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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷八


广东省河源市 2013 届高三质量检测数学理科卷 8
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 z 为复数,且满足 i ?z ? 2 ? 3i ,则复数 z 的模为 A. 5 B. 5 C.

13

D. 13

2.已知

A ? {x | x2 ? 1}, B ? {x | x ? a} ,且满足 A ? B ? B ,则实数 a 的范围是 A. (1, ??) B. [1, ??) C. (?1,1) D. (??,1]

3. 要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可由函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象按下列哪种变换面得到

? 个单位; 6 ? C. 向右平移 个单位; 6
A.向左平移

B. 向左平移

? 个单位; 3 ? D. 向右平移 个单位; 3

4.一个几何体的三视图如图 1 所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ?

A.
h

3 2

B.

3

C. 3 3

D. 5 3

D
5 正视图 6 侧视图

C O

图1
俯视图

A
图2

B

5. 如图 2, 梯形 ABCD 中, AB//CD, AB=2CD, 且 对角线 AC、 相交于点 O, A ? ,AB ? b , DB 若 D a 则 AO ? A.

? ? ? ?

??? ?

?

????

4? 2? a? b 3 3

B. a ?

1? 3

2? b 3

C.

2? 1? a? b 3 3

D.

2? 1? a? b 3 3

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 6.设 x ??0,3? , y ??0,4? ,则点 M 落在不等式组: ? x ? 0 所表示的平面区域内的概率等于 ?y ? 0 ?
·1·

A.

1 12

B.

3 16

C.

5 16

D.

1 3

7. 设 1 ? x ? e ,则“ x(ln x)2 ? 1 ”是“ x ln x ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 时,f ( x) ? x2 , 则函数 g ( x) ? f ( x)? | log5 x |

1 ? 1 8. 已知最小正周期为 2 的函数 y ? f ( x) , x ?[], 当
的零点个数为 A. 3 B. 4 C. 5

D. 6

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9.公差不等于 0 的等差数列 {an } 中, a2 , a3 , a5 构成等比数列, S7 ? 42 ,则 an ? 10. 已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x, 则 lim

? x ?0

f (1 ?? x) ? f (1) = ?x


11.工厂从一批正四棱柱形状的零件中随机抽查了 n 件,测得它们底面边长依次是 a1 、 a2 、…、 an 。 则图 3 所示程序框图输出的 ? ? 开始 输入 n, a1 , a2 , ???, an
A4

M A3

? ? 0, i ?1
i?n
否 输出 ? 是

i ? i ?1
(i ? 1)? ? ai ?? i
结束 图3
A1
2

A2

O

B1

B2

B3

N

图4

12. 如 图 4 , ?MON 的 边 OM 上 有 四 点 A1 , A2 , A3 , A4 , ON 上 有 三 点 B1 , B2 , B3 , 则 以

O, A1, A2 , A3 , A4 , B1, B2 , B3 为顶点的三角形共有



13.已知两定点 M (?1,0) , N (1,0) ,若直线上存在点 P ,使得 PM ? PN ? 4 ,则该直线为“ A 型 直线” .给出下列直线,其中是“ A 型直线”的是 ① y ? x ?1 ②y?2 ③ y ? ?x ? 3 . ④ y ? ?2 x ? 3

·2·

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C1 的极坐标方程为:? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0 , 其中 k ? 0 。 以极点为坐标原点,极轴为 x 正半轴,建立平面直角坐标系,在此坐标系下,曲线 C2 的方程为

? x ? cos ? ( ? 为参数) 。若曲线 C1 与曲线 C2 相切,则 k ? ? ? y ? sin ?


N D P C B

15. (几何证明选讲)如图 5,半径是 3 3 的⊙ O 中, AB 是直径, MN 是 过 点 A 的 ⊙ O 的 切 线 , AC , BD 相 交 于 点 P , 且 ?DAN ? 30 ,
0

A

O

CP ? 2, PA ? 9 ,又 PD ? PB ,则线段 PD 的长为


M

图5 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ?ABC 中, A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c , AB ? AC ? 在 角 且 (其中 S?ABC 为 ?ABC (1)求 sin A 的值; (2)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 a 的值。 的面积) 。

??? ???? ?

8 S ?ABC 3

17、 (本小题满分 12 分)某公司对工厂 A 的一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样检测后的产 品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组 为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102, 频率/组距 106]。 (1)求图中 x 的值; (2) 若将频率视为概率, 从这批产品中有 取 3 件,求至多有 2 件产品的净重在 率; (3)经过考察后,该公司决定在 2011 年 0.150 0.125 0.100 0.075 x 96 98 100 102 104 106 克 年初投资到工 104),[104 ,

放回地随机抽

? ?96, 98

的概

厂 A50 万元,到年底可能获利 32% ,也可能亏损 16% ,且这两种情况发生的概率分别为合格产品 和不合格产品的概率(若产品净重在 ?98,104? 为合格产品,其余为不合格产品) 。设 2011 年底公司
·3·

的投资总资产(本金+利润)为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。

18. (本小题满分 14 分) 如图, △ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 5 , ? ⊙ O 所在的平面, CD BE//CD,

21 CD=4,BC=2,且 BE=1, cos ?AEB ? . 21
(1)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE; (2)求几何体 ABCDE 的体积; (3)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正 弦值为

D

C

E

2 ?若存在,确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。 7

A

O

B

19. (本小题共 14 分)已知 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x)在[t, t ? 2](t>0) 上的最小值; (2)已知 2 ? x 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
a 1 x

(3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x>

1 2 ? 成立. x e ex

20、 (满分 14 分).已知圆 O : x ? y ? b 与直线 l : y ? 3 ? x ? 2 ? 相切。
2 2 2

(1) 求以圆 O 与 y 轴的交点为顶点,直线在 x 轴上的截距为半长轴长的椭圆 C 方程; (2) 已知点 A (1, ) ,若直线与椭圆 C 有两个不同的交点 E,F,且直线 AE 的斜率与直线 AF 的斜率互 为相反数;问直线的斜率是否为定值?若是求出这个定值;若不是,请说明理由.

3 2

21.(本小题满分 14 分)数列 {an } 中,若存在常数 M , ?n ? N * ,均有 | an |? M ,称数列 {an } 是有 .

·4·

界数列;把 Ln ? ... 数列。 ..

?| a
i ?1

n

i ?1

? ai |(n ?N *) 叫数列 {an } 的前 n 项邻差和,数列 {Ln } 叫数列 {an } 的邻差和 . .... ...

(1)若数列 {an } 满足, ?n ? N * ,均有 | an ? 3| ? | an ?1|? 6 恒成立,试证明:{an } 是有界数 列; (2)试判断公比为 q 的正项等比数列 {an } 的邻差和数列 {Ln } 是否为有界数列,证明你的结论;

? (3)已知数列 {an } 、 {bn } 的邻差和 {Ln } 与 {Ln } 均为有界数列,试证明数列 {anbn } 的邻差和数 ?? 列 {Ln } 也是有界数列。

·5·

参考答案
一、选择题: (5×8=40) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 C

二、填空题(5×6=30) 9、 2n ? 2 10、 10 11、

1 2 2 2 (a1 ? a2 ? ??? ? an ) n
15、 6

12、 42 三、解答题:

13、① ④

14、 2

16. (本小题满分 12 分) ?ABC 中, A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c , AB ? AC ? 在 角 且 (其中 S?ABC 为 ?ABC (1)求 sin A 的值; (2)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 a 的值。 16.解: (1)? AB ? AC ? 的面积) 。

??? ???? ?

8 S ?ABC 3

8 S ?ABC 3 sin A 3 ? ∴ tan A ? cos A 4
2 2

??? ???? ?

∴ bc cos A ?

8 1 ? bc sin A ?? 3 2

2分 3分

????????????

又 sin A ? cos A ? 1 , A ? (0, ? )

3 ???????????? 6分 5 1 1 3 3 (2) S ?ABC ? bc sin A ? ? 2c ? ? c ? 3 ∴ c ? 5 ???? 8分 2 2 5 5 3 3 4 ∵ sin A ? , tan A ? ∴ cos A ? ???????? 9 分 5 4 5
∴ sin A ?

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 13 ∴ a ? 13

?????

12 分

17、 (本小题满分 12 分)某公司对工厂 A 的一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样检测后的产 品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组 为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]。 (1)求图中 x 的值; 0.150 0.125 0.100 0.075 x 频率/组距

·6·

(2) 若将频率视为概率, 从这批产品中有放回地随机抽取 3 件, 求至多有 2 件产品的净重在 ?96,98? 的概率; (3)经过考察后,该公司决定在 2011 年年初投资到工厂 A50 万元,到年底可能获利 32% ,也可能 亏损 16% ,且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产品的概率(若产品净重在 ?98,104? 为合格产品,其余为不合格产品) 。设 2011 年底公司的投资总资产(本金+利润)为 ? ,求 ? 的分布 列及数学期望。 解: (1)依题意及频率分布直方图知, ? x ? 0.075 ? 0.100 ? 0.125 ? 0.15? ? 2 ? 1 , 解得 x ? 0.05 ???? 2分

3分

(2)法 1:设所抽取到得产品的件数为 X,由题意知, X ~ B ?3,0.1? ,因此

P ? X ? 0 ? ? C30 ? 0.93 ? 0.729
1 P ? X ? 1? ? C3 ? 0.1? 0.92 ? 0.243

????

5分

P ? X ? 2 ? ? C32 ? 0.12 ? 0.9 ? 0.027
所以至多有 2 件产品的净重在 ?96,98? 的概率

P ? P ? x ? 0? ? P ? x ? 1? ? P ? x ? 2? ? 0.729 ? 0.234 ? 0.027 ? 0.999 。???
法 2:恰好抽取到 3 件产品的净重在 ?96,98? 的概率为
3 P ? X ? 3? ? C3 ? 0.13 ? 0.001

7分

????

5分

所以至多有 2 件产品的净重在 ?96,98? 的概率

P ? 1 ? P ? x ? 3? ? 1 ? 0.001 ? 0.999 。
(3)法 1: ? 可能的值为:50×(1+32%)=66(万元) 50×(1-16%)=42(万元)

????

7分

???? ????

8分 10 分

P (? ? 66) ?
故 ? 的分布列为

3 4

P (? ? 42) ?

1 4
66
42

?
P

3 4

1 4
???? 11 分

·7·

3 1 ? E? ? 66 ? ? 42 ? ? 60 (万元). 4 4

????

12 分

命题意图:本题主要考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的期望等知识,立足考查数 据处理能力、计算能力和解决实际问题的能力. 18. (本小题满分 14 分) 如图, △ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 5 , ? ⊙ O 所在的平面, CD BE//CD, CD=4,BC=2,且 BE=1, cos ?AEB ? (1)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE; (2)求几何体 ABCDE 的体积; (3)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。 解: (1)∵CD ⊥平面 ABC,BE//CD ∴ BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AB ?? ∴ cos ?AEB ?

21 . 21

2 ?若存在,确 7
D

1分

N M C E F

BE 21 ? AE 21

∵BE=1 从而 AB ?



AE ? 21 ,
?? 2分

A

O

B

AE2 ? BE2 ? 2 5

∵⊙ O 的半径为 5 ,∴AB 是直径,∴AC⊥BC ?? 3 分 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD ? BC ? 平面 BCDE,∴平面 ADC ? 平面 BCDE ?? (2)由(1)知: AC ?

5分 6分

AB2 ? BC 2 ? 4 ,

??

1 1 1 VABCDE ? S BCDE ?AC ? ? ( BE ? CD)?BC ?AC 3 3 2 1 20 ? ( 1? 4?) ?2 ?4 6 3
(3)方法一:

??

9分

假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,连结 AN,作 MF⊥CB 于 F,连结 AF ∵平面 ADC ? 平面 BCDE,∴MN⊥平面 ACD, ∴∠MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角
·8·

??

10 分

设 MN=x,计算易得,DN=

3 3 x ,MF= 4 ? x 2 2

??

11 分

故 AM ?

3 AF 2 ? MF 2 ? AC 2 ? CF 2 ? MF 2 ? 16 ? x 2 ? (4 ? x)2 2
MN ? AM x 3 16 ? x ? (4 ? x) 2 2
2

sin ?MAN ?

?

2 7

??

12 分

解得: x ? ? (舍去) x ? 故 MN ?

8 3

4 , 3

?? ??

13 分 14 分
z D

2 2 CB ,从而满足条件的点 M 存在,且 DM ? DE 3 3

方法二:建立如图所示空间直角坐标系 C—xyz,则: A(4,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,4) ,E(0,2,1) ,O(0, 0,0) 则 DE ? (0, 2, ?3)

M C

??? ?

?????????

10 分
x

E

??? ? 易知平面 ABC 的法向量为 OB ? (0, 2,0) ,
假设 M 点存在,设 M (a, b, c) ,则 DM ? (a, b, c ? 4) , 再设 DM ? ? DE, ? ? (0,1]

A

O

B

y

???? ?

???? ?

??? ?

?a ? 0 ?a ? 0 ???? ? ? ? ? ?b ? 2? ? ?b ? 2? ,即 M (0, 2? , 4 ? 3? ) ,从而 AM ? (?4, 2?, 4 ? 3?) ?c ? 4 ? ?3? ?c ? 4 ? 3? ? ?
?????????? 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ? ,则: 11 分

???? ??? ? ? sin ? ? cos AM , OB ?

2? ? 2 2? 16 ? 4? ? (4 ? 3? )
2 2

?

2 7

??????????

12 分

·9·

4 2 或? ? , 3 3 4 2 其中 ? ? ? ? (0,1] 应舍去,而 ? ? ? (0,1] 3 3
解得 ? ? ? 故满足条件的点 M 存在,且点 M 的坐标为 (0, , 2) 19. (本小题共 14 分)已知 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x)在[t, t ? 2](t>0) 上的最小值;

??????????

13 分

4 3

??????????

14 分

(2)已知 2 ? x 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
a

1 x

(3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x> 解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,

1 2 ? 成立. x e ex
???? 1 分

当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ?2 分

1 e

1 e

1 1 时, t ? 2 ? e e 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? ; ??????? e e 1 1 ②当 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在?t , t ? 2? 上单调递增, e e
①当 0 ? t ?

3分

f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?
a

???????

4分

所以 f ( x ) min

???????

5分

(2)在 2 x ? x 两边取对数得 由于 0 ? x ? 1 ,所以 令 g ( x) ?

1

1 ln 2 ? a ln x , x

??????

6分

a 1 ? , ln 2 x ln x

???????

7分

1 ?1? ,由(1)可知,当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? g max ( x) ? g ? ? ? ?e x ln x ?e?

8分

·10·

a ? ?e ,即 a ? ?e ln 2 。 ln 2 x 2 (3)问题等价于证明 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) , e e
所以 由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? 设 m( x ) ?

???????

9分 10 分

???????

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x , x e e e 1 易知 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立 。 e ex
2 2 2

1 1 ,当且仅当 x ? 时取到, 11 分 e e
??????? ??????? ??????? 12 分 13 分 14 分

20、 (满分 14 分).已知圆 O : x ? y ? b 与直线 l : y ? 3 ? x ? 2 ? 相切。 (1)求以圆 O 与 y 轴的交点为顶点,直线在 x 轴上的截距为半长轴长的椭圆 C 方程; (2)已知点 A (1, ) ,若直线与椭圆 C 有两个不同的交点 E,F,且直线 AE 的斜率与直线 AF 的斜率 互为相反数;问直线的斜率是否为定值?若是求出这个定值;若不是,请说明理由. 解:(1) 因为直线 l : y ? 3 ? x ? 2 ? 在 x 轴上的截距为 2,所以 a ? 2 ,??????? 直线的方程变为 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,由直线与圆相切得 2分

3 2

| ?2 3 |

? 3?

2

? ? ?1?

? 3 ?b
2

?? 4 分

x2 y2 ? ?1 所以椭圆方程为 4 3
(2)设直线 AE 方程为 y ? k ( x ? 1) ?

???????

5分

3 , 2

???????

6分

代入

3 x2 y2 ? ? 1 得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 ?? 2 4 3

8分

设 E ( x E , y E ) ,F ( x F , y F ) ,因为点 A (1, ) 在椭圆上,

3 2

3 4( ? k ) 2 ? 12 3 所以 x E ? 2 , y E ? ? kx E ? ? k 2 2 3 ? 4k
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,

??????

10 分

3 4( ? k ) 2 ? 12 3 同理可得: x F ? 2 , y F ? ? kx F ? ? k 2 2 3 ? 4k
·11·

??????

12 分

所以直线 EF 的斜率为 k EF ?

y F ? y E ? k ( x E ? x F ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2

?????

14 分

21.(本小题满分 14 分)数列 {an } 中,若存在常数 M , ?n ? N * ,均有 | an |? M ,称数列 {an } 是有 . 界数列;把 Ln ? ... 数列。 .. (1)若数列 {an } 满足, ?n ? N * ,均有 | an ? 3| ? | an ?1|? 6 恒成立,试证明: {an } 是有界数列; (2)试判断公比为 q 的正项等比数列 {an } 的邻差和数列 {Ln } 是否为有界数列,证明你的结论;

?| a
i ?1

n

i ?1

? ai |(n ?N *) 叫数列 {an } 的前 n 项邻差和,数列 {Ln } 叫数列 {an } 的邻差和 . .... ...

? ?? (3) 已知数列 {an } 、 bn } 的邻差和 {Ln } 与 {Ln } 均为有界数列, 试证明数列 {anbn } 的邻差和数列 {Ln } {
也是有界数列。 解: (1)式子 | an ? 3| ? | an ?1|? 6 可化为

?an ? ?3 ? ?4 ? an ? ?3 ? ??an ? 3 ? an ? 1 ? 6
或?

?????????

1分

??3 ? an ? 1 ? ?3 ? an ? 1 ?an ? 3 ? an ? 1 ? 6

?????????

2分

或?

?an ? 1 ? 1 ? an ? 2 ?an ? 3 ? an ? 1 ? 6

?????????

3分

综上可知 ?4 ? an ? 2 ,从而 | an |? 4 ,故 {an } 是有界数列。 ?????? (2)由依题 an ? 0, q ? 0 , an ? a1q n?1 ,于是

4分

an ?1 ? an ? a1q n ? a1q n ?1 ? a1q n ?1 q ? 1 , n ? 1
当 q ? 1 时,显然 Ln ? 0 ,故 {Ln } 为有界数列; 当 q ? 1 时, ????????? 5分

Ln ? ? | ai ?1 ? ai | ? ? a1qi ?1 | q ? 1| ? a1 | q ? 1| ? qi ?1
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

·12·

= a1 q ?1 (1 ? q ? q2 ? ... ? qn?1 ). ? a1 | q ? 1|?

1 ? qn 1? q
????? 7分

当 0 ? q ? 1 时, | Ln |? Ln ? a1 (1 ? qn ) ? a1 ,故 {Ln } 为有界数列; 当 q ? 1 时, ? 常数 M ( M ? 0) , ?n ? N * ,当 n ? log q(1 ? 界数列; ????????? 8分

M ) 时,有 Ln ? M ,此时 {Ln } 不是有 a1

综上可知,当 0 ? q ? 1 时, {Ln } 为有界数列,当 q ? 1 时, {Ln } 不是有界数列。 ????????? (III)若数列 ?an ? { bn }是有界数列,则存在正数 M1.M 2 ,对任意的 n ? N ? , 有 9分

? Ln ? ? | ai ?1 ? ai | ? M1 , Ln ? ? | bi ?1 ? bi | ? M 2
i ?1 i ?1

n

n

?????????

10 分

注意到 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an? 1? an? 2? ... ? a ? a ? a ? M ? 1 ????????? a 1 2 1 1
同理: bn ? M 2 ? b1
http://wx.jty jy.com/

11 分

记 K1 ? M1 ? a1 , K2 ? M 2 ? b2

an ?1bn ?1 ? an bn ? an ?1bn ?1 ? anbn ?1 ? anbn ?1 ? anbn

? bn?1 an?1 ? an ? an bn?1 ? bn ? K2 an?1 ? an ? K1 bn?1 ? bn
因此 | Ln |? Ln ?

???????

12 分

?| a
i ?1

n

i ?1bi ?1 ? ai bi | ? ? K 2 | an ?1 ? an | ? ? K1 | bn ?1 ? bn | i ?1 i ?1

n

n

? K 2 ? | an?1 ? an | ? K1 ? | bn ?1 ? bn | ? K 2 M1 ? K1M 2
i ?1 i ?1

n

n

?? 故数列 an bn 的邻差和数列 {Ln } 也是有界数列。

?

?

?????????

14 分

·13·


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