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集合中易错情况分析


集合中易错四种情况分析
集合是高中数学最基本的概念,是高考中必考基础性题目,近几年,虽然出现在高考的 试题中都十分简单, 但是该考点涉及的知识面十分广泛, 本身承载着非常丰富的数学思想和 数学方法, 所以学好它的价值远远超过了本事的意义, 现在对同学们在学习中容易出现的错 误分析如下: 一、忽视代表元素,混淆元素属性容易出错
2 例 1(2010 年江西理数)

若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则

?

?

?

?

A ? B =(
A.

) B.

?x | ?1 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

2 2 2 练习 1、若集合 M= x | x ? 2 y ? 1 , N= y | x =2y-1 , S= ( x, y ) | x =2y-1

?

?

?

?

?

?

则集合 M、P、S 的关系是( A. M=P=S B. M ? N 且 P≠M

) C. M ? N 且 P≠M D. 以上答案都不对

【解析】 : 对例 1 集合 A 表示 x 在数轴上的范围。它是数集,范围是[-1,1];集合 B 表示 函数的值域即 y 的范围, 它也是数集, 范围是[0,+∞),(∵ y=x 2 ≥0,x∈R),所以 A ? B =[-1,1] ∩[0,+∞)= [0.1]即 ?x | 0 ? x ? 1 ?选 C 对练习 1、关系较复杂,故采用排除加验证的方法。因为 M、N 是数集,S 是点集所以排

y? 除 A 选项。 对 M 集合, 元素是 x, x∈R,对于 N 集合, 元素是 y, 因为 2y-1=x ? 0 易得,
2

1 , 2

所以从数集 M,N 的范围看,M 是 N 的真子集。所以选择 C 【评析】 :上面小题容易出错的原因是:一是没有弄清楚集合中元素具体指向哪些数,代 表的是什么。元素代表的是点,实数,还是表示横坐标或者纵坐标;二是:没有弄清楚 “变 量”的范围,是什么。元素代表的是图象的横坐标范围还是图象纵坐标范围,还是函数定义 域或值域! 所以,抓住描述法表示集合的元素属性和范围,就抓住了运算和实质! ! 二、忽视检验,忘记多解排除而容易出错 例 2、 (2007 全国理)设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0,

b , b} ,则 b ? a ? ( a



A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 练习 2、 (2013 年山东高考理科 2)设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的 个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 【解析】由集合元素的无序性,条件中两个的集合元素,有很多对应的关系, 1= 1=b 都有可能, 若 1=

b , a

b {1, 2a, a} ? {0,1, a} 则发现必须有 2a=0, , 则 a=b, 集合关系具体化为: a

{1, a ? 1, a} ? {0, a=0, 矛盾, 若 b=1, 则集合关系具体化为:

1 ,1} , 结合 a≠0, 则必有 a+1=0, a

a=-1,此时,可以代入检验,满足元素互异性,成立,故选 B 练习 2、 因为 x, y ? A ={0,1,2},当 x=0 时, y 取遍 A 所有可能元素, 得 x ? y ? 0, ?1, ?2 ; 当 x=1 时,y 取遍 A 所有可能元素,得 x ? y ? 1, 0, ?1 ;当 x=2 时,y 取遍 A 所有可能元素, 得 x ? y ? 2,1,0 所以能作为集合元素的 x ? y ? ?2, ?1,0,1, 2 ,即 B ? {?2, ?1, 0,1, 2}, 有 5 个元素,选 C. 【评析】 :之所以出现多解现象就是,集合元素存在三大性质:确定性、互异性和无序性, 无序性导致了多种对应,使得我们不得不有条理,不重不漏的讨论,尤其是互异性,导致我 们的解必须要检验,我们同学们容易被运算干扰忘记了检验,极易出现疏忽错误。 练习 3、若集合 A= {1, a 2 ? a ? 1},是集合 B= {1,3, a} 的子集,则 a=_____________ 三、忽视空集的特殊性出现疏漏性错误 例 3、 (2013 江苏改编)集合{,0,1}所有子集是______________________ 练习 4、 已知集合 A ? {x | x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} , 集合 B ? (0, ??) , 若 A? B ? ?, 求实数 a 的取值范围。 【解析】对例 3,只要留意“空集是任何集合的子集” , “空集是任何非空集合的真子集” 就可以了,所以填写 ? 、 {0} 、 {1} 、{0,1} 对练习 4、 A ? B ? ? 要考虑到:A 可能是 (??, 0] 的子集,也可能是空集,故: (1)当 A≠ ? 时, x ? ax ? 1 ? 0 有非负实根且常数项不为 0,
2

? ? (a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? 所以: ? a ? 2 解得: a ≥0 ? ? 0 ? ? 2
2 (2)当 A= ? 时, x ? ax ? 1 ? 0 无解 (a ? 2) ? 4 ? 0 解得: ?4 ? a ? 0
2

总上可知:a 的取值范围是 a ? ?4 【评析】 :空集是特殊的集合,有范围但是没有元素,空集和任何集合相交得空集,和任 何集合取并集不改变原有集合,空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。特别地, 当集合是有未知参数控制的时候,当心参数可能导致集合为空集,有必要全面思考,未知集 合是空集的时候是否满足题意的情况,不可疏漏! 四、忽视集合运算的性质在运算中的简化作用,导致运算繁琐,出现运算失误。 例 4、 (2012 高考真题辽宁理 1) 已知全集 U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集合 A= {0,1,3,5,8} , 集合 B={2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

练习 5、 (2012 高考真题山东理 2) 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , 集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4? , 则 CU A

B为
(B) ?2,3,4? (C) ?0,2,4? (D) ?0,2,3,4? )

(A) ?1, 2, 4?

练习 6、 (2006 年江苏) 若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( (A) A ? C 【解析】例 4、因为 A (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ?

B 的元素较多(今后可能出现更复杂元素) ,所以我们使用性质:

CU ( A B) ? (CU A) (CU B) , 因 为 U ? ?0 , 1 , 2?, 所 3 ,以 4 CU A ? { 2 , 4 , 6 ,,7 , 9 } CU B ? {0,1,3,7,9} ,
所以, CU A

B ? (CU A) (CU B) ? {7,9},故选择 B
故而, B ? CU ( A B) 不能使用性质,

对练习 5, 放置在这里目的是让同学们看清楚, CU A 直接列举元素就可以了。此题答案 C

(A ? B) ?A (或B) (B ? C) ? B(或C) 对练习 6,使用性质: , 得到:

A(或B)( ? A B) ? ( B C) ? C(或B) 所以由性质: P ? M ? N ? P ? N 得到:选
项A 【评析】 :集合运算除了直接的并交补,还可以利用集合的性质,简化甚至化腐朽为力量的 解决复杂问题,总结集合的基本运算性质有: (1) CU A

B ? (CU A) (CU B) ; CU ( A B) ? (CU A) (CU B) ;

A ( B C ) ? ( A B) ( A C ) ; A ( B C ) ? ( A B) ( A C ) (逆运算很好) (A ? B) ?A (或B) (A ? B) ? A(或B) (2) ;
(3) A ? B ? C ? A ? C

投稿人:徐彪,山东省临沂市郯城县 郯城县第二中学 高一数学(2)组

邮编:276199


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