tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学复习知识点分类指导(1)


2010 年高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q} ,若 P ? {0,2,5} , (答:8) Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的有________个。 (2)非空集合 S ? {1,2,3,4,5

} ,且满足“若 a ? S ,则 6 ? a ? S ” ,这样的 S 共有_____ 个(答:7)
2 2. “极端”情况否忘记 A ? ? :集合 A ? {x | ax ? 1 ? 0} , B ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,且

?

?

A

B ? B ,则实数 a =______.(答: a

1 ? 0,1, ) 2
(答:7)

3.满足 {1, 2} ? ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。

4.运算性质:设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,若 A ? B ? {2} , (CU A) ? B ? {4} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1,5} ,则 A=_____,B=___.(答: A ? {2,3} , B ? {2, 4} )
5.集合的代表元素: (1)设集合 M ? {x | y ?

x ? 2} ,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,则
( ?3 ? , 4R ), , }

M

N ? ___ ( 答 : [ 4 ?? , ) ( 2 ) 设 集 合 M ?{ a | a ); ? ( 1 ,?2 ?)

N ? {a | a ? (2,3) ? ?(4,5) , ? ? R} ,则 M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} ) 6.补集思想:已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一 3 个实数 c ,使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 (答: ( ?3, ) ) 2
7.复合命题真假的判断:在下列说法中:⑴ “ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必 要条件;⑵ “ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;⑶ “ p 或 q ”为真是“非 p ” p p q 为假的必要不充分条件;⑷ “非 ”为真是“ 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是 ____答:⑴ ⑶ ) 8.充要条件: (1)给出下列命题:①实数 a ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 1 与 2ax ? 2 y ? 3 平行的 充要条件;②若 a, b ? R, ab ? 0 是 a ? b ? a ? b 成立的充要条件;③已知 x, y ? R , “若

xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 0 或 y ? 0 则 xy ? 0 ” ;④“若 a 和 b 都是 偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______(答:①④) ; 2 (2)设命题 p: | 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 。若┐p 是┐q 的必要 1 而不充分的条件,则实数 a 的取值范围是 (答: [0, ] ) 2 9. 一 元 一 次 不 等 式 的 解 法 : 已 知 关 于 x 的 不 等 式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的 解 集 为 1 ( ?? ,? ) ,则关于 x 的不等式 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集为_______(答: {x | x ? ?3} ) 3 2 10. 一元二次不等式的解集:解关于 x 的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。 1 1 (答:当 a ? 0 时, x ? 1 ;当 a ? 0 时, x ? 1 或 x ? ;当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? ;当 a ? 1 a a 1 时, x ?? ;当 a ? 1 时, ? x ? 1 ) a

11. 对于方程 ax ? bx ? c ? 0 有实数解的问题。(1) ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切
2

x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是_______(答: (1, 2] );(2)若在 [0, ] 内有两个不等的实 2 根满足等式 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1,则实数 k 的范围是_______.(答: [0,1) )
12.一元二次方程根的分布理论。 (1)实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一根大于 0 且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,则
2

?

b?2 的 a ?1

1 ,1) ) 4 2 (2)不等式 3x ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ? [?1, 2] 恒成立,则实数 b 的取值范围是____(答: ? ) 。
取值范围是_________(答: ( 二、函 数 1.映射 f : A ?B 的概念。 (1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元素在

N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象 是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合(答:A) ; (2)点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的
象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为点 ________ (答: ( 2 ,- 1 ) ) ; (3)若

A ? {1,2,3,4} ,B ? {a, b, c} ,a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个,B 到 A 的映射有 个, A 到 B 的函数有 个(答:81,64,81) ; (4)设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件“对任意的 x ? M , x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个(答:
12) 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射 。若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 2

[2,2b] ,则 b =

(答:2) 3.若解析式相同,值域相同,但其定义域不同的函数,则称这些函数为“天一函数” ,那么 4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : (1)函数 y ?

解析式为 y ? x2 ,值域为{4,1}的“天一函数”共有__个(答:9)

x ?4 ? x? lg? x ? 3?
2

的 定 义 域 是 ____( 答 : (0, 2)

(2, 3)

(3, ) 4) ; (2)设函数

f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②若 f ( x) 的值域 是 R,求实数 a 的取值范围(答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 )
(2)复合函数的定义域: (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义 2
2 域为__________ (答: x | 2 ? x ? 4 ) ; (2) 若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) , 则函数 f ( x ) 的定义域为________(答:[1,5]) . 5.求函数值域(最值)的方法: 2 (1)配方法―(1)当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大

?

?

?1 ? ? ?

值,则 a 的取值范围是___(答: a ? ?

1 ) ; 2

( 2 ) 换 元 法 ( 1 ) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1 的 值 域 为 _____ ( 答 : [?4,

17 ]) ; (2) 8

(令 x ?1 ? t , t ? 0 。运用换元法时,要 y?2 x ?1 ? x? 1 的值域为_____(答: (3, ??) ) 1 [ ?1, ? 2] ) 特别要注意新元 t 的范围) ; 3)y ?n 的值域为____ (答: ; i s xo c s ? n i s xo c s ? x x 2 (4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 的值域为____(答: [1,3 2 ? 4] ) ;

2sin ? ? 1 2sin ? ? 1 3x (3)函数有界性法―求函数 y ? ,y? ,y? 的值域(答: x 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1? 3 1 3 (??, ] 、 ,] ) (0,1) 、 (?? ; 2 2 1 9 2 (4)单调性法――求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? sin x ? 的值域为______(答: x 1 ? sin 2 x 80 11 (0, ) 、 [ ,9] ) ; 9 2 y ( 5 )数形结合法 ――已知点 P( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2 3 3 (答: [? ; , ] 、 [? 5, 5] ) 3 3 (a ? a 2 ) 2 (6)不等式法―设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 1 的取值 b1b2 范围是____________.(答: (??,0] [4, ??) ) 。
(7)导数法―求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ? [?3,3] 的最小值。 (答:-48)
3 2
2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 6.分段函数的概念。 (1)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的 ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) (x ? 0) ?1   取 值 范 围 是 ____ ( 答 : (??, ?2] [ 0, 10] ) ; ( 2 ) 已 知 f ( x) ? ? ,则不等式 ( x ? 0) ??1   3 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是___(答: (??, ] ) 2

7.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法―已知 f ( x ) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x ) 的解析式 。(答: f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? 1) 2 2 ( 2 ) 配 凑 法 ― ( 1 ) 已 知 f (1 ? c o s x) ? s i n x, 求 f x 2 的 解 析 式 ___ ( 答 : 1 1 2 ; (2)若 f ( x ? ) ? x ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =___(答: f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] ) x x 2 x ? 2x ? 3 ) ; 2 (3)方程的思想―已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式(答: f ( x) ? ?3x ? ) ; 3

? ?

8. 反函数:

A、 a ? ? ??,1?

(1)函数 y ? x2 ? 2ax ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 B、 a ??2, ??? C、 a ? [1, 2] D、 a ? ? ??,1?

?2, ???

(答:D)

(2)设 f ( x) ? (

x ?1 2 ) ( x ? 0) .求 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) (答: f ?1 ( x) ? x

1 . ( x ? 1) ) x ?1
?1

(3)反函数的性质: ①单调递增函数 f ( x) 满足条件 f (ax ? 3) = x ,其中 a ≠ 0 ,若 f ( x) 的反函数 f 定义域为 ? , ? ,则 f ( x) 的定义域是____________(答:[4,7]). a a

( x) 的

2x ? 3 ,若函数 y ? g ( x) 与 y ? f x ?1 7 称,求 g (3) 的值(答: ) ; 2
②已知函数 f ( x ) ? ③(1)已知函数 f ( x) ? log3 (

?1 4? ? ?

?1

( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对

4 ; ? 2 ) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ? ______(答:1) x ④已知 f ? x ? 是 R 上的增函数,点 A ? ?1,1? , B ?1,3? 在它的图象上, f ?1 ? x ? 是它的反函数,那
么不等式 f ?1 ? log2 x ? ? 1的解集为________(答: (2,8) ) ; 9.函数的奇偶性。 (1)①定义法:判断函数 y ?

| x ? 4 | ?4

9 ? x2 1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) ②等价形式:判断 f ( x) ? x( x 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 (2)函数奇偶性的性质:若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 1 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数, 且 f ( ) =2, 则不等式 f (log1 x) ? 2 3 8 的解集为______.(答: (0,0.5) (2, ??) )
a · 2x ? a ? 2 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1 f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) ⑤设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? , G ( x) ? 。① 2 2 x 判断 F ( x) 与 G ( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一 1 个偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) =____(答:① F ( x) 为偶函数,G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2
④ f (0) ? 0 若 f ( x) ? 10.函数的单调性。
3 (1)若 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间

的奇偶性____(答:奇函数) 。

[1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____(答: (0,3] ));
(2)若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取
2

值范围是______(答: a ? ?3 ));

(3) 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数, 则实数 a 的取值范围_____ (答: x?2

1 ( , ??) ); 2
2

(4)函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答:(1,2))。 (5)已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数

?

?

1 2 m 的取值范围。(答: ? ? m ? ) 2 3
11. 常见的图象变换
?x ① 设 f ( x) ? 2 , g ( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称, h( x) 的图像由 g ( x) 的

图像向右平移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________(答: h( x) ? ? log 2 ( x ?1) ) ② 函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个(答:2)

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与 x?a 原图象关于直线 y ? x 对称,那么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R (答:
③将函数 y ? C)

1 得到的。 a 1 如若函数 y ? f (2 x ?1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是_______(答: x ? ? ). 2
④ 函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 12. 函数的对称性。 ① 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x

1 2 x ? x ); 2 x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称 ② 己知函数 f ( x) ? 2x ? 3 2 图像是 C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是_______(答: x?2 y?? ) ; 2x ?1 2 ③ 若函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答:
有等根,则 f ( x) =_____(答: ?

? x2 ? 7 x ? 6 )
13. 函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程

f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有__________个实数根(答:5)
(2)由周期函数的定义 (1) 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于_____(答: ? 0.5 );(2)已知 f ( x ) 是偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是 奇函数,求 f (2005) 的值(答:993); (3)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,

若它的最小正周期为 T,则 f (?

T ) ? ____(答:0) 2

(2)利用函数的性质 ( 1 ) 设函数 f ( x)( x? N )表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 x, y ? N ,都有 A 、 f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y)(答: A) ; ( 2 ) 设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,如果

3 , f (2) ? lg15 ,求 f (2001 ; ( 3 ) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 ) (答: 1 ) 2 f (? x) ? ? f ( x ? 4) , 且 当 x ? 2 时 , f ( x) 单 调 递 增 。 如 果 x1 ? x2 ? 4 , 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是____(答:负数) f (1) ? lg
(3)利用一些方法 (1)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性是______(答:奇 函数) ; (2)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶 性是______(答:偶函数) ; (3)已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的 解集是_____________(答: ( ? y

?

, ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2

?

O 1 2 3

x

三、数


2

n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; n ? 156 25 an (2)数列 {an } 的通项为 a n ? ,其中 a , b 均为正数,则 an 与 an?1 的大小关系为___(答: bn ? 1 ;(3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围 an ? an?1 ) (答: ? ? ?3 ) ;
1、数列的概念:(1)已知 an ? A B C 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? D (答: 2 n ? 10 );(2)

8 3 1 3 15 * (1)数列 {an } 中,an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) ,an ? ,前 n 项和 S n ? ? ,则 a1 = 2 2 2 2 _, n =_(答: a1 ? ?3 , n ? 10 );(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n ,求数

首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是______ (答: ? d ? 3 )

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? 列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答: Tn ? ? 2 ). * ? ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N )
(4)等差中项 3.等差数列的性质: (1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ; (2)

在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a 10 | , S n 是其前 n 项和,则 A、 S1 , S2

S10 都

小于 0, S11 , S12 都小于 0, S6 , S7

都大于 0 都大于 0

B、 S1 , S2

C、 S19 都小于 0, S20 , S21 都大于 0 S1 , S2 S5 D、 S1 , S2 S20 都小于 0, S21 , S22 都大于 0 (答:B)

等差数列的前 n 项和为 25, 前 2n 项和为 100, 则它的前 3n 和为 。 (答: 225) (2)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). 设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 么

Sn 3n ? 1 ,那 ? Tn 4n ? 3

an 6n ? 2 ) ? ___________(答: 8n ? 7 bn
(3) 等差数列 {an } 中,a1 ? 25 ,S9 ? S17 , 问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:

前 13 项和最大,最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) 4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法: (1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数
项之积为 120,则 an ?1 为____(答:

5 ) ; (2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 6

bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。 (2)等比数列的通项:设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn = 1 126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 , q ? 或 2) 2 (3)等比数列的前 n 和: (1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ;
(2) ; ? (? Cnk ) 的值为__________(答:2046)
n ?1 k ?0 10 n

(4)等比中项:已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大 小关系为______(答:A>B) 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)奇数个数成 等比,可设为?,

a a , , a ,aq ,aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为? 2 q q

a a , , aq, aq3 ,?,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q2 。 3 q q
5.等比数列的性质: (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答: 512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 ? (答:10) 。 (n ? N * ), 且 gx n 1 lo xg n ( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l o a ?1 ? ? a

x1 ? x 2?

?x

1 0 0

? 100 ,则 x101 ? x102 ?

? x 200 ?

. (答: 100a

100

) ; (2)在等比

数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答: 40) 若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) 设 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n ( n ? N ) , 关 于 数 列 ? an ? 有 下 列 三 个 命 题 : ① 若

? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? n ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是
(答:②③) 6.数列的通项的求法: 已知数列 3

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b ? R ? ,则

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试 写 出 其 一 个 通 项 公 式 : __________ ( 答 : 4 8 16 32

an ? 2n ? 1 ?

1 ) 2n ?1

① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 , 求 an(答:an ? 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 14, n ? 1 a ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) n n 2 ,n ? 2 2

?

?

3, n ? 1 ) ; ② 数列 {an } 2n , n ? 2

数列 {an } 中, 则 a3 ? a5 ? ______ (答: a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

61 ) 16

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 an =________ ( 答 :

an ? n ? 1 ? 2 ? 1)
已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an (答: an ?

4 ) n(n ? 1) ① 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2 3n?1 ?1 ) ;② 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,
①已 知 a1 ? 1, an ?

求 an (答: an ? 5 3n?1 ? 2n?1 ) ;

1 an ?1 , 求 an ( 答 : an ? ) ; ②已 知 数 列 满 足 a1 =1 , 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) n 5 4, n ? 1 数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 ,求 an (答: an ? ) 3 4n ?1 , n ? 2 3

?

7.数列求和的常用方法: (1)公式法: (1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an =


2

2

2

2

4n ? 1 ) ; (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” , 3 ) 2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 1? 20 ? 13,那么将二 如 (1101 2005 ?1 ) 进制 (111?11) 2 转换成十进制数是_______(答: 2 ?? ?? ?
_____(答:
2005 个1

(2)分组求和法: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?
0 1

? (?1)n (2n ?1) (答: (?1)n ? n )
2 n ;②已知 ? (2 n ? 1) Cn ? n(? 1)n 2

( 3 ) 倒 序 相 加 法 : ① 求 证 : Cn ? 3Cn ? 5 Cn ?

f ( x) ?

1 1 1 7 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______(答: ) 2 2 3 4 2 1? x
? 2an?1 ? an , 已知 T1 ? 1 ,

(4) 错位相减法: (1) 设 {an } 为等比数列,Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ?

T2 ? 4 ,①求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式 . (答:① a1 ? 1 , q ? 2 ;
② Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ) ; ( 2 ) 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ,g ( x) ? 4( x ? 1) , 数 列 {an } 满 足 :

a1 ? 2, f (an ) ? (an ?

an?1 ) g (an )(n ? N ? ) ,①求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;②令 h( x) ? (a1 ?1) x ? (a2 ?1) x2 8 8 8 ? ? (an ?1) xn ,求函数 h( x) 在点 x ? 处的导数 h ?( ) ,并比较 h ?( ) 与 2n 2 ? n 的大小。 3 3 3 8 8 n 2 ( 答 : ① 略 ; ② h?( ) ? (n ? 1) 2 ? 1 , 当 n ? 1 时 , h ?( ) = 2n ? n ; 当 n ? 2 时 , 3 3 8 8 h ?( ) < 2n 2 ? n ;当 n ? 3 时, h ?( ) > 2n 2 ? n ) 3 3 n 1 1 1 ? ? ? ? (5)裂项相消法: (1)求和: (答: ) ; 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1 1 (2)在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ; n ? n ?1 2n 1 1 1 (6)通项转换法:求和:1 ? (答: ) ? ? ? ? n ?1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? n
四、三角函数

? ? 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =_____。 (答: 2k? ? , k ? Z ) 6 3 ? 若 ? 是第二象限角,则 是第_____象限角(答:一、三) ;已知扇形 AOB 的周长是 6cm, 2 2 该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) o s ? 2、 三角函数的定义: (1) 已知角 ? 的终边经过点 P(5, -12), 则 sin ? ? c y 7 2m ? 3 的值为__。 (答: ? ) ; (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ? , B S 4?m 13 P 3 则 m 的取值范围是_______(答: (-1, ) ) ; α 2 O M ? ? , cos ? , t an ? 的大小关系为 3. 三 角 函 数 线 ( 1 ) 若 ? ? ? ? 0 , 则 s i n 8 _____(答: tan ? ? sin ? ? cos ? ); (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大 小关系为_______ (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ; (3)函数 y ? 1 ? 2 cosx ? lg(2 sin x ? 3) 的 ? 2? ](k ? Z ) ) 定义域是_______(答: (2k? ? , 2k? ? 3 3 m?3 4 ? 2m ? a n ? ( ?? ? ? ), 4.同角三角函数的基本关系式: (1) 已知 sin ? ? ,cos ? ? 则t m?5 m?5 2 5 tan ? n i s ? ? 3o c s ? ? ?1 , ? ) sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ (答: ; (2) 已知 则 =____; tan ? ? 1 n i s ? ?o c s ? 12
1、 ? 的终边与

T

A

x

5 13 ; ) ; (3)已知 f (cos x) ? cos3x ,则 f (sin 30? ) 的值为______(答:-1) 。 3 5 9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? 的值为 ________(答: 5. 三角函数诱导公式( 1) cos ) ; ? 4 6 2 3 4 ? ? ( 2 ) 已 知 sin( 540 ? ? ) ? ? , 则 c o s? ( ?270 ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5 4 3 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )
=___(答: ? 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: ( 1 ) 下列各式中,值为

1 的是 2

A 、 sin15 cos 15

B 、 cos

2

?
12

? sin 2

?
12

C、

1 ? cos 30 (答:C) ; 2 (2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5
D、 充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件(答: C ) ; ( 3 ) 已知

3 7 sin(? ? ? ) cos? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? , 那 么 cos 2? 的 值 为 ____ ( 答 : ) ; (4) 5 25 1 3 0 0 的值是______(答:4) ;(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示) ? sin10 sin 80 1 ? a2 a? 3 甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 2a 1 ? 3a
______(答:甲、乙都对) 7. 三角函数的化简、计算、证明

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 3 3 (答: ) ; (2)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的 22 5 3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 函数关系为______(答: y ? ? 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦), (1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; (2)已知 sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8 3 (3)公式变形使用设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? , 4
(1)巧变角: (1)已知 tan(? ? ? ) ? 则此三角形是____三角形(答:等边) (4)三角函数次数的降升函数 f ( x ) ? 5sin xcos x ? 5 3cos 2x ? 增区间为___________(答: [ k? ?

?
12

,k ? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

5 3( x ? R ) 的单调递 2

sin ? ? tan ? (答: sin ? ) ; (2)求证: cot ? ? csc ? ? 1 1 ? tan 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin ? 2; 2 (答: 1 cos 2 x ) (3)化简: ? ? ? ? ? 2 1 ? 2sin 2 1 ? tan 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 2 2 4 4 3 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: ). 5 2 t ?1 (7)“知一求二” (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __(答: ? ),特别提醒: 2 4? 7 这里 t ?[? 2, 2] ; (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? ) ; 2 3 8、辅助角公式中辅助角的确定: (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是 ___________.(答:[-2,2]) ; (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是 3 ______(答: ? ); (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (答: - 2 3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2); (4)求值: 2 2 sin 20? cos 20? 9、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: ? 3 1 (1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ? ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _(答: 2 2 6 1 ? ? a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; (2) 函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? [ ? , ] ) 的值域是____ (答: 2 2 2 [-1, 2]) ; (3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____
(5)式子结构的转化(1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? (答:7;-5) ; (4)函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? 此时 x =__________(答:2;k? ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____,
1 ,求 t ? sin ? cos ? 2

?
12

(k ? Z ) ) ; (5)己知 sin ? cos ? ?

1 2 ? ? sin 2 ? 的最大、 2 最小值(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 ) 。 ?x 1 ) ?f ( 2 ) ? ( 3 ) f ? ? ( 2 0 0 f3 ) (3) 周期性: (1)若 f ( x ) ? sin , 则 f( =___ (答: 0) ; 3 4 4 (2) 函数 f ( x) ? cos x ?2 sin x cosx ? sin x 的最小正周期为 ____ (答: ? ) ; (3) 设函数
2 2 的变化范围(答:[0, ] ) ; (6)若 sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ,求 y ? sin

f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小 2 5
值为____(答:2)

?

?

? 5? ? ; (2) ? 2 x ? 的奇偶性是______(答:偶函数) ? 2 ? 3 已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5) ? ______(答:-5) ;
(4)奇偶性与对称性: (1)函数 y ? sin ?

( 3 ) 函 数 y ? 2c o s x( s i n x?co s x) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ____________ ( 答 : (

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z ) ); ( 4 ) 已 知 2 8 2 8

f ( x ?)

s?i?n ? ( x 3

) ? ? 为偶函数,求 c o s ( x ? 的值。 ) (答: ? ? k? ?

?

6

( k ?Z ))

(5)单调性: 16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数:

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |?
则 f ( x ) =_____(答: f ( x) ? 2sin( (1)函数 y ? 2sin(2 x ?

?
2

) 的图象如图所示,
2 3

Y 2? 9 X -2 23题 图

?
4

15 ? x? )) ; 2 3

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到

y ? sin x 的图象?(答: y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象, 4 4 ? 再向左平移 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象, 8 1 x ? 最后将纵坐标缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ; (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图 2 2 4 x ? 象 , 只 需 把 函 数 y ? sin 的 图 象 向 ___ 平 移 ____ 个 单 位 ( 答 : 左 ; ) ; (3)将函数 2 2 7?
y ? 2sin(2x ? 3 ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯
一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量

?

?

a ? (?

?

6

, ?1) ) ; (4)若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ? 0, 2? ?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有
(答: [1, 2) )

四个不同的交点,则 k 的取值范围是

(5)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法: (1)函数 y ? sin( ?2x ? ______ (答:[ k? ?

?
3

) 的递减区间是

5 ? x ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; (2)y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______ 12 12 3 4 2 3 3? ]( k ? Z ) ) (答: [ 6k? ? ? , 6k? ? ; (3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 4 4 2 2 1 2? 的图象关于直线 x ? 对称,它的周期是 ? ,则 A、 f ( x)的图象过点 (0, ) B、 f ( x ) 在区 2 3 5? 2? , ] 上是减函数 间[ C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0) D、 f ( x ) 的最大值是 12 3 12 ?? ? A(答:C) ; (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称; 3? ?
②图象关于直线 x ?

?

12

成轴对称; ③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位得到; 3

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______(答: 12 ②④) ; (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距 ? 离为 ,那么此函数的周期是_______(答: ? ) 3 ? , 而 y ? sin 2 x, y ? sin x 的 周 期 都 是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的 周 期 为 2 ? 1 ? y ?| 2 s i n x ?( 3 ? )? y | , ? |x 2 ? s i n 2 | ,(y3?| tan x)| 的周期不变; 6 2 6 ?ABC 中,若 sin2 A cos2 B ? cos2 A sin2 B ? sin2 C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角
④图像向左平移 三角形) 。 (1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ; (2)在 ?ABC 中 , A > B 是 sin A ? sin B 成 立 的 _____ 条 件 ( 答 : 充 要 ) ; ( 3 ) 在 ?ABC 中 ,

?ABC

1 ) ;(4)在 ?ABC 中, a,b,c 分别 2 是角 A、B、C 所对的边,若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____(答:

( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____(答: ?

a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____(答:30 ) ; (6)在 ?ABC 4 3 2 39 中,A ? 60 , b ? 1 , 这个三角形的面积为 3 , 则 ?ABC 外接圆的直径是_______ (答: ) ; 3 1 B?C a ? 3, cos A ? , 则 cos 2 b2 ? c2 (7) 在△ABC 中, a、 b、 c 是角 A、 B、 C 的对边, = , 3 2 1 9 的最大值为 (答: ; ) ; ( 8 ) 在△ ABC 中 AB=1 , BC=2 ,则角 C 的取值范围是 3 2 ? (答: 0 ? C ? ) ; ( 9 ) 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 6 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45 ) .
60 ) ; (5)在 ?ABC 中,若其面积 S ?
n t ?、 tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根, 19.求角的方法 (1) 若 ? , ? ? (0, ? ) , 且a 则求 ? ? ?
的值______(答: _______ ( 答 :

? );( 3 ) 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , 3 2? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值(答: ). 3
五、平面向量 1、向量有关概念:

3? ) ; (2) ?ABC 中,3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1,则 ?C = 4

(1)向量的概念:已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得 到的向量是_____(答: (3,0) )

下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, 终点相同。 (3) 若A B D ? C
B C D , 则A B C D 是平行四边形。 ( 4) 若A

是平行四边形, 则 AB ? DC 。

(5)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______(答: (4 ) (5) )

1 3 2 2 ( 2 ) 下 列 向 量 组 中 , 能 作 为 平 面 内 所 有 向 量 基 底 的 是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. 1 3 D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) ; (3) e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) 2 4 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示
为 _____ ( 答 :
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 2 4 ; ( 4 ) 已 知 ?A BC 中 , 点 D 在 BC 边 上 , 且 CD ? 2 DB , a? b ) 3 3

2、向量的表示方法: (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______(答: a ? b ) ;

CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是___(答:0)
4、实数与向量的积 5、平面向量的数量积: (1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________(答:-9) ;
? ?? ? ?? ? ??

? ??

1 1 ? , 则 k 等于____ (答: 1) ; 2 2 4 (3)已知 a ? 2, b ? 5, a b ? ?3 ,则 a ? b 等于____(答: 23 ) ; (4)已知 a, b 是两个非零向
(2) 已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b ,c 与 d 的夹角为 量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____(答: 30 ) 已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______(答:
? ?
? ?

?

?

? ?

?

?

12 ) 5

(1) 已知 a ? (? ,2? ) ,b ? (3? ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围是______ (答: ? ? ?
? ?? ? ?? 4 1 或? ?0且?? ) ; ( 2 ) 已 知 ?O F Q的 面 积 为 S , 且 OF ? FQ ? 1 , 若 3 3

? ?? ? ?? ? ? 1 3 , 则 OF , FQ 夹 角 ? 的 取 值 范 围 是 _________ ( 答 : ( , ) ) ; (3)已知 ?S? 4 3 2 2

a ? ( c o sx , s i x n b )? ,

( cy os , y s ia n与)b , 之间有关系式 k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 ,①用 k 表
k2 ?1 ( k ? 0) ;② 4k

示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小(答:① a ? b ? 最小值为

1 , ? ? 60 ) 2

6、向量的运算: (1)几何运算: ( 1 ) 化 简 : ①

AB ? BC ? CD ?

___ ; ②

AB ? AD ? DC ? ____ ;

③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____(答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ; (2)若正方形 ABCD 的边长 为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____(答: 2 2 ) ; (3)若 O 是 ABC 所在

平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ABC 的形状为____(答:直角三角 形) ; ( 4 ) 若 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足

| AP | ; (5)若点 O 是 △ ABC 的外心, ? ? ,则 ? 的值为___(答:2) | PD | 且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ; (2)坐标运算: (1)已知点 A(2,3), B(5, 4) ,C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,则当 ?
P A? B P ? CP ?0 ,设
=____时,点 P 在第一、三象限的角平分线上(答:

? 1 ? ? ? (答: 或 ? ) ; A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ? 2 2 2 2 6 (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力 F ? F1 ? F2 ? F3 的
终点坐标是 (答: (9,1) ) 设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ?

1 ) ; (2)已知 2

1 AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________(答: 3

(1,

11 ; ),(?7,9) ) 3
已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1)若 x=

量 a 、 c 的夹角; (2)若 x∈ [?

3? ? 1 , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求 ? 的值(答: 8 4 2

? ,求向 3

(1)150 ;(2)

1 或 ? 2 ?1 ) ; 2 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3b | =_____(答: 13 ) ; 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60 ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是

这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜 坐标为 ( x, y ) 。 (1)若点 P 的斜坐标为(2,-2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆 心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 (答: (1)2; (2) x ? y ? xy ? 1 ? 0 ) ;
2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、向量的运算律:下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;
2 2 2 ③ ( a ? b ) ?| a | ?2 | a | ? | b | ? | b | ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

a 是______(答:①⑥⑨)

a ? c ;⑥ a ? a ;⑦

2

2

a ?b
2

?

b a

;⑧ (a ? b)2 ? a ? b ;⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的

2

2

2

2

(1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同(答:2) ; (2)已 知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x = ______ (答: 4 ) ; (3)设

PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线(答:-2 或 11)
(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? (答:

O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标是________ (答:

3 ) ; (2)以原点 2

(1,3)或(3,-1) ) ; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答:

(b, ?a)或(?b, a) ) 10.线段的定比分点:
若点 P 分 AB 所成的比为

3 7 ,则 A 分 BP 所成的比为_______(答: ? ) 4 3
???

(1) 若M (-3, -2) , N (6, -1) , 且 MP ? ?

1 ??? 7 MN , 则点 P 的坐标为_______ (答:( ?6, ? ) ) ; 3 3

?a) ( 2 ) 已知 A( a, 0),B (3, 2 ,直线 y ?
_______(答:2或-4)

1 ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2 MB ,则 a 等于 2

11.平移公式: (1) 按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) , 则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______ (答: (-8,3) ) ; ( 2 ) 函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是
?

y ? cos2 x ? 1,则 a =________(答: (?

?

?
4

,1) )
(-1,-1) ,则⊿ABC 的重心的坐

12、向量中一些常用的结论: 若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、

2 4 标为_______(答: ( ? , ) ) ; 3 3 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足

OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)
六、不等式 1、不等式的性质:
2 2 ( 1 ) 对 于 实 数 a, b, c 中 , 给 出 下 列 命 题 : ① 若a ? b, 则ac ? bc ;

? ??

? ??

? ??

1 1 ? ; a b b a a b ? ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; a b c?a c?b 1 1 ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧) ; a b (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 ,1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (答:1 ? 3x ? y ? 7 ) ; 2. 不等式大小比较的常用方法:比较 1+ log x 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小(答:当 4 4 4 0 ? x ? 1 或 x ? 时, 1+ logx 3 > 2log x 2 ; 当 1 ? x ? 时, 1+ log x 3 < 2log x 2 ; 当 x ? 时, 3 3 3 1+ logx 3 = 2log x 2 )
2 2 2 2 ② 若ac ? bc , 则a ? b ; ③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ; ④ 若a ? b ? 0, 则

3. 利用重要不等式求函数最值 (1)下列命题中正确的是 A、 y ? x ? C 、 y ? 2 ? 3x ?

1 的最小值是 2 x

B、 y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值是 2

4 4 ( x ? 0) 的 最 大 值 是 2 ? 4 3 D 、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的 最 小 值 是 x x x y 2 ? 4 3 (答:C) ; (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______(答: 2 2 ) ; (3)正数

1 1 ; ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) x y 4. 常用不等式 有:如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_____(答: ?9, ?? ? )
x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则
5、证明不等式的方法:
2 2 2 2 2 2 (1)已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca ;(2) 已知 a, b, c ? R ,

求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ; (3)已知 a, b, x, y ? R? ,且 证:

1 1 ? , x ? y ,求 a b

x y 2 2 2 2 ;(4)已知 a, b, c ? R ,求证: a b ? b c ?c2 a2 ? abc(a ? b ? c) ; ? x?a y ?b 6.简单的一元高次不等式的解法 : (1) 解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或

; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____(答:{x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; (3) x ? ?2} ) 设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域都是 R,且 f ( x) ?0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为____(答: (??,1) [2, ??) ) ; (4)要使满足关于 x 的 不 等 式 2x ? 9x ? a ? 0 ( 解 集 非 空 ) 的 每 一 个 x 的 值 至 少 满 足 不 等 式
2

x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,则实数 a 的取值范围是_____.(答: [7,
7.分式不等式的解法: (1)解不等式
2

5? x ? ?1 (答: (?1,1) (2,3) ) ; x ? 2x ? 3 ax ? b ? 0 的解集 (2)关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式 x?2 为____________(答: (??,?1) ? (2,??) ). 8.绝对值不等式的解法:解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 (答: (??, ?1) (2, ??) ) ;若不等式 4 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (答: { } ) 3 2 2 a ? 1或 0 ? a ? ) 9、 含参不等式的解法: ( 1) 若 log a ? 1 , 则 a 的取值范围是_____ (答: ; 3 3 1 ax 2 ? x(a ? R) (答: a ? 0 时,{ x | x ? 0} ; a ? 0 时,{x | x ? 或 x ? 0} ; (2)解不等式 a ax ? 1 1 a ? 0 时,{x | ? x ? 0} 或 x ? 0} ) ; (3)关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不 a x?2 ? 0 的解集为__________(答: 等式 (-1,2) ) ax ? b 2 2 11.恒成立问题(1)设实数 x, y 满足 x ? ( y ?1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围
是______(答: ? 2 ? 1, ?? ) ; (2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a

81 )) 8

?

?

的取值范围_____(答: a ? 1 ) ; (3)若不等式 2 x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成
2

7 ?1 3 ?1 (?1) n ?1 n 立,则 x 的取值范围_____(答: ( , ) ) ; (4)若不等式 (?1) a ? 2 ? 对 2 2 n

3 )) ; ( 5 ) 若 不等 式 2 1 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.(答:m ? ? ) (6) 2 已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围______(答: a ? 1)
于 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _____ ( 答 : [ ? 2, 七、直线和圆 1、直线的倾斜角: (1) 直线 xco s ? ? 3 y ? 2 ? 0 的 倾 斜 角 的 范 围 是 ____ ( 答 :

? 5? ? 2? [ 0, ] [ ,? ) ); ], 那么 m (2) 过点 P(? 3,1),Q(0, m) 的直线的倾斜角的范围 ? ? [ , 6 6 3 3 值的范围是______(答: m ? ?2或m ? 4 )
2、直线的斜率: (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件(答:既 不充分也不必要) ; (2)实数 x, y 满足 3x ? 2 y ? 5 ? 0 ( 1 ? x ? 3 ),则 别为______(答:

y 的最大值、最小值分 x

2 , ?1 ) 3

3、直线的方程: (1)经过点(2,1)且方向向量为 v =(-1, 3 )的直线的点斜式方程是 ___________(答: y ?1 ? ? 3( x ? 2) ) ; (2)直线 (m ? 2) x ? (2m ?1) y ? (3m ? 4) ? 0 ,不管 ; (3)若曲线 y ? a | x | 与 y ? x ? a(a ? 0) 有两个公 m 怎样变化恒过点______(答: (?1, ?2) ) 共点,则 a 的取值范围是_______(答: a ? 1 ) 过点 A(1, 4) ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条(答:3) 4.设直线方程的一些常用技巧: 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离: 6、直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: (1)设直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 和 l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l2 ; 当 m =________时 l1 ? l2 ; 当 m _________时 l1 与 l2 相交; 当 m =_________时 l1 与 l2 重合 (答:

?

1 ; m ? 3且m ? ?1 ;3) ; (2)已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则与 l 平行,且 2 过点(—1,3)的直线方程是______(答: 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ) ; (3)两条直线 ax ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是____(答: ?1 ? a ? 2 ) ; (4)设 a, b, c 分 别 是 △ ABC 中 ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线 sin A x ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B y ? sin C ? 0 的 位 置 关 系 是 ____ ( 答 : 垂 直 ) ; (5)已知点 P 1 ( x1 , y1 )是 直 线 l : f ( x, y) ? 0 上一点, P2 ( x2 , y2 ) 是直线 l 外一点,则方程 f ( x, y) ? f ( x1, y1 ) ? f ( x2 , y2 ) =0 所表示的直线与 l 的关系是 ____ (答:平行) ; ( 6 ) 直线 l 过点(1,0) ,且被两平行直线 3x ? y ? 6 ? 0 和 3x ? y ? 3 ? 0 所 截 得 的 线 段 长 为 9 , 则 直 线 l 的 方 程 是 ________ ( 答 : 4x ? 3 y ? 4 ? 0 和x ? 1 ) 7、到角和夹角公式:已知点 M 是直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点,把直线 l 绕点 M 逆时 针方向旋转 45°,得到的直线方程是______(答: 3x ? y ? 6 ? 0 ) 8、对称(1)已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称,点 P 与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与
-1;

点 P 关于直线 x ? y ? 0 对称,则点 Q 的坐标为_______(答: (b, a ) ) ; (2)已知直线 l1 与 l2 的 夹角平分线为 y ? x , 若 l1 的方程为 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) , 那么 l2 的方程是___________ (答:

bx ? ay ? c ? 0 ) ; (3)点A(4,5)关于直线 l 的对称点为B(-2,7),则 l 的方程是_________ (答: y=3x+3 ) ; (4)已知一束光线通过点A(-3,5) ,经直线 l :3x-4y+4=0 反射。如果 反射光线通过点B (2, 15) , 则反射光线所在直线的方程是_________ (答: ; 18x+y ? 51 ? 0 )
(5)已知Δ ABC 顶点 A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,∠B 的 平分线所在的方程为 x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答: 2x ? 9 y ? 65 ? 0 ) ; (6)直 线 2x―y―4=0 上有一点P,它与两定点A(4,-1) 、B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标 是______(答: (5,6) ) ; (7)已知 A ? x 轴, B ? l : y ? x ,C(2,1) , ABC 周长的最小值 为______(答: 10 ) 。 9、简单的线性规划: 已知点 A(—2,4) ,B(4,2) ,且直线 l : y ? kx ? 2 与线段 AB 恒相交,则 k 的取值范围 是__________(答: ?-?,- 3?

?1,+?? )

(1)线性目标函数 z=2x-y 在线性约束条件

?|| xy ||?? 11

下,取最小值的最优解是____(答:

(-1,1) ) ; (2)点(-2,t )在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是_________(答:

2 ) ; (3)不等式 | x ? 1 | ? | y ? 1 |? 2 表示的平面区域的面积是_________(答:8) ; (4)如 3 ? ?x ? y ? 2 ? 0 果实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ?| x ? 2 y ? 4 | 的最大值_________(答:21) ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 t?
10、圆的方程: (1)圆 C 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为____________(答: ; ( 2 ) 圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ) __________(答: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) ; (3)已知 P(?1, 3) 是圆

r cos ? ?xy ? ? r sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) 上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的 ? 值
2 2

为_______, 过 P 点的圆的切线方程是___________ (答:x ? y =4 ;

2? ;x ? 3 y ? 4 ? 0 ) ; 3 1 ) ; 2

(4)如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是____
2 k? (答: [0, 2]) ; (5) 方程 x2+y -x+y+k=0 表示一个圆, 则实数 k 的取值范围为____ (答:

( 6 ) 若 M ? {( x, y ) |

3cos ? ?xy ? ? 3sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )} , N ? ?( x, y) | y ? x ? b? ,若

M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是_________(答: -3,3 2 ? ?)
11、点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______(答: | a |?


?

1 ) 13

2 2 12、直线与圆的位置关系: (1)圆 2 x ? 2 y ? 1与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R, ? ?

? k? , 2 2 2 k ? z ) 的位置关系为____(答:相离) ; (2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ?1 ? 0 切

?

于点 P(?1, 2) , 则 ab 的值____ (答: 2) ; (3) 直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于
2 2

(答: 4 5 ) ; ( 4 ) 一束光线从点 A( - 1,1) 出发经 x 轴反射到圆 (答: 4) ; (5) 已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 C.m // l , 且 l 与圆相离
2

C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 交 B.l ? m , 且 l 与圆相交
2

内一点,现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线 l : ax ? by ? r 2 ,则 A. m // l ,且 l 与圆相 D.l ? m , 且 l 与圆相离 (答: C) ; (6)已知圆 C: x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R ,直 线 L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾 斜角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 长: y ? 1 ,最短: x ? 1 ) 13、圆与圆的位置关系 双曲线 ③最

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别 a 2 b2
(答:内切)

以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 14、圆的切线与弦长:

设 A 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1上动点, PA 是圆的切线, 且|PA|=1, 则 P 点的轨迹方程为__________ (答: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ) ; (2)弦长问题: 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件: (1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下 列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A . PF B . PF 1 ? PF 2 ? 4 1 ? PF 2 ?6 C . PF 1 ? PF 2 ? 10 D . PF1
2

? PF2

2

? 12 ( 答 : C );( 2 ) 方 程

( x ? 6 2) ? y 2 ?

表8 示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (x ? 62 ) ?y 2 ?

(2)第二定义已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? _____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程 ( 1 ) 椭圆 : ( 1 ) 已知方程

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是 4

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为 ____ (答: 3? k 2?k

1 1 2 2 (?3, ? ) (? , 2) ) ; (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 2 2 的最小值是___(答: 5, 2 ) x2 y2 5 (2)双曲线: (1)双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲 9 4 2 x2 线的方程_______(答: ; (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上, ? y 2 ? 1) 4 离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 ? 6 )
(3)抛物线: 3.圆锥曲线焦点位置的判断:

椭圆:已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: m ?1 2 ? m

3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2
4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(1)若椭圆

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; (2) ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__ (答: 2 2 ) (2) 双曲线(1)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______ (答:

1 13 13 或 ) ; (2)双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = (答:4 或 ) ; 4 2 3 x2 y2 (3)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值 a b ? ? 范围是________(答: [ , ] ) ; 3 2
(3)抛物线;设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

x2 y2 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: a b
6.直线与圆锥曲线的位置关系: 2 2 (1) 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是_______

x2 y 2 15 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围 ,-1)) ; (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 5 m 3 x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 是_______(答:[1,5)∪(5,+∞) ) ; (3)过双曲线 1 2
(答:(A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3) ; (2) 过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2

①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲 线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条 与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原 点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直 线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于 对称轴的直线。 (1)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______
2

(答:2) ; (2)过点(0,2)与双曲线 ______(答: ? ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9 16

? y2 ? 4 4 5? ? 2 ,? ) ; ( 3 ) 过双曲线 x ? ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B ? 3 3 2 ? ? ? ?

两点,若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有____条(答:3) ; (4)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我 们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部, 若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部, 则直线 l : (答: 相离) ; ( 5) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______ 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、q ,则 1) ; (6)设双曲线
2

1 1 ? ? _______(答: p q

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右 16 9 准线分别于 P, Q, R , 则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、 小于或等于)(答:
等于) ; (7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:
2 2

8 13 ) ; (8) 13

直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线 的两支上?②当 a 为何值时, 以 AB 为直径的圆过坐标原点? (答: ① ? 3, 3 ; ② a ? ?1 ) ; 7、焦半径(1)已知椭圆 的距离为____(答:

?

?

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线 25 16

35 ) ; (2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 3 5, 则它到抛物线的焦点的距离等于____; (3) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, 则点 M 2 2 x y 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) ) ; (4)点 P 在椭圆 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到 25 9 25 右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______(答: ) ; (5)抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、 12 x2 y2 B 到焦点的距离和是 5, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______ (答: 2) ; (6) 椭圆 ? ?1 4 3 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐
标为_______(答: (

2 6 ; ,?1) ) 3
2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线 3

8、焦点三角形(1)短轴长为 5 ,离心率 e ?

交椭圆于 A 、 B 两点,则 ?ABF2 的周长为 ________ (答: 6 ) ; ( 2 ) 设 P 是等轴双曲线

x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆 的方程为 (答: x ? y ? 4 ) ; (3)椭圆 9 4 3 5 3 5 → → , )) 上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的横坐标的取值范围是 (答:(? ; (4) 5 5 6 双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支 2 交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________(答: 8 2 ) ; (5)
2 2

已知双曲线的离心率为 2 , F1 、 F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,
?

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ? ?1) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式: (1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两 点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线 于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆 条弦所在的直线方程是

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这 36 9 (答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ; ( 2 ) 已知直线 y= - x+1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭 a 2 b2 2 x2 y2 圆的离心率为_______(答: ) ; (3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆 ? ? 1 上有不 4 3 2 ? 2 13 2 13 ? 同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称(答: ? ? ; ? 13 , 13 ? ?) ? ?
特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对 称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗? 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______(答: 9 16

4 x2 y 2 ? ? 1) 9 4
13.动点轨迹方程: 已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答:

y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) ); 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以
x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 ; y ? 2x )
2 2 2


0





(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为
2 2 2

(答: x ? y ? 4 );(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它
2 2 2

到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ (答: y ? 16 x );(3) 一动圆 与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
2

动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的 1 轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ? ); 3 (1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点

? ??

P, P | |? M N| 使| O

, 求点 P 的轨迹。 (答:x ? y ? a | y | ) ; (2) 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x ? y ? 1
2 2

2

2

上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____(答: y ? 2 x ? 1(| x |?
2

1 ) );(3)过抛物 2

线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ (答:

x2 ? 2 y ? 2 );
已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭 a2 b2

圆外的动点, 满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, 点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (1)设 x 为点 P 的横坐标,证明

c x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C a 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值; b2 ?a时 若不存在,请说明理由. (答: (1)略; (2) x2 ? y 2 ? a 2 ; (3)当 c b2 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) 不存在;当 c | F1 P |? a ?
九、直线、平面、简单多面体 1、三个公理和三条推论: (1)在空间四点中,三点共线是四点共面的_____条件(答:充分非必要) ; (2)给出命题: ①若 A∈l,A∈α ,B∈l ,B∈α ,则 l ? α ;②若 A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩ β =AB;③若 l ? α ,A∈l,则 A ? α ④若 A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且 A、B、C 不 共线, 则α 与β 重合。 上述命题中, 真命题是_____ (答: ①②④) ; (3) 长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=8,BC=6,在线段 BD,A1C1 上各有一点 P、Q,在 PQ 上有一点 M,且 PM=MQ,则 M 点的轨迹图形的面积为_______(答:24) 2、直观图的画法(斜二侧画法规则) : (1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如 下图的一个正方形,则原来图形的形状是( ) (答:A)

(2)已 知正 ?ABC 的边长为 a ,那么 ?ABC 的平面直观图 ?A?B?C ? 的面积为_____(答:

6 2 a ) 16

3、空间直线的位置关系: (1)空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四边上的中点, 则直线 EG 和 FH 的位置关系_____(答:相交) ; (2)给出下列四个命题:①异面直线是指空 间既不平行又不相交的直线;②两异面直线 a , b ,如果 a 平行于平面 ? ,那么 b 不平行平面 ? ; ③两异面直线 a , b ,如果 a ? 平面 ? ,那么 b 不垂直于平面 ? ;④两异面直线在同一平面内的 射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____(答:①③) 4、异面直线的判定: (1) “a、b为异面直线”是指:①a∩b=Φ ,但a不平行于b; ②a ? 面 α,b ? 面 β 且 a∩b=Φ ;③a ? 面 α,b ? 面 β 且 α∩β =Φ ;④a ? 面 α,b ? 面 α ;⑤不存在平面α ,能使a ? 面 α 且b ? 面α 成立。上述结论中,正确的是_____(答:① ⑤) ; (2)在空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是 AB、CD 的中点,设 BC+AD=2a,则 MN 与 a 的大小关系是_____(答:MN<a) ; (3)若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、 BC、CD、DA 的中点,且 EG=3,FH=4,则 AC2+BD2= _____(答:50) ; (4)如

果a、b是异面直线,P 是不在a、b上的任意一点,下列四个结论:①过点 P 一定可以作直 线 l 与a、b都相交; ②过点 P 一定可以作直线 l 与a、b都垂直;③过点 P 一定可以作平面 α 与a、 b都平行; ④过点 P 一定可以作直线 l 与a、 b都平行。 其中正确的结论是_____ (答: ②) ; (5)如果两条异面直线称作一对,那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____(答: 24) ; (6)已知平面 ? ? 平面? ? a, b ? ? , b ? a ? A, c ? ?且c // a, 求证:b、c 是异面直线. 5、异面直线所成角 ? 的求法: (1)正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等, E 是 PC 的中 点,那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于____(答:

3 ) ; (2)在正方体 AC1 中, 3

M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上的一点,则 OP 与 AM 所成的 角的大小为____(答:90°) ; (3)已知异面直线 a、b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30°的直线有且仅有____条(答:2) ; (4)若异面直线 a , b 所成的角 为
?
3

,且直线 c ? a ,则异面直线 b, c 所成角的范围是____(答: [

? ?

, ]) ; 6 2

6、异面直线的距离的概念: (1)ABCD 是矩形,沿对角线 AC 把Δ ADC 折起, C1 D1 使 AD⊥BC,求证:BD 是异面直线 AD 与 BC 的公垂线; (2)如图,在正方体 B1 ABCD—A1B1C1D1 中,EF 是异面直线 AC 与 A1D 的公垂线,则由正方体的八个顶点 A1 所连接的直线中,与 EF 平行的直线有____条(答:1) ; E D C 7 直线与平面的位置关系: (1)下列命题中,正确的是 A、若直线 a 平行于平 F 面 ? 内的一条直线 b , 则 a // ? B、 若直线 a 垂直于平面 ? 的斜线 b 在平面 ? 内 A B 的射影,则 a ⊥b C、若直线 a 垂直于平面 ? ,直线 b 是平面 ? 的斜线,则 a 与 b 是异面直线 D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成 的角也相等, 则它一定是正棱锥 (答: D) ; (2) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是___________(答:线段 B1C) 。 10、直线与平面平行的判定和性质: (1)α 、β 表示平面,a、b 表示直线,则 a∥α 的一个充分不必要条件是 A、α ⊥β , a⊥β B、α ∩β =b,且 a∥b C、a∥b 且 b∥α D、α ∥β 且 a ? β(答:D) ; (2)正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN ∥面 AA1B1B。 11、直线和平面垂直的判定和性质: (1)如果命题“若 x ? y, y ∥z,则 x ? z ”不成立, 那么字母 x、y、z 在空间所表示的几何图形一定是_____(答:x、y 是直线,z 是平面) ; (2) 已知 a,b,c 是直线,α 、β 是平面,下列条件中能得出直线 a⊥平面α 的是 A、a⊥b,a ⊥c其中b ? α, c?α B、 a⊥b , b∥α C、 α ⊥β , a∥β D、 a∥b, b⊥α (答: D) ; (3)AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD⊥面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F, 求证:BD⊥平面 AEF。


推荐相关:

高中数学复习知识点大全

高中数学复习知识点大全_数学_高中教育_教育专区。高中...点 1 命题点 2 命题点 3 第六讲 命题点 1 ...分类计数原理与分步计数原理 空间向量的坐标运算 分类...


高一数学必修一重点难点分析

高一数学必修一重点难点分析_高二数学_数学_高中教育...的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集,如图 1 ...(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力...


高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(师)

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(师)_数学_高中教育_教育专区。排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第...


高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型...排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成...解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想....


高中数学必修一集合知识点总结大全

集合与元素 ( ? ? ( ? 3)集合的分类高中数学 必修 1 知识点 集合 ? ()...GRE复习指导---高频机经阅读精选104份文档 2014年驾照交规 2014年1月1日起“驾...


沈阳吴军家教高考数学复习知识点分类考试技术指导(高分思路)

沈阳高中数学家教 2011届高... 83页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...2011 高考数学第一轮复习知识点分类指导 一、集合与简易逻辑 1.集合元素具有确...


2011年高考数学复习知识点分类指导-高考生必备基础知识

2011年高考高中数学常用公... 73页 免费 2011年高考...2011年高考数学复习知识点分类指导-高考生必备基础知识...高考生必备基础知识 一、集合与简易逻辑 1.集合元素...


全国统考教师资格证考试初中数学学科知识复习资料

初中数学学科知识复习资料《数学学科知识与教学能力》 (初级中学)大纲 一、考试目标 1.学科知识的掌握和运用。掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学知识。...


1高中数学基础知识归类——献给高三考生

高中数学基础知识归类——... 22页 1财富值 2012高考数学复习指导 5页 免费 高中高考数学易错易混易忘... 61页 免费 高中数学公式大全 27页 免费 群落的结构...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com