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江苏省张家港高级中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


江苏省张家港高级中学 2015-2016 学年高一数学上学期期中试题
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题, 共 6 题) 与答案卷.本次考试时间为 120 分钟.考卷满分为 160 分。 考试结束后, 仅将答

案卷交回. 2、答题前,请您务必将自己的姓名、班级、学号用黑色或蓝色钢笔(圆珠笔)填写在 答案卷的指定位置上. 3、解答题必须用黑色或蓝色钢笔(圆珠笔)填写在答案卷的指定位置,在其它位置作 答一律无效. 4、本次考试一律不准使用计算器等计算工具. 一、 填空题(每小题 5 分,14 题,共 70 分,请将正确答案填写在答题卷相应的横线上) 1.设全集 A={0,1,2},B={-1,0,1},则 A∪B= 2.已知 f (2 x) ? 6 x ? 1 ,则 f ( x) ? . . .

3.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(2,16),则函数 f ( x) 的解析式是 4.已知函数 f ( x) ? ? 5.函数 y ?

?log2 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是 x 3 ( x ? 0 ) 4 ?
.

.

log 0.5 ? 2 x ? 5 ? 的定义域是
0.9

6.设 a =log0.60.9,b =ln0.9,c =2 ,则 a、b、c 由小到大的顺序是 7.函数 f ( x) ? 8.已知 lg 2 ? a,

.

x 2 ? 2 x ? 3 的递减区间是

. .

lg3 ? b ,用 a, b 表示 log6 5 ?
.

9.函数 y ? x ? 1 ? x 的值域为

10.已知 f ( x) 是定义在集合 {x | x ? 0} 上的偶函数, x ? 0 时 f ( x) ? x ? 则 x ? 0 时 f ( x) ? _______________ .

1 , x

11. 设 P 和 Q 是两个集合, 定义差集 P ? Q ? {x x ? P, 且x ? Q} , 如果 P ? {x log2 x ? 1 },

Q ? {x x ? 2 ? 1} ,那么 P ? Q ? __________ .
12.设函数 f ( x) 是奇函数,且在 ?0,??? 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集 是 . .
1

13.已知函数 f ( x) ?| x2 ? 2 x | ?a 有四个零点,则实数 a 的取值范围是

14.已知函数 f ( x) =

,若当 t∈[0,1]时, f ( f (t )) ∈[0,1],则实数

t 的取值范围是

.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.计算: (1) 8 ? ( 2 ? 1) ? 2
2 2 3 log 2 3

?1? ?? ? ; ? 3?

0

(2) (lg5)2 ? lg 2 ? lg 50 .

16.设集合 A ? ?x | y ? log2 ( x ? 1)?, B ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 2, x ? R . (1)求集合 A,B; (2)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,且满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

?

?

17.某企业生产一种机器的固定成本为 0.5 万元,但每生产 1 百台时,又需可变成本(即另 增加投入)0.25 万元.市场对此商品的年需求量为 5 百台,销售的收入(单位:万元)函数 为: R ( x) ? 5 x ?

1 2 x (0 ? x ? 5) ,其中 x 是产品生产的数量(单位:百台). 2

(1)将利润表示为产量的函数;
2

(2)年产量是多少时,企业所得利润最大?

18.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5(a ? 1) . (1)若 f ( x) 的定义域和值域均是[1, a ],求实数 a 的值; (2)若 f ( x) 在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],都有 f ( x) ? 0 ,求 实数 a 的取值范围.

19.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值;

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

3

20.对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间[m,n]? D,同时满足: ① f ( x) 在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n]时, f ( x) 的值域也是[m,n].则 称[m,n]是该函数的“和谐区间”. (1)证明:[0,1]是函数 y ? f ( x) = x 的一个“和谐区间”.
2

(2)求证:函数 y ? g ( x) ? 3 ?

5 不存在“和谐区间”. x

(a 2 ? a) x ? 1 (3)已知:函数 y ? h( x) ? ( a ?R, a ? 0 )有“和谐区间”[m,n],当 a a2 x
变化时,求出 n﹣m 的最大值.

4

2015~2016 学年第一学期期中考试三校联考 高 一. 填空题: 2. 3x-1 3. y=x
4

一 年级 数学 试卷(答案与评分标准) 命题学校:塘桥高级中学 命题人:许晓燕

1. {-1,0,1,2}

4.

1 9

5. ?

?5 ? ,3 ?2 ? ?

6. b<a<c

7. (??,?3) ( 写成 (??,?3] 亦可 )

8.

1? a a?b

9. (??,1] 14. [log3 ,1]

10. ? x ?

1 x

11.

?0,1?

12. ?? 3,0? ? (0,3)

13. 0 ? a ? 1

二.解答题:
2

15. (1)原式=(2 ) 3 —( 2 ? 1 )+3+1=9— 2 ??????????????????.7 分 2 (2) 原 式 =(lg5) +lg2(lg25+lg2)= 2 2 2 (lg5) +2lg2lg5+(lg2) =(lg2+lg5) =1????14 分
3

16. (1) A ? ?1, ? ??

??????????????.3 分

B ? ? ??, ?1? ??????????????.6 分
(2) C ? ? ??, ?

? ?

a? ? 2?

???????????..8 分

? B ?C ? C
? ? a ? ?1 2 ? a?2

? B ? C ??????????10 分
? ?????????????12 分 ????????????????????..14 分

17. (1)当 0 ? x ? 5 时,产品能全部售出 成本为 0.25 x ? 0.5 ,收入为 5 x ? 利润 f ? x ? ? 5 x ?

1 2 x 2

1 2 1 x ? 0.25 x ? 0.5 ? ? x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ??????3 分 2 2 1 2 25 ?5 ? 2 2
????????????.6 分

当 x ? 5 时,只能销售 5 百台 成本为 0.25 x ? 0.5 ,销售收入为 5 ? 5 ? 利润 f ? x ? ?

25 ? 0.25 x ? 0.5 ? ?0.25 x ? 12 2

综上, 利润函数 f ? x ? ? ?

??0.5 x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ??0.25 x ? 12

0? x?5 x?5

???????..8 分

5

(2)当 0 ? x ? 5 时, f ? x ? ? ?

1 2 ? x ? 4.75? ? 10.78125 2
?????????????11 分

当 x ? 4.75 时, f ? x ?max ? 10.78125 万元 当 x ? 5 时,函数 f ? x ? 是减函数 则 f ? x ? ? 12 ? 0.25 ? 5 ? 10.75 万元 综上,当年产量是 475 台时,利润最大 另: (1) 成本为 0.25 x ? 0.5 ,收入为 5 x ? 利润 f ? x ? ? 5 x ?

????????????..14 分 . ????????????.15 分

1 2 x 2

??????2 分

1 2 1 x ? 0.25 x ? 0.5 ? ? x 2 ? 4.75 x ? 0.5 ( 0 ? x ? 5 )????8 分 2 2 1 2 1 2 (2) f ? x ? ? ? x ? 4.75 x ? 0.5 ? ? ? x ? 4.75 ? ? 10.78125 ????..12 分 2 2
当 x ? 4.75 时, f ? x ?max ? 10.78125 万元 ?????????..14 分 答:当年产量是 475 台时,利润最大。???????????..15 分 注:无定义域扣 2 分

18. (1) ∵f (x) =x ﹣2ax+5= (x﹣a)+ (5﹣a ) ......................................1 分 ∴f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,又 a>1, ∴f(x)在[1,a]上单调递 减, .....................................................3 分 ∴ , ......................................................

2

2

2

.......................5 分 ∴ ,

∴a=2 ........................................................ .....................7 分 (2)∵f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数, ∴(﹣∞,2]? (﹣∞,a] ∴a≥2 .............................................................. .......................10 分 ∴|1﹣a|≥|(a+1)﹣a|,f( 1)≥f(a+1)

6

∴x∈[1,a+1]时,f(x)max=f (1) ,.....................................................12 分 又∵对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0, ∴f(1)≤0,即 1﹣ 2a+5≤0,..................................................................14 分 ∴a≥3 ....................................................... .................15 分

19. (1) f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? ?2 分 a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1
验证 f ?? x ? ? ? f ?x ?

??4 分

???????????6 分

1 ? 2x 1 1 ?? ? x (2)由(1)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1

2 x2 ? 2 x1 设 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ????????9 分 (2 1 ? 1)(2 x2 ? 1)
? x1 ? x2 ,? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以, f ( x) 为 R 上的减函数 (3)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: ????????11 分

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
?????? ?13 分
2 2

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2

因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 , 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .
2

1 3

???????16 分

20. (1)∵y=x 在区间[0,1]上单调递 增. ....................................................1 分 又 f(0)=0,f(1)=1, ∴值域为[0, 1], ............................................................ .......2 分 2 ∴区间[0,1]是 y=f(x)=x 的一个“和谐区 间”. ...........................................3 分 (2)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]? (﹣∞,0)或[m,n]? (0,+∞) ,

7

故函数

在[m,n]上单调递

增. ........................................................5 分 若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 ...................................6 分

故 m、n 是方程

的同号的相异实数

根. ...........................................7 分 2 ∵x ﹣3x+5= 0 无实数 根, .................................................8 分 ∴函数 不存在“和谐区

间”. ........................................................ .....9 分 (3)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]? (﹣∞,0)或[m,n]? (0,+∞) , 故函数 在[m,n]上单调递

增. ................................11 分 若[m ,n]是已知函数的“和谐区间”,则 ........................... ..............12 分 故 m、n 是方程 分 ∵ ,
2

,即 a x ﹣(a +a)x+1=0 的同号的相异实数根. ........13

2 2

2

∴m,n 同号,只须△=a (a+3) (a﹣1)>0,即 a>1 或 a<﹣3 时, 已知函数有“和谐区间”[m, n],..................................... ..................................... ........15 分 ∵ ,

∴当 a=3 时,n﹣m 取最大值

???????????????..16 分

8


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