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2014届高三数学辅导精讲精练7


2014 届高三数学辅导精讲精练 7
1.(2013· 沧州七校联考)下列函数中,不具有奇偶性的函数是 A.y=ex-e-x C.y=cos2x 答案 D ) B.y=lg 1+x 1-x ( )

D.y=sinx+cosx

2. (2012· 天津)下列函数中, 既是偶函数, 又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=co

s2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 C.y= ex-e-x 2 ,x∈R

D.y=x3+1,x∈R 答案 解析 B 由函数是偶函数可以排除 C 和 D, 又函数在区间(1,2)内为增函数, 而

此时 y=log2|x|=log2x 为增函数,所以选择 B. 3.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f(x)=x(1+x),那么 x<0,f(x)等于 A.-x(1-x) C.-x(1+x) 答案 解析 B 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又 f(-x)=-f(x),∴f(x) B.x(1-x) D.x(1+x) ( )

=x(1-x). 4. 已知 f(x)(x∈R)为奇函数, f(2)=1, f(x+2)=f(x)+f(2), f(3)等于 ( 则 1 A.2 3 C.2 答案 解析 C 令 x=-1,则 f(-1+2)=f(-1)+f(2), B.1 D.2 )

1 即 f(1)=-f(1)+f(2),∴f(1)=2.

1 3 ∴f(3)=f(1)+f(2)=2+1=2. 5.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在 区间(0,6)内解的个数至少是 A.1 C.3 答案 解析 B 由 f(2)=0,得 f(5)=0,∴f(-2)=0,f(-5)=0. B.4 D.2 ( )

∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0. 故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个解. 讲评 况. 6.(2011· 湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex, 则 g(x)= A.ex-e-x 1 C.2(e-x-ex) 答案 解析 D 由 f(x)+g(x)=ex 可得 f(-x)+g(-x)=e-x,又 f(x)为偶函数,g(x)为奇 ex-e-x 2 ,选 D. 1 B.2(ex+e-x) 1 D.2(ex-e-x) ( ) 本题的易错点是,易忽略条件 f(x)是偶函数,而且还易出现漏根的情

函数,可得 f(x)-g(x)=e-x,则两式相减,可得 g(x)=

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(- 2)= A.1 1 C.4 答案 B B.-1 11 D.- 4 ( )

8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数), 则 f(-log35)的值为 A.-4 B.4 ( )

C.-6 答案 A

D.6

9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则 f(π)+ f(-2)与 0 的大小关系是 A.f(π)+f(-2)>0 C.f(π)+f(-2)<0 答案 解析 C 由已知得 f(π)<0,f(-2)=-f(2)<0,因此 f(π)+f(-2)<0. B.f(π)+f(-2)=0 D.不确定 ( )

10.设 f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中 a,b,c 为常数,x∈R),若 f(-2 011)= -17,则 f(2 011)=________. 答案 解析 31 f(2 011)=a· 0115+b· 0113+c· 011+7, 2 2 2

f(-2 011)=a(-2 011)5+b(-2 011)3+c(-2 011)+7, ∴f(2 011)+f(-2 011)=14,∴f(2 011)=14+17=31. 11.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图像关于________点对称. 答案 解析 (0,1) f(x)的图像是由 y=x3+sinx 的图像向上平移一个单位得到的.

12.(2012· 浙江)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] 3 时,f(x)=x+1,则 f(2)=________. 答案 解析 3 2 依题意,得 f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x),

3 1 1 1 3 则 f(2)=f(-2)=f(2)=2+1=2. 13.(2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 答案 解析 -1 令 H(x)=f(x)+x2,则 H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,∴f(-

1)=-3,∴g(-1)=f(-1)+2=-1. 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+5)=-f(x)+2,且当 x∈(0,5)时,

f(x)=x,则 f(2 012)的值为________. 答案 解析 2 ∵f(x+10)=f[(x+5)+5]

=-f(x+5)+2=-[-f(x)+2]+2=f(x), ∴f(x)的一个周期为 10. ∴f(2 012)=f(10×201+2)=f(2)=2. 15.(2011· 上海文)设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x +g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[0,3]上的值域为________. 答案 [-2,7]

16.(2013· 山东潍坊)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[- 1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________. 答案 解析 ①②⑤ 由 f(x+1)=-f(x),得

f(x+2)=-f(x+1)=f(x). ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确. f(x)关于直线 x=1 对称,②正确. f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f(2)=f(0).因此③、④错误,⑤ 正确.综上,①②⑤正确. 17.若 f(x)和 g(x)都是奇函数,且 F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上有最 大值 8,求 F(x)在(-∞,0)上的最小值. 解析 由题意知,当 x>0 时,F(x)≤8.

∵f(x),g(x)都是奇函数,且当 x<0 时,-x>0. ∴F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2

=-af(x)-bg(x)+2 =-[af(x)+bg(x)+2]+4≤8 ∴af(x)+bg(x)+2≥-4. ∴F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(-∞,0)上有最小值-4. -2x+b 18.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立, k 的取值范围. 求 答案 解析 (1)a=2,b=1 1 (2)k<-3

(1)∵f(x)是奇函数, b-1 =0?b=1. a+2

∴f(0)=0,即

1-2x ∴f(x)= . a+2x+1 1-2 =- ?a=2. a+4 a+1 1 1-2

又由 f(1)=-f(-1)知

1-2x (2)由(1)知 f(x)= ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因 f(x)是奇 2+2x+1 函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2). 因 f(x)为减函数,由上式推得 t2-2t>k-2t2. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ=4+12k<0?k<-3.

1.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lgx)的解集是 ( A.(0,10) 1 C.(10,+∞) 答案 D 1 B.(10,10) 1 D.(0,10)∪(10,+∞) )

2. 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值是( 1 A.-3 1 C.2 答案 B ? 1 ?a= , ?a-1=-2a, 依题意得? ∴? 3 ?b=0, ?b=0. ? 1 B.3 1 D.-2

)

解析

1 1 ∴a+b=3+0=3. 3.对任意实数 x,下列函数中的奇函数是 A.y=2x-3 C.y=ln5x 答案 C B.y=-3x2 D.y=-|x|cosx ( )

4.(2011· 上海)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减 的函数是 1 A.y=ln|x| C.y=2|x| 答案 A B.y=x3 D.y=cosx ( )

5.(2011· 大纲全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1 5 -x),则 f(-2)= 1 A.-2 1 C.4 答案 解析 选 A. 6.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上 是减函数,则 f(x) ( ) A 5 5 5 1 1 1 1 依题意, f(-2)=-f(2)=-f(2-2)=-f(2)=-2×2×(1-2)=-2, 得 1 B.-4 1 D.2 ( )

A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 思路 根据函数是偶函数和关系式 f(x)=f(2-x),可得函数图像的两条对称

轴, 只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像,结合图像对问题作出 结论. 答案 解析 B 方法一 由函数是偶函数,知函数的图像关于 y 轴对称,函数在区间

[-2,-1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反,为增函数; 由 f(x)=f(2- x)知函数的图像关于直线 x=1 对称,故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[- 2,-1]上的单调性相反,为减函数.故选 B. 方法二 求解本题的难点在于函数的抽象性, 化解难点的基本思想是充分利

用函数的性质进行推理,如根据函数是偶函数可得 f(-x)=f(x),再根据 f(x)=f(2 -x),把其中的 x 换成-x 可得 f(-x)=f(2+x),即 f(x)=f(x+2),即函数是周期 为 2 的偶函数,再根据 f(x)=f(2-x)推知函数图像关于直线 x=1 对称. 7.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) 答案 解析 D 由 y=f(x+1)为奇函数知 f(x+1)=-f(-x+1), ① ② B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数 ( )

y=f(x-1)为奇函数知 f(x-1)=-f(-x-1), 由①,得 f(-x)=-f(2+x). 由②,得 f(-x)=-f(x-2). ∴f(2+x)=f(x-2). 即 f(x+4)=f(x). ∴函数 y=f(x)是以 4 为周期的函数. ∴由②知,f(x-1+4)=-f(-x-1+4). ∴f(x+3)=-f(-x+3). ∴函数 f(x+3)是奇函数.

8. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, 对任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+2f(2). 若 y=f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,且 f(-1)=2,则 f(2 013)= A.5 C.3 答案 解析 D y=f(x-1)的图像关于 x=1 对称, B.4 D.2 ( )

∴y=f(x)图像关于 x=0 即 y 轴对称. ∴f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 令 x=-2,得 f(2)=0. ∴f(x+4)=f(x),∴f(x)周期 T=4. ∴f(2 013)=f(1). 又∵f(-1)=2,∴f(1)=2,选 D. 9.(2013· 广东六校)已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 3 3 的周期函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=sinπx,f(2)=0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的 零点个数是 A.3 C.7 答案 解析 D 对 R 上的奇函数 f(x),有 f(0)=0. B.5 D.9 ( )

又 f(1)=sinπ=0;再由 T=3, ∴f(3)=f(0+3)=f(0)=0, f(6)=f(3+3)=f(3)=0, f(4)=f(1+3)=f(1)=0, f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(2)=-f(-2)=0, f(5)=f(2+3)=f(2)=0. 3 9 3 3 因为 f(2)=0,所以 f(2)=f(2+3)=f(2)=0. 3 9 综上可知 f(x)在区间[0,6]上的零点为 0,1,2,2,3,4,2,5,6 共 9 个,故选 D.

10.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 答案 解析 0 由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1

+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 11. 已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, x∈R, 对 f(2+x)=f(2-x), f(3) 当 =2 时,f(2 013)的值为________. 答案 解析 2 因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),

故函数 f(x)是以 4 为周期的函数,所以 f(2 013)=f(-3+4×504)=f(-3)=f(3)= 2. 12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x+2)=- f(x)成立,则 f(19)=________. 答案 解析 0 依题意得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(x)是以 4 为周期的函数, 即 因此

有 f(19)=f(4×5-1)=f(-1)=f(1),且 f(-1+2)=-f(-1),即 f(1)=-f(1),f(1) =0,因此 f(19)=0. 13.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

?ax+1,-1≤x<0, ?bx+2,0≤x≤1, ? x+1
答案 解析 -10

1 3 其中 a,b∈R.若 f(2)=f(2),则 a+3b 的值为________.

3 1 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f(2)=f(-2),且 f(-

1 2b+2 1 1 1 1)=f(1),故 f(2)=f(-2).从而 1 =-2a+1,3a+2b=-2. 2+1 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= 2 ,故 b=-2a. 由①②,得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.





14.定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数 y

1 =f(x+2)为偶函数,则 f(-1),f(4),f(52)的大小关系是__________. 答案 解析 1 f(52)<f(-1)<f(4) ∵y=f(x+2)为偶函数,

∴y=f(x)关于 x=2 对称. 又 y=f(x)在(-∞,2)上为增函数, ∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而 f(-1)=f(5), 1 ∴f(52)<f(-1)<f(4). x+3 15. f(x)是连续的偶函数, 设 且当 x>0 时, f(x)是单调函数, 则满足 f(x)=f( ) x+4 的所有 x 之和为________. 思路 x+3 由函数联想图像,若 x, 都在 y 轴一侧,则这两个式子相等;若 x+4

在 y 轴两侧,则其互为相反数. 答案 解析 -8 依题意,当满足 f(x)=f( x+3 )时, x+4

x+3 有 x= 时,得 x2+3x-3=0. x+4 此时 x1+x2=-3.又 f(x)是连续的偶函数, ∴f(-x)=f(x). x+3 ∴另一种情形是 f(-x)=f( ). x+4 x+3 有-x= ,得 x2+5x+3=0. x+4 ∴x3+x4=-5. ∴满足 f(x)=f( x+3 )的所有 x 之和为-3+(-5)=-8. x+4 ax+b 1 2 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= . 2 5 1+x

16.函数 f(x)=

(1)确定函数 f(x)的解析式;

(2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数. 解析 (1)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, -ax+b -ax-b = . 1+x2 1+x2

∴f(-x)=-f(x),即 ∴b=-b,即 b=0. 1 2 ∵f(2)=5,∴ 1 2a

1+4

2 =5,∴a=1. 1 x (-1<x<1). 1+x2

∴函数解析式为 f(x)=

(2)证明:任取 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= ?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 . 2- 2= 2 1+x1 1+x2 ?1+x1??1+x2? 2

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,-1<x1·2<1. x ∴1-x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(-1,1)上是增函数.


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