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2010年上海市新知杯初中数学竞赛试卷及答案


2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1. 已知 x ?

1 1 1 ? 3 ,则 x10 ? x 5 ? 5 ? 10 ? _________。 x x x
2 2

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y 2 ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为__________。

? 3. 已知直角三角形 ABC 中, C ? 90 ,BC ? 6,CA ? 3 , 为 ?C 的角平分线, CD=____ 。 CD 则
?

4. 若前 2011 个正整数的乘积 1 ? 2 ? ? ? 2011 能被 2010 整除, 则正整数 k
k

y A M O B N C x

的最大值为________。 5. 如图, 平面直角坐标系内, 正三角形 ABC 的顶点 B, 的坐标分别为 C (1, 0)(3,0) , ,过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N, 若 OM=MN,则点 M 的坐标为_________。

6. 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,使得 AE=2, BF=5, DG=3, AH=3, O 在线段 HF 上, 点 使得四边形 AEOH 的面积为 9, 则四边形 OFCG 的面积是_________。

0 7. 整 数 p,q 满 足 p ? q ? 2 0 1 , 且 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程

A E

H

D

67x 2 ? px ? q ? 0 的两个根均为正整数,则 p ? ________。

O

G C

8. 已知实数 a,b,c 满足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。设 x1,x2 是 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则 平 面 直 线 坐 标 系 内 两 点
2

B

F

A

A?x1,x2 ?,B?x2,x1 ? 之间的距离的最大值为_______。
9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的 面积等于_______。 10. 设 a,b,c 是整数,1 ? a ? b ? c ? 9 ,且 abc? bca ? cab ? 1 能被 9 整除,则 a ? b ? c 的最小值是_________,最大值是__________。
B P E

Q C D

二、 解答题(每题 15 分,共 60 分) 11. 已知面积为 4 的 ?ABC 的边长分别为 BC ? a,CA ? b,AB ? c,c ? b , 是 ? A 的角平分 AD 线,点 C ' 是点 C 关于直线 AD 的对称点,若 ?C' BD 与 ?ABC 相似, 求 ?ABC 的周长的最小值。 A

C'
1

B D

C

12. 将 1,2,…,9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中,使得 三位数 abc, , , , 和 aei 都能被 11 整除, 求三位数 ceg 的 def ghi beh cfi 大值

a b c d e f g h i

7个 最

13. 设实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,且 ?x ? y ? ? ? y ? z ? ? ?z ? x? ? 2 ,求 x 的最大值和最
2 2 2

小值

b 14. 称具有 a ? 161 形式的数为“好数”,其中 a, b 都是整数
2 2

(1)证明:100,2010 都是“好数”。 (2)证明:存在正整数 x, y ,使得 x
161

? y161 是“好数”,而 x ? y 不是“好数”。

2

3

4

5

6

7

8

9



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