ?0,2? π? 解析 k=f′(x0)>0,∴tanθ>0,∴θ∈? ?0,2?. 7.(1,0)或(-1,-4) 解析 设 P(x0,y0),由 f(x)=x3+x-2, Δy =(Δx)2+3x2+3x(Δx)+1, Δx Δy 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 3x2+1. Δx ∴f′(x)=3x2+1,令 f′(x0)=4, 即 3x2 0+1=4,得 x0=1 或 x0=-1, ∴P(1,0)或(-1,-4). 1 8. 4 2 2 Δy a?x+Δx? -ax 解析 = =2ax+aΔx, Δx Δx 当 Δx 无限趋近于 0 时,2ax+aΔx 无限趋近于 2ax, ∴f′(x)=2ax. 设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=2ax0,2ax0=1,

1 且 y0=x0-1=ax2 0,解得 x0=2,a= . 4 4 4 - x x + Δ x Δy f?x+Δx?-f?x? 9.解 = = Δx Δx Δx -4Δx 4 = =- , xΔx?x+Δx? x?x+Δx? 4 4 当 Δx 无限趋近于 0 时,- 无限趋近于- 2, x x?x+Δx? 4 即 f′(x)=- 2. x k=f′(1)=-4,切线方程是 y-4=-4(x-1), 即为 4x+y-8=0, |c+8| 设 l:4x+y+c=0,则 17= 2 2, 4 +1 ∴|c+8|=17, ∴c=9,或 c=-25, ∴直线 l 的方程为 4x+y+9=0 或 4x+y-25=0. 1 10.解 (2,0)不在曲线 y= 上, x 1 令切点为(x0,y0),则有 y0= .① x0 1 1 - Δy x+Δx x 1 又 = =- , Δx Δx x?x+Δx? 1 1 当 Δx 无限趋近于 0 时,- 无限趋近于- 2. x x?x+Δx? 1 ∴k=f′(x0)=- 2. x0 1 ∴切线方程为 y=- 2(x-2). x0 y0 1 而 =- 2.② x0 x0-2 由①②可得 x0=1, 故切线方程为 x+y-2=0. 2 Δy 2?1+Δx? -2 11.解 = Δx Δx 4Δx+2?Δx?2 = =4+2Δx, Δx Δy 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 4, Δx ∴f′(1)=4. 1 ∴所求直线的斜率为 k=- . 4 1 ∴y-2=- (x-1),即 x+4y-9=0. 4 12.解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 2 =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x3 0+ax0-9x0-1) 2 3 =(3x2 0+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx) +(Δx) , Δy 2 ∴ =3x2 0+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx) . Δx

Δy 2 当 Δx 无限趋近于零时, 无限趋近于 3x0 +2ax0-9.即 f′(x0)=3x2 0+2ax0-9. Δx 2 a?2 a ∴f′(x0)=3? ?x0+3? -9- 3 . a a2 当 x0=- 时,f′(x0)取最小值-9- . 3 3 ∵斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, a2 ∴该切线斜率为-12.∴-9- =-12. 3 解得 a=± 3.又 a<0,∴a=-3.



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