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高二数学测试题——排列组合


高二数学测试题——排列组合
YCY 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.有 A、B、C、D、E 共 5 人并排站在一起,如果 A、B 必须相邻,并在 B 在 A 的右

边,那 么不同的排法有 ( ) A.60 种 B.48 种 C.36 种 D.24 种 2.从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数,当三个数字有 2 和 3 时,则 2 需排在 3 的前面(不一定相邻),这样的三位数有 ( ) A.9 个 B.15 个 C.45 个 D.51 个 3. AB 和 CD 为平面内两条相交直线,AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有 一个与交点重合,则以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 A. Cm B . Cn C ? C C Cn ? Cn Cm ?1 m m n
1 2 1 2 1 2 1 2 C. C m D. Cm ?1Cn ? Cn?1Cm?1 ?1Cn ? Cm Cn 4.如图,用 5 种不同颜色给图中标有 1、2、3、4 各部分涂色,每部分只涂一种颜色,且相 邻两部分涂不同颜色.则不同的涂色方法共有( ) A.160 种 B.240 种 C.260 种 D.360 种

5.从 5 个中国人、4 个美国人、3 个日本人 中各选一人的选法有( A.12 种 ) C.48 种 D.60 种 ( D.24 个 ( ) )

B.24 种

6.用 1、2、3、4 四个数字组成含有重复数字的四位数,其个数是 A.265 个 B.232 个 C.128 个

7.4 名学生报名参加语、数、英兴趣小组,每人选报 1 种, ,则不同方法有 A.43 种 B.34 种
3 C. A4 种 3 D. C4 种

8.从单词“ctbenjin”中选取 5 个不同字母排成一排,含有“en” (其中“en”相连且顺序 不变)的不同排列共有 A.120 个 B.480 个 C.720 个 D. 840 个 ( D. 360 种 ( ) ) ( )

9.6 个人排成一排,其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有 A.480 种 B.720 种 C.240 种

10.5 个身高不等的学生站成一排合影,从中间到两边一个比一个矮的排法有 A.6 种 B.8 种 C.10 种 D. 12 种

-1-

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题满分 24 分,每小题 6 分,各题只要求直接写出结果. ) 11.从 10 件产品(其中含 2 件次品)中任取 5 件,其中含有次品的抽法有 种.

12.从 10 个学生中挑选若干人组成一组,如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的组 合数,则这样的一个组合的人数有___________________个. 13.以正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有____________个. 14 . 3 个人坐在一排 8 个座位上,若每个人的两边都需要有空位,则不同的坐法种数 为 . 三、解答题(本大题满分76分. ) 15. (12 分)平面上有 9 个点,其中 4 个点在同一条直线上,此外任三点不共线. (1)过每两点连线,可得几条直线? (2)以每三点为顶点作三角形可作几个? (3)以一点为端点作过另一点的射线,这样的射线可作出几条? (4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?

16. (12 分)6 个人进两间屋子,(1)每屋都进 3 人;(2)每屋内至少进 1 人,问各有多少种分 配方法?

17. (12 分)20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每个盒内的球数 不小于它的编号数,求不同的放法种数.

-2-

18. (12 分)一个口袋内装有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取出一个红球记 2 分, 取出一个白球记 1 分,从口袋中取 5 个球,使总分不小于 7 分的取法有多少种?

19. (14 分)有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻. (5)全体排成一行,男生不能排在一起. (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人. (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.

20. (14 分)一条铁路原有 n 个车站,为适应客运需要新增加了 m 个车站(m>1),客车车票 增加了 62 种,问原有多少个车站?现有多少个车站?

-3-

参考答案(八)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 12.5 3 D 4 C 13.12 5 D 6 B 7 B 8 B 9 A 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. 196 14. 120

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.(12 分)解: (1) C6
2 2 3 ? C4 ? 1 ? 31条 ; (2) C93 ? C 4 ? 80
2

(3)不共线的五点可连得 A5 条射线,共线的四点中,外侧两点各可得到 1 条射线,内部两点各可得到 2 条射线;而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点而形成的射线有 C4 C5 A2 条. 故共有:
1 1 2 A52 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? C4 C5 A2 ? 66 条射线. 1 1 2

(4)任意两点之间,可有方向相反的 2 个 向量各不相等,则可得到 16.(12 分)

A92 ? 72 个向量.

17.(12 分)解: 首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,然后将剩余的 14 个小球排成一排,如 图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个空档,其中“O”表示小球, “|”表示空档.将求小球装入盒中 的方案数,可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系是:以插入两个空档的小盒之间的“O” 个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一 个小盒,最右侧空档必插入小盒,于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有 C 3 种;若恰有一个小盒插入最 左侧空档, 有 C 3 C 13 种; 若没有小盒插入最左侧空档, 有 C 13 种. 由加法原理, 有 N= C3 种排列方案,即有 120 种放法. 18.(12 分) 解:设取 x 个红球,
1 1

2

2

2

1 2 ? C1 3C13 ? C13 =120

y 个白球,于是:

2x ? y ? 7 0? x?4 x?2 x?3 x?4 ,其中 { , ?{ { 或{ 或{ x? y ?5 0? y?6 y?3 y?2 y ?1
因此所求的取法种数是: C4 C6
2 3 3 2 4 1 ? C4 C6 ? C4 C6 =186(种)

-4-

19. (14 分)解:(1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有 A 3 种,其余 6 人全排列,有 A 6 种.由乘法原理得 A 3 A 6 =2160 种. (2)位置分析法.先排最右边,除去甲外,有 A 6 种,余下的 6 个位置全排有 A 6 种,但应剔除乙在最右边的 排法数 A 5 A 5 种.则符合条件的排法共有 A 6 A 6 -A 5 A 5 =3720 种. (3)捆绑法.将男生看成一个整体,进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有 A 3 A 5 =720 种. (4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 A 4 =144 种. (5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A 4 A 5 =1440 种. (6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N,第二步,对甲、乙、丙进行全排 列,则为七个人的全排列,因此 A 7 =N×A 3 ,∴N = (7)与无任何限制的排列相同,有 A 7 =5040 种. (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 5 种,甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相 邻的排法有 A 3 A 3 .最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可.共有 A 5 ×A 2 ×A 3 =720 种. 20.(14 分)解:原有车票 An 种,现有 Am+n 种车票,Am+n -An =62 即 (m+2)(m+n-1)-n(n-1)=62,∴n=
2 2 2 2 2 2

1

6

1

6

1

6

1

5

1

6

1

5

3

5

3

4

4

3

7

3

A7 7 = 840 种.? A3 3
3

7

2

3

3

2

3

31 1 m 2

(m-1).



62>m -m.



m -m-62<0.而 m>1,1<m<

1 ? 249 2



∴ 1<m≤8 当 m=2 时,n=15.当 m=3,4,5,6,7,8 时, n ? N . 原有车站 15 个,既有车站 17 个.

-5-


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