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江苏省数学竞赛提优教案:第40讲


第 40 讲 格点 节主要内容有格点的概念,及格点在解题中的应用. 格点,又叫整点,指的是在直角坐标系中,每个坐标都是整数的点.或者直接在平面上 取两组互相垂直的平行线(在空间中就取三组互相垂直的平行平面), 相邻的两条平行线的距 离相等,这两组平行线的交点就是格点.当一个多边形的所有顶点都是 两组互相 垂直的 平行线,相邻的两条平 行线的距离相等,这两组平行线的交点就是格点.关

于格点多边形, 有下列定理: 定理 1 (皮克定理)设格点多边形内部有 N 个格点,边界上有 L 个格点,则其面积 S=N+ L-1. (证明略) 定理 2 边与两轴平行的正方形(顶点不一定是格点),如果其 面积大于 1,则其内部至少有一个格点. 证明 如图, 设点 A、 B 的横坐标分别为 a, b, 则 r=b-a>1. 若 a 为整数,则 a+1<b,而 a+1 为整数,此时,直线 x=a +1 穿过正方形 ABCD 内部; 若 a 不是整数, [a]是不超过 a 的最大 O a b x y D A C B 1 2 整数,{a}=a-[a],有 0<{a}<1,此时 a=[a]+{a}<[a]+1=a-[a]+1=a+1-[a] <b-[a]<b.即直线 x=[a]+1 穿过正方形内部.总之,正方形内部有一条竖直格线穿过. 同理,正方形内部有一条水平格线穿过.即其正方形内部有一个格点. y A 类例题 例 1 ⑴ 内部不含格点的圆,其面积? . 2 ⑵ 内部恰有一个格点的圆,其半径不大于 1. 分析 本题是定理 2 的一个直接应用. 1 ? ⑴证明 如果圆的面积> ,则其半径> 其内接正方形边长 2 2 >1.由定理 2 可知其内部必有格点.故证. ⑵ 证明 设⊙O 有内部恰有一个格点,且其的半径>1. O ? D C AO B x D O A C B 圆心 O 必在某个格点正方形 ABCD 内或在其边上.从而 A、B、C、D 至少有三点在⊙O 外 或⊙O 上.于是相对的两个顶点 A、C 或 B、D 同在⊙O 外或⊙O 上,例如 B、D 在⊙O 外(或⊙ O 上).于是 BO?1,DO?1.即 O 应在以 B、D 为圆心,1 为半径的圆外(或边界上),又在正 方形 ABCD 内部,这是不可能的. 例 2 ⑴ 找出内部恰有 0 个、1 个、2 个、3 个、4 个格点的面积最大的圆. ⑵ 能否找到内部恰有 5 个格点的面积最大圆? ⑴解 (如图)内部恰有 0 个格点的面积最大圆的半径= 内部恰有 1 个格点的面积最大圆的半径=1; 内部恰有 2 个格点的面积最大圆的半径= 5 ; 2 1 2 ; 5 2 内部恰有 3 个格点的面积最大圆的半径= ; 6 内部恰有 4 个格点的面积最大圆的半径 10 = . 2 ⑵解 如左图画的是内部有 5 个格点且过 4 个格点的圆,其半径= 2.但这圆不是内部 有 5 个格点的面积最大圆. l1 l3 l2 P3 Q O P2 P1 P4 如右圆, 取内部恰有四个格点的面积最大圆(虚线画的圆), 其圆心为 O, 点 P1 、 P2 、 P3、 ?、 P8 等 8 个格点在此圆上,其半径= 10 > 2. 2 可以作一个圆使原来四个在圆内的格点仍在此圆内,且使 P1 在圆内而原来在圆上的其 他格点都在圆外.为此取 P1 P8 、P2 P3 的垂直平分线 l1 、l2 ,则在这两条直线围出的右上平面 内的点,到 P1 的距离比到 P8 的距离小,到 P2 的距离比到 P3 的距离小,再作 P2

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