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高二数学(理)暑假作业


-

高二数学(理)暑假作业 1,解三角形练习题
1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为(
王新敞
奎屯 新疆

)? D 等腰三角形
王新敞
奎屯 新疆

A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形
王新敞

>奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于( A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 )

) D.2

3. 不解三角形,下列判断中正确的是( A.a=7,b=14,A=300 有两解 C.a=6,b=9,A=450 有两解
1 4 1 4

B.a=30,b=25,A=1500 有一解 D.a=9,c=10,B=600 无解 ( )
2 3

4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为
2 3 a?b?c 5. 在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则 等于( sin A ? sin B ? sin C

A. ?

B.

C. ?

D.

)

A.3 3

B.

2 39 3

C.

8 3 3

D. )

39 2

6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB?AC 的值为( A.79 7.关 B.69 C.5 于 x 的方程 x 2 ? x ? cos A ? cos B ? cos 2 A.等腰三角形 B.直角三角形 D.-5

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2



C.锐角三角形

D.钝角三角形 )

8. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 ) D.45° D.4<m<6

9. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( A.60° B.120° C.60°或 120°

10. 在△ABC 中,若 b= 2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( A.0°<A<30° B.0°<A≤45° C.0°<A<90° D.30°<A<60° (

)

11.在△ABC 中, tan A ? sin 2 B ? tan B ? sin 2 A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形



12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( (A) 锐角三角形
..



(B) 直角三角形

-

(C) 钝角三角形

(D) 由增加的长度决定
a b?c . 其 ? sin A sin B ? sin C

13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④ 中恒成立的等式序号为______________

14. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 15. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________. 16. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?
a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____________. 4



17. 已知在△ABC 中,A=450,AB= 6 ,BC=2,求解此三角形.
18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长.

19. 在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求 角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积. 20. 在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 cosA b 4 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 cosB a 3 7 ,且 tanA+tanB= 3 tanA?tanB 2

21.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= 3 3 ,求 a+b 的值。 2

- 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC=

22. 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? ⑴.若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; ⑵.若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,证明: △ ABC 是直角三角形.

? . 3

2,数列练习题
1.已知两数的等差中项为 10,等比中项为 8,则以两数为根的一元二次方程是( A.x2+10x+8=0 C.x2+20x+64=0 B.x2-10x+64=0 D.x2-20x+64=0 )

2.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经过 3 小时,这种细菌由 1 个 可繁殖成( )A.511 个 B.512 个
1 2

C.1023 个 D.1024 个
a3 ? a 4 等于( a 4 ? a5
5 ?1 2

3.等比数列{an},an>0,q≠1,且 a2、 a3、a1 成等差数列,则 A.
5 ?1 2



B.

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

4.已知数列 2 、 6 、 10 、 14 、3 2 ??那么 7 2 是这个数列的第(
..

)项(



-

A.23

B.24

C.19

D.25 )

5.等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则 b6 等于( A.4 2 B.-4 2 C.±4 2 D.无法确定 )

6.数列{an}前 n 项和是 Sn,如果 Sn=3+2an(n∈N*) ,则这个数列是( A.等比数列 B.等差数列 C.除去第一项是等比

D.除去最后一项为等差

7.设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1?a2?a3???a30=230,则 a3?a6?a9???a30 等于( )A.210 B.220 ) B.等差但不是等比 D.既非等差也非等比 ) C.26 D.215 8.若 Sn 是{an}前 n 项和且 Sn=n2,则{an}是( A.等比但不是等差 C.等差也是等比

9.a、b、c 成等比数列,则 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是( A.0 B.1 C.2 D.不确定

10.一房地产开发商将他新建的 20 层商品房的房价按下列方法定价,先定一个基价 a 元/m2,再据楼层 的不同上下浮动,一层价格为(a-d)元/m2,二层价格 a 元/m2,三层价格为(a+d)元/m2,第 i 层(i≥4)价格为[a+d( )i-3]元/m2.其中 a>0,d>0,则该商品房的各层房价的平均值为 ( )A.a 元/m2
2 3 2 1 [ (1-( )17)d 元/m2 3 10 2 1 D.a+ [1-( )18]d 元/m2 3 10 2 3

B.a+

C.a+[1-( )17]d 元/m2 11.已知 an ? A.
9 10

1 n ? N * ? ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 的值为( ? n(n ? 1)

) D.1 ( D.215 )

B.

9 11

C.

10 11

12.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2,则 a100 的值为 A.2100-2 B.2101-2 C.2101

13.一条信息,若一人得知后,一小时内将信息传给两人,这两人又在一小时内各传给未知信息的另 外两人.如此下去,要传遍 55 人的班级所需时间大约为_______小时. 14.已知 an=
9 n ( n ? 1) (n∈N*) ,则数列{an}的最大项为_______. n 10

15.一个五边形的五个内角成等差数列,且最小角为 46°,则最大角为_______. 16. 在数列{an}中, 已知 a1=1, an=an-1+an-2+?+a2+a1. (n∈N*, n≥2) , 这个数列的通项公式是_______. 17.数列 3、9、?、2187,能否成等差数列或等比数列?若能.试求出前 7 项和. 18.已知三个实数成等比数列,在这三个数中,如果最小的数除以 2,最大的数减 7,所得三个数依 次成等差数列,且它们的积为 103,求等差数列的公差. 19.已知 y=f(x)为一次函数,且 f(2) 、f(5) 、f(4)成等比数列,f(8)=15,求 Sn=f(1)+f(2)
..

-

+?+f(n)的表达式. 20.设 an 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,且对所有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,求数列{an}的通项公式. 21.是否存在互不相等的三个数,使它们同时满足三个条件①a+b+c=6,②a、b、c 成等差数列,③ 将 a、b、c 适当排列后,能构成一个等比数列. 22.已知等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n?1 ,设数列 ?bn ? 满足对任意自然数 n 都有

b1 b2 b3 + + +┅ a1 a 2 a 3

+

bn = 2n +1 恒成立.①求数列 ?bn ? 的通项公式;②求 b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 的值. an

3,不等式练习题
1.如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是(
1 1 B. ? ?a ? b a b x ?1 ? 0 的解集为( 2.不等式 ) 2? x
A. A . {x | ?1 ? x ? 2}


D . | a |?| b |

C.

a 2 ? b2

B . {x | ?1 ? x ? 2} C . {x | x ? ?1 或 x ? 2}

D . {x | x ? ?1 或 x ? 2}

3.下

面四个不等式中解集为 R 的是(
A . ? x2 ? x ? 1 ? 0


C . x 2 ? 6 x ? 10 ? 0
D . 2 x 2 ? 3x ? 4 ? 0

B . x2 ? 2 5x ? 5 ? 0

4.下列函数中,最小值是 2 的是(
A. y ? x?


C . y ? lg x ?

1 x

B . y ? 3x ? 3? x

1 (1 ? x ? 10) lg x

D . y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

5.设 x, y ? R ,且 x ? y ? 5 ,则 3x ? 3 y 的最小值是(
A. 6 3 B.


D.

18 3

C. 4 6

6 6


6.已知点(3,1)和( ?4 ,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围是(
A . a ? ?7 或 a ? 24 B.

a ? 7 或 a ? 24

C . ?7 ? a ? 24

D . ?24 ? a ? 7

?x ? 2 y ? 4 ? 7.在约束条件 ? x ? y ? 1 下,目标函数 z ? 3x ? y ( ? x?2?0 ?
B .有最大值 5,最小值 ?3 C .有最大值 5,最小值 ?9

) A .有最大值 3,最小值 ?3
D .有最大值 3,最小值 ?9

8.如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? loga (a3 ? 1), N ? loga (a2 ? 1) ,则(
A. M ?N B.



M ?N C. M ?N

D . M , N 的大小与 a 值有关

9.已知不等式 x2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A . (? 2, 2) B . (??, ? 2) ? ( 2, ??) C . ( 2, ??) D . (?2, 2)
..



-

10.若 x1 , x2 是方程 x ? ax ? 8 ? 0 的两相异实根,则有(
2



A . | x1 |? 2,| x2 |? 2

B . | x1 |? 3,| x2 |? 3 D . | x1 | ? | x2 |? 4 2

C . | x1 ? x2 |? 4 2

11.已知不等式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集是 {x | 3 ? x ? 4} ,则 a ? b ? 12.不等式 (3x ?1)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 的解集为 13.正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是__________.

.

? x ? y ? 4, ? 14.已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点, 那么 | PO | 的最小值等于____________, ? x ? 1, ?

最大值等于_____________ 15.已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 ? 0}, B ? {x |
2x ? 3 ? 0} ,求 A ? B 和 A ? (CR B) . x?3

16.解关于 x 的不等式 x2 ? (m ? m2 ) x ? m3 ? 0 . 17.建造一个容积为 4800 m 3 ,深为 3 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 150 元和 120 元,那么怎样设计水池能使总造最低,最低总造价为多少元? 18.某厂使用两种零件 A, B 装配两种产品 X , Y , 该厂生产能力是月产 X 最多 2500 件, 月产 Y 最多 1200 件, 而组装一件 X 需要 4 个 A , 2 个B , 组装一件 Y 需要 6 个 A , 8 个 B .某个月该厂能用 A 最多 14000 个, B 最多 12000 个,已知产品 X 每件利润 1000 元,产品 Y 每件利润 2000 元,欲使该月利润最高, 需要组装产品 X , Y 各多少件,最高利润是多少? (12 分)

4,简易逻辑练习题
1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( A.ab=0 B.a+b=0 ) C.有三个 D.有四个 C.a=b ) D.a2+b2=0

2. “至多有三个”的否定为( A.至少有三个

B.至少有四个

3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个盒子里; 银盒上写有命题 q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒里.p、q、r 中有且 只有一个是真命题,则肖像在( A.金盒里 C.铅盒里 ) B.银盒里 D.在哪个盒子里不能确定 ( )

4.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是 A. (?2,2)
..

B. (?2,2]

C. (??,2]

D. (??,?2)

-

5. “a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( A.a 和 b 至少有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数



B.a 和 b 至多有一个是偶数 D.a 和 b 都是偶数

6.某食品的广告词为: “幸福的人们都拥有” ,初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然而他的实 际效果大哩,原来这句话的等价命题是( A.不拥有的人们不一定幸福 C.拥有的人们不一定幸福 )

B.不拥有的人们可能幸福 D.不拥有的人们不幸福 ) D.p 假 q 假 )

7.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则( A.p 真 q 真 B.p 假 q 真

C.p 真 q 假

8.条件 p: x ? 1 , y ? 1 ,条件 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 ,则条件 p 是条件 q 的 ( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 )
1 2

9.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是( A.- <x<3
1 2

B.- <x<0

1 2

C.-3<x<

D.-1<x<6 )

10.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” ; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为___ _____. B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题

13.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,则 s 是 q 的 r是q的 条件,p 是 s 的 条件.

条件,

14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 条件.

15.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数. 16.写出由下述各命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形式的复合命题,并指出所构成的这些复 合命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除;
..

-

(2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形; 17.给定两个命题,
P :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 P 与

Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么 (1)s 是 q 的什么条件?(2)r 是 q 的什么条件?(3)p 是 q 的什么条件? 19.设 0<a, b, c<1,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不同时大于
1 . 4

20.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分但不必要条件 是 a≥2 且|b| ≤4..

5,圆锥曲线练习题
1. 过椭圆 A.
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F(c, a2 b2

0)的弦中最短弦长是 ( D.
2c 2 b

)

2b 2 a

B.

2a 2 b

C.

2c 2 a

2. 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60? 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的离心率为 ( ) A.
2 3

B.

2 2

C.

1 2

D.

2 3

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于 6 ,则直线 l 的 3. 过原点的直线 l 与曲线 C: 3

倾斜角 ? 的取值范围是 (

)A

?
6

?? ?

5? 6

B

?
6

?? ?

2? 3

C

?
3

?? ?

2? 3

D.

?
4

?? ?

3? 4

4. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 ?BDB1 ? 90? ,则椭圆的离心率为 ( A )
3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

5. P 为双曲线 ( )A.

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1 上一点, F1 为一个焦点,以 PF 1 为直径的圆与圆 x ? y ? a 的位置关系为 2 a b

内切

B.

外切

C.

内切或外切

D. 无公共点或相交. )

6. 设 ? ? (0,

?
4

) ,则二次曲线 x 2

cos ? ? y 2 tan ? ? 1 的离心率的取值范围是 ( sin ?

..

-

A. (0,

1 ) 2

1 B. ( , 2

2 ) 2

C. ( 2 , ? ?)

D.

(

2 , 2

2)

7. 设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ,则 ?PF1 F2 的面积 4

为 (

)

A. 1

B.

5 2

C. 2

D.

5

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积为 1 时, PF 8. 设 F1 , F2 是双曲线 1 ? PF 2 的值为 4

(

)

A. 0

B. 1

C.

1 2

D. 2 )

9. 过点(0, 2)与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条

D. 无数条. )

10. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的动弦 AB 长为 a (a ? 2 p) ,则 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离是 ( (A)
a 2

(B)

p 2

(C)

a? p 2

(D)

a? p 2

11. 直线 l 过抛物线 y 2 ? a( x ? 1) (a ? 0) 的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a ? ( )A. 4 B. 2 C.
1 4

D.

1 2

12. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 ,则

?A1 FB1 ? (

) A. 45?

B. 60?

C. 90?

D.

120?

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 13. 椭圆 9 4

14. 已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 ?PF1 F2 : ?PF2 F1 : ?F1 PF2 ? 1 : 2 : 3 , 则此椭圆的 离心率为 15. 设圆过双曲线 为 16,过点 P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 17,设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 为 7 ,求这个椭圆方程.
3 3 .已知点 P (0, ) 到这个椭圆上的点的最远距离 2 2 x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离 9 16

..

-

18,已知梯形 ABCD 中, AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双曲线过 C、D、E 三点,且 以 A、B 为焦点,当
2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取值范围. 3 4

19,过抛物线 y 2 ? 2x 的顶点作互相垂直的二弦 OA、OB。 求 (1)AB 中点的轨迹方程。 (2)证明:AB 与 x 轴的交点为定点。 20,双曲线
x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b), a2 b2
4 c,求双曲线的离心率 e 的取值范 5

且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0) 到直线 l 的距离之和 s≥ 围.

21,已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M(x0, y0) ,F 是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、 |BF|成等差数列,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N. (1)求点 N 的坐标(用 x0 表示) ; (2)过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点,若|MN|=4 2 ,求△MPQ 的面积. 22,设 F1、F2 分别为椭圆 C:
x2 8y2 ? =1(a>b>0)的左、右两个焦点. a2 b2

3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;

6,立体几何练习题
1.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为( A.60° B.90° C.105° D.75° )

2.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是( A. )

A1 B1 , 4

15 17 8 17

B.

1 2


C.

D.

3 2



A1

B1

C1 D

3.如图,A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( A.
..



A B 图

C

30 10

B.

1 2

-

C.

30 15

D.

15 10


4.正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 ,底边长 AB ? 2 ,则异面直线 BD 和 SC 之间的距离( A.
15 5

B.

5 5

C .

2 5 5

D.

5 10

5.已知 ABC ? A1 B1 C1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱, D 是侧棱 CC1 的中点.点 C1 到平面 AB1 D 的距离 ( A. )
2 a 4

B.

2 a 8

C.

3 2 a 4

D.

2 a 2

6.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,则平面 AB1C 与平面 A1C1 D 间的距离 ( A.
3 6



B.

3 3

C .

2 3 3

D.

3 2

7.在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=

1 PA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 2 ABC,则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值 ( )

A.

21 6

B.

8 3 3

C.

210 60

D.

210 30

8.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ?ACB ? 90? ,侧棱 AA1 ? 2 ,D,E 分别是

CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G.则 A1 B 与平面 ABD 所成角的
余弦值( )A.
2 3

B.

7 3

C.

3 2

D.

3 7

9.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 3,侧棱 AA1 ? 则二面角 B1 ? AD ? B 的大小( A. ) C .
5? 6

3 3 ,D 是 CB 延长线上一点,且 BD ? BC , 2

? 3

B.

? 6

D.

2? 3

10.正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4,E,F 分别为棱 AB,CD 的中点,
EF ? BD ? G .则三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V(

) D. 16 .

A.

6 6

B.

16 3 3

C .

16 3

11.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离

12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 A1 B1 、 CD 的中点,求点 B 到截面 AEC1 F 的
..

-

距离 的距离 角的正弦值

. . .

13. 已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 B1C1 和 C1D1 的中点, 点 A1 到平面 DBEF 14.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成 15.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦 16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、M 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上任一点,求 证:平面 A1EF∥平面 B1MC. 17.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a, 且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角. (1)若 AE⊥PD,E 为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值. 18.已知棱长为 1 的正方体 AC1,E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点. (1)求证:E、F、D、B 共面; (2)求点 A1 到平面的 BDEF 的距离; (3)求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角. 19.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点,求: (Ⅰ)D1E 与平面 BC1D 所成角的正弦的大小; (Ⅱ)二面角 D-BC1-C 的余弦的大小; (Ⅲ)异面直线 B1D1 与 BC1 之间的距离. 20.如图5:正方体ABCD-A1B1C1D1,过线段BD1上一点P(P ? 平面ACB1)作垂直于D1B的平面分别交过 D1的三条棱于E、F、G. (1)求证:平面EFG∥平面A CB1,并判断三角形类型; (2)若正方体棱长为 a,求△EFG 的最大面积,并求此时 EF 与 B1C 的距离.
D1 E A1 G D x A 图 5 B z F C1

O1 P B1 H

y C

1,参考答案
1. A 2.C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9.B 10. B 11.D 12.A 13. ②④
..

14.50, 15.1200,16. 450

-

17. 解答:C=120 ? B=15 ? AC= 3 ? 1 或 C=60 ? B=75 ? 18. 解答:a=14,b=10,c=6 19. 解答:解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= ∴A+B=120°, 3 , 2 ∵△ABC 为锐角三角形

C=60°, 又∵a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 ,

a?b=2, ∴c2=a2+b2-2a?bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6, ∴c= 6 , S△ABC= 1 1 3 3 absinC= ?2? = 2 2 2 2 .

20.解答:由

cosA b sinB b cosA sinB = , = ,可得 = ,变形为 sinAcosA=sinBcosB cosB a sinA a cosB sinA ∴A+B=

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, 由 a2+b2=102 和 b 4 = ,解得 a=6, b=8, a 3

? . ∴△ABC 为直角三角形. 2
a+b-c 6+8-10 = =2 2 2

∴内切圆的半径为 r=

21. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA?tanB- 3 可得
tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B

∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

? 3
3 3 1 3 3 ,∴ absinC= 2 2 2

又△ABC 的面积为 S△ABC=



1 3 3 3 ab? = , ∴ab=6 2 2 2

又由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC ∴( 7 2 ? ) = a2+b2-2abcos 2 3 7 2 ) = a2+b2-ab=(a+b)2-3ab 2 121 , ∵a+b>0, 4 ∴a+b= 11 2

∴(

∴(a+b)2=

22. 解答 ⑴.由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,

..

-

1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4,
⑵.由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?
? , △ ABC 是直角三角形; 2

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ? 2sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ? 2cos B sin C ,
C? ? ? 代入上式得 sin B ? sin B ? 3cos B ,故 cos B ? 0,B ? , 3 2

△ ABC 是直角三角形.

2,参考答案
1, 【解析】设两数为 a、b,则有 a+b=20,ab=64.由韦达定理,∴a、b 为 x2-20x+64=0 的两根. 【答 案】D 2, 【解析】a1=1,公比 q=2.经过 3 小时分裂 9 次,∴末项为 a10,则 a10=a1?29=512. 【答案】B 3, 【解析】依题意:a3=a1+a2,则有 a1q2=a1+a1q,∵a1>0,∴q2=1+q ? q= 又∵an>0.∴q>0,∴q=
a ? a4 1 5 ?1 5 ?1 , 3 = = . 【答案】B 2 2 a 4 ? a5 q
1? 5 . 2

4, 【解析】由题意,根号里面是首项为 2、公差为 4 的等差数列,得 an=2+(n-1)4=4n-2,而 7 2 = 98 ,令 98=4n-2 ? n=25. 【答案】D 5, 【解析】S9=-36 ? a5=-4,S13=-104 ? a7=-8 ? b6=± a5 a7 =±4 2 . 【答案】C 6, 【解析】Sn+1-Sn=(3+2an+1)-(3+2an) ? an+1=2an(n≥1) . 【答案】A 7, 【解析】由 a1?a30=a2a29=?=a15a16 已知转化为(a1a30)15=230 ? a1a30=22 又 a3?a6???a30=(a3a30)5=(a1q2?a30)5=(a1a30)5?210=220. 【答案】B 8, 【解析】∵Sn=n2,Sn-1=(n-1)2,Sn+1=(n+1)2 ∴an=Sn-Sn-1=2n-1,an+1=Sn+1-Sn=2n+1 ∴an+1-an=2,但
..

a n ?1 2n ? 1 ? 不是常数. 【答案】B an 2n ? 1

-

9, 【解析】由已知 b =ac,∴Δ =b -4ac=-3ac. 又∵a、b、c 成等比,∴a、c 同号,∴Δ <0. 【答案】A
2? 2 ? 1 ? ( )17 ? 3? 3 ? 2 10, 【解析】a4+a5+?+a20=17a+d ? =17a+2d? [1-( )17] 2 3 1? 3 2 ∴a1+a2+?+a20=20a+2d[1-( )17] 3 2 1 ∴平均楼价为 a+ d[1-( )17] . 【答案】B 3 10

2

2

11, 【解析】由题意, an ?

1 1 1 , ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 10 ∴ a1 ? a2 ? ? ? a10 = 1 ? ? ? ? ? ? ? ? , 【答案】C 2 2 3 10 11 11

12【解析】由题意,an+1=2an+2,∴ an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,又 a1+2=4,∴【答案】B 13, 【解析】由题意,n 小时后有 2n 人得知,此时得知信息总人数为 1+2+22+?+2n=2n+1-1≥55. 即 2n+1≥56 ? n+1≥6 ? n≥5. 【答案】5 14【解析】设{an}中第 n 项最大,则有 ?
?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1

? 9 n (n ? 1) 9 n ?1 ? n ? ? ? 10 n 10 n ?1 即? n ,∴8≤n≤9 n ?1 ? 9 (n ? 1) ? 9 (n ? 1) ? 10 n ?1 ? 10 n

即 a8、a9 最大. 【答案】a8 和 a9

15, 【解析】由 S5=5?46°+

5? 4 d=540°得 d=31° 2

∴a5=46°+4?31°=170°.

【答案】170°

16, 【解析】由 an=an-1+an-2+?+a2+a1=Sn-1(n≥2) 又 an=Sn-Sn-1=an-1-an ∴
a n ?1 =2 (n≥2) , 由 a2=a1=1 an
2 ∴an=2n-( n≥2) , ∴an= ?

?1
n?2 ?2

(n ? 1) (n ? 2)

【答案】 an= ?

?1
n?2 ?2

(n ? 1) (n ? 2)

17, 【解】 (1)若 3,9,?,2187,能成等差数列,则 a1=3,a2=9,即 d=6.则 an=3+6(n-1) ,令 3+6(n-1)=2187,解得 n=365.可知该数列可构成等差数列,S7=7?3+
7?6 ?6=147. 2

(2)若 3,9,?,2187 能成等比数列,则 a1=3,q=3,则 an=3?3n-1=3n,令 3n=2187,得 n=7 ∈N,可知该数列可构成等比数列,S7= 18【解】设成等比数列的三个数为
..

3(1 ? 3 7 ) =3279. 1? 3

10 a a ,a,aq,由 ?a?aq=103,解得 a=10,即等比数列 ,10, q q q

-

10q. (1)当 q>1 时,依题意, 成等差数列,公差 d=8. (2) 当 0<q<1, 由题设知 ( 上所述,d=±8.

5 1 5 +(10q-7)=20.解得 q1= (舍去) ,q2= .此时 2,10,18 q 5 2

10 -7) +5q=20, 求得成等差数列的三个数为 18、 10、 2, 公差为-8. 综 q

19【解】设 y=f(x)=kx+b,则 f(2)=2k+b,f(5)=5k+b,f(4)=4k+b,依题意: [f(5) ]2=f(2) ?f (4) . 即(5k+b)2=(2k+b) (4k+b)化简得 k(17k+4b)=0. ∵k≠0,∴b=-
17 k 4

① ②

又∵f(8)=8k+b=15

将①代入②得 k=4,b=-17. ∴Sn=f(1)+f(2)+?+f(n)=(4?1-17)+(4?2-17)+?+(4n-17)=4(1+2+?+n)-17n=2n2 -15n. 20 【解】∵an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,∴ (an+2)= 2S n ,即 Sn= 当 n=1 时,a1= (a1+2)2 ? a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= [ (an+2)2-(an-1+2)2] 即(an+an-1) (an-an-1-4)=0 又∵an+an-1>0,∴an=an-1+4,即 d=4. 故 an=2+(n-1)?4=4n-2. 21【解】假设存在这样的三个数 ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c 又 a+b+c=6,∴b=2. 设 a=2-d,b=2,c=2+d. ①若 2 为等比中项,则 22=(2+d) (2-d) ∴d=0,则 a=b=c,不符合题意. ②若 2+d 为等比中项,则(2+d)2=2(2-d) ,解得 d=0(舍去)或 d=-6.∴a=8,b=2,c=-4. ③若 2-d 为等比中项,则(2-d)2=2(2+d) ,解得 d=0(舍去)或 d=6 ∴a=-4,b=2,c=8 综上所述,存在这样的三个不相等数,同时满足 3 个条件,它们是 8,2,-4 或-4,2,8.
1 8 1 8 1 2 1 (an+2)2 8

..

-

22. 解: (1)? 对任意正整数 n,有

b1 b2 b3 b + + +┅+ n = 2n +1 ① a1 a 2 a 3 an

∴当 n=1 时,

b1 ? 3 ,又 a1 ? 1 ,∴ b1 ? 3 ; a1


当 n ? 2 时,

b b1 b2 b3 + + +┅+ n ?1 = 2n -1 a1 a 2 a 3 a n ?1

∴②-①得

bn ? 2 ; bn ? 2an ? 2 ? 3n?1 ; an

(n ? 1), ?3 , ∴ bn ? ? n-1 ?2 ? 3 , (n ? 2)

(2) b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 = 3 ? (2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32004 ) = 3 ? 3(32004 ? 1) = 32005

3,参考答案
1,A 11、
1 2

2,D

3,C

6,C 1 12、 {x | x ? ?3 或 ?1 ? x ? } 3 14、 2; 10

4,B

5,B

7,C

8,A

9,B

10,D

13、 [9, ??)

15、解:解不等式 x2 ? 4 ? 0 得 x ? ?2 或 x ? 2 , 即 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 2} ;
2x ? 3 3 ? 0得x? ? 或x ?3 x?3 2 3 3 即 B ? {x | x ? ? 或 x ? 3} ; CR B ? {x | ? ? x ? 3} 2 2 3 ? A ? B ? {x | x ? ? 或 x ? 2 } ; 2

解不等式

A ? (CR B) ? {x | 2 ? x ? 3} .
16、解:方程 x2 ? (m ? m2 ) x ? m3 ? 0 的两根为 x1 ? m, x2 ? m2 . (1) 当 m ? m 2 ,即 {m | m ? 0或m ? 1} 时,不等式的解集为

{x | x ? m或x ? m2 } ;
(2) 当 m ? m 2 ,即 {m | 0 ? m ? 1} 时,不等式的解集为
..

-

{x | x ? m2或x ? m} ;
(3) 当 m ? m 2 ,即 m ? 0 或 m ? 1 时,不等式的解集为
{x | x ? m} .

17、解:设水池底面长为 x 米时,总造价为 y 元. 由题意知水池底面积为
4800 1600 ? 1600m 2 ,水池底面宽为 m. 3 x 1600 ? y ? 150 ?1600 ? 120 ? 3 ? (2 x ? 2 ? ) x 1600 ? 150 ?1600 ? 720( x ? ) x

?x ?

1600 1600 “ ? ”当且仅当“ x ? 40 ”时取得. ? 2 x? ? 80 , x x

所以当 x ? 40 时, ymax ? 297600 . 答:水池底面设计成边长为 40 米的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元. 18、解:设月生产产品 X , Y 分别为 x 件, y 件,该月利润为 z ,则有

? 0 ? x ? 2500 ? 0 ? x ? 2500 ? 0 ? y ? 1200 ? 0 ? y ? 1200 ? ? ?? ? ?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 3 y ? 7000 ? ? 2 x ? 8 y ? 12000 ? ? x ? 4 y ? 6000
目标函数 z ? 1000 x ? 2000 y ,即 z ? 1000( x ? 2 y) .
2 1 设 x ? 2 y ? k1 (2x ? 3 y) ? k2 ( x ? 4 y) ,可得 k1 ? , k2 ? . 5 5 2 1 2 1 所以 x ? 2 y ? (2 x ? 3 y ) ? ( x ? 4 y ) ? ? 7000 ? ? 6000 ? 4000 5 5 5 5

? zmax ? 1000 ? 4000 ? 4000000 .

?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 等号成立的条件是 ? ,即 ? ,符合条件. ? x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000
答:组装产品 2000 件 X ,1000 件时 Y ,月利润最高,最高利润为 400 万元.

4,参考答案
一、

1.D;解析:若 a2+b2=0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|= -f(x)∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件.又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b= -(x|x+a|+b) ,则必有 a=b=0,即 a2+b2=0,∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 2.B;提示:这是一个含有量词的命题的否定.
..

-

3.B;本题考查复合命题及真值表.解析:∵p=非 r,∴p 与 r 一真一假,而 p、q、r 中有且只有一 个真命题,∴q 必为假命题,∴非 q: “肖像在这个盒子里”为真命题,即:肖像在银盒里.评述: 本题考查充要条件的基本知识,难点在于周期概念的准确把握. 4.B;解析:注意二次项系数为零也可以. 5.A;解析:对“a 和 b 都不是偶数”的否定为“a 和 b 不都不是偶数” ,等价于“a 和 b 中至少有一 个是偶数” . 6.D;解析:该题考察的是互为逆否命题的真值相同,也就是在选项中找到该命题逆否命题. 7.B;解析:由“非 p”为真可得 p 为假,若同时“p 或 q”为真,则可得 q 必须为真. 8.A;解析:由我们学习过的不等式的理论可得 p ? q ,但 x ? 100 , y ? 0.1 满足 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 , 但不满足 q,故选项为 B. 9.D;解析:由 2x2-5x-3<0,解得- <x<3,记为 P,则①P ? A,②B P,B 是 P 的充分非必 要条件,③C P,C 既不是 P 的充分条件,也不是 P 的必要条件,④D P,P D,D 是 P 的必
1 2

要不充分条件. 10. A;提示:举例:a=1.2,b=0.3,则 a+b=1.5<2,∴逆命题为假. 二、 11.②④; 解析:本题是一道开放性题,考查四种命题间的关系及充要条件. ①A∩B=A ? A ? B 但不能得出 A B,∴①不正确; ②否命题为: “若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0” ,是真命题; ③逆命题为: “若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等” ,是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题,∴逆否命题也为真命题. 12.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形; 解析:本题考查复合命题“非 p”的形式,p: “平行四边形一定是菱形”是假命题,这里“一定 是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”?若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题, 与真值表相违,故原命题的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形” ,是一个真命题. 第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可. 13.必要,充分,必要. 提示:画出箭头图. 14.必要不充分. 三、 15.本题考查四种命题间的关系.
..

-

解: (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(假命题) . 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(假命题) . 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题) . (2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题) . 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题) . 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题) . 16.解: (1)根据真值表,复合命题可以写成简单形式: p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除. p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除. ∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而有一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)根据真值表,只能用逻辑联结词联结两个命题,不能写成简单形式: p 或 q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真.
?a ? 0 17.解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或? ?? ? 0
? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ;如果 P 正确,且 Q 不正 4

1 1 1 确, 有 0 ? a ? 4, 且a ? ? ? a ? 4 ; 如果 Q 正确, 且 P 不正确, 有 a ? 0或a ? 4, 且a ? ? a ? 0 . 所 4 4 4
1 ? 以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ?4 ?

18.本题考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题,将语言叙述符号化,画出它们的综合 结构图,再给予判定. 解:p、q、r、s 的关系如图所示,由图可知

答案: (1)s 是 q 的充要条件

(2)r 是 q 的充要条件

(3)p 是 q 的必要条件

..

-

1 1 ? ? ?(1 ? a )b ? 4 ? (1 ? a )b ? 2 ? ? 1 1 ? ? 19.证明:用反证法,假设 ?(1 ? b)c ? ? ? (1 ? b)c ? ,①+②+③得: 4 2 ? ? 1 1 ? ? ?(1 ? c)a ? 4 ? (1 ? c) a ? 2 ? ?
3 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ? ? ? ,左右矛盾,故假设不成立, 2 2 2 2 2 1 ∴(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a 不同时大于 . 4

20.解析:先证充分性,而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性:

?a ? 2 ?? ? a 2 ? 4 ? b, b ? 4 ? ? ? ? 4(a 2 ? b) ? 0, ?a ? 2 ?? 2a ? ?4 ?? ?? , ?b ? ?4 ?b ? ?4

∴方程有实数根 ①

? ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? ?2a ? 4 ? ?4 ? 4 ? ?8 ? 0, 而( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? b ? 4a ? 4 ? ?4 ? 8 ? 4 ? 8 ? 0, ?( x ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ? x1 ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?? 1 ?? ?? 1 , ?( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? 0 ? x2 ? 2 ? 0 ? x2 ? 2
①、②知“a≥2 且|b|≤4” ? “方程有实数根,且两根均小于 2”. 再验证条件不必要: ∵方程 x2-x=0 的两根为 x1=0, x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- ∴“方程的两根小于 2” ? “a≥2 且|b|≤4”. 综上,a≥2 且|b|≤4 是方程有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件. 评析:充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念,在解答任何一个数学问题时都必须准确认 识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性,还是充分且必要.对于证明题、计算题等, 往往只需满足命题条件的充分性,即由条件进行推理、演绎得出结论;而对于求参数的范围,求 不等式的解集,求函数的值域等许多问题,则必需保证推理的充要性.
1 <2, 2

5,参考答案
A 13, ? D D B C C A
15,

A
16 3

C

D
2

A
2

C

3 3 ?x? 5 5

14, 3 ? 1

16, x ? ? y, y ? ?8x

c 3 x2 y2 17,解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y) 为椭圆上的点,由 ? a 2 a b
..

得 a ? 2b

-

AM

2

3 1 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 , (?b ? y ? b) 2 2

若b ?

1 3 3 1 2 ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 (?b ? ) 2 ? 7 , ? b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 3 2 2

若b ?

1 1 时, y ? ? 2 2

时 4b 2 ? 3 ? 7 , b 2 ? 1 所求方程为
x2 ? y2 ? 1 4

18,解:如图建系:设双曲线方程为:
c C( , h ) ,A(-c,0) 2

x2 y2 ? ? 1 则 B(c,0), a2 b2

? E(

? ?2 ?h c, ) ,代入双曲线方 2(1 ? ? ) 1? ?

程得:

? 2 c2 2 2 2 2 ?b ? ? a h ? a b 2? ? 1 2 3 4 ? , ? ?[ , ] , ? e2 ? ? 2 1? ? 3 4 ?b 2 ? (? ? 2) ? c 2 ? a 2 ( ?b ) 2 ? a 2 b 2 2 ? 1? ? 4(1 ? ? ) ?

? 7 ? e ? 10
19, 解 (1) 设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? , M ?x, y ? , 则 l AB: : x ? my ? t , 代 入 抛 物 线 方 程 y 2 ? 2x 得 : y 2 ? 2my ? 2t ? 0 ? y1 ? y2 ? 2m, y1 y2 ? ?2t , 及 x1 x2 ? t 2 , x1 ? x2 ? 2m 2 ? 2t . 又 OA ⊥
x ? x2 ? x? 1 ? m2 ? 2 ? ? 2 OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .得 t 2 ? 2t ? 0, t ? 2, t ? 0 (舍),而 ? 消去 M: y 2 ? x ? 2 ? y ? y1 ? y 2 ? m ? 2 ?

(2)在直线方程 l AB: x ? my ? t 中,令 y ? 0, 得 x ? t ? 2 所以交点为(2,0) 20, 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1) a2 ? b2

.同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离

d2 =

b(a ? 1) a2 ? b2

.s= d1 +d2=

ab a2 ? b2

=

2ab . c

由 s≥

2ab 4 4 c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c 5 ≤e2≤5. 4

于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4 e2-25e+25≤0.解不等式,得

..

-

由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是

5 ?e? 5. 2

21, (1)设 A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0. 得线段 AB 垂直平分线方程: y ?
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ( x ? x0 ), 2 y1 ? y 2

令 y=0,得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0). (2)由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2. 由抛物线的对称性,可设 M 在第一象限,所以 M(2, 4), N(6,0).

? y ? x ? 6, 直线 PQ: y=x-6, 由 ? 2 得P(18,12), Q(2,?4), 得△MPQ 的面积是 64. ? y ? 8 x.
22 解: (1) 椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、 F2 两点的距离之和是 4, 得 2a=4, 即 a=2.

3 ( )2 3 1 又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1. 2 2 b
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ? =1,焦点 F1(-1,0) ,F2(1,0). 4 3

(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:
x? ? 1 ? x1 y , y ? 1 , 即 x1=2x+1,y1=2y. 2 2

因此

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 1 4y2 ? ? 1 为所求的轨迹方程. =1.即 ( x ? ) 2 ? 4 3 2 3

6,参考答案
一、1.B;2.A;3.A;4.C; 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 ,? ,0) , 2 2 2 2 , ,0) , 2 2 2 2 , ,0) , 2 2
z

S

B ( C (?

2 2 D (? ,? ,0) , S (0, 0, 2) . 2 2 ??? ? ??? ? 2 2 ? DB ? ( 2, 2,0) , CS ? ( , ? , 2) . 2 2

D A
x

O 图 B

C
y

? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ?n ? DB ? 0 ? 令向量 n ? ( x, y,1) ,且 n ? DB, n ? CS ,则 ? ? ??? , ? ? ? n ? CS ? 0

..

-

? ( x, y ,1) ? ( 2, 2, 0) ? 0 ? ?x ? ? 2 ? x? y ?0 ? ?? ,? ,? ? ,? n ? (? 2, 2,1) . ? ? 2 2 ? ,? , 2) ? 0 ?( x, y ,1) ? ( ? ?x ? y ? 2 2 ? 0 ? y? 2 ? 2 2

? 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为:
2 2 ???? ? (? , , 0) ? (? 2, 2,1) OC ? n 2 2 1?1? 0 2 5 d? ? ? . ? ? 5 n (? 2, 2,1) (? 2)2 ? ( 2)2 ? 12

5.A;分析:
???? ? ABB1 A1 为正方形, ? A1 B ? AB1 ,又平面 AB1 D ? 平面 ABB1 A1 , ? A1 B ? 面 AB1 D , ? A1 B 是平面 AB1 D 的一个

法向量,设点 C 到平面 AB1 D 的距离为 d ,则
???? ???? AC ? A1 B d? ???? A1 B

=

???? ???? ??? ? AC ? ( A1 A ? AB) 2a

=

???? ???? ???? ??? ? AC ? A1 A ? AC ? AB ) 2a

=

0 ? a ? a ? cos 600 2a

?

2 a 4



6.B;分析:建立如图所示的直角坐标系,
? ???? ? ? ? ? n ? DA 1 ?0 设平面 A1C1 D 的一个法向量 n ? ( x, y,1) ,则 ? ? ????? , ? ?n ? DC1 ? 0
z

D B

C
y



A D1
x

?( x, y,1) ? (1, 0,1) ? 0 ? x ? ?1 ?? ? , ?( x, y,1) ? (0,1,1) ? 0 ? y ? ?1
? ? n ? (?1, ?1,1) , ? 平 面 A B 1C1 D 间 的 距 离 1 C与 平 面 A

C1 B1 图

A1 E

???? ? AD ? n (_1,0,0) ? (?1, ?1,1) 3 d? ? ? ? . 2 2 2 3 n (?1) ? (?1) ? 1
7.D;

..

-

? OP ? 平面ABC,OA ? OC,AB ? BC, ? OA ? OB,OA ? OP,OB ? OP. 以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O ? xyz ? 如图?, ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 设AB ? a,则A ? a , 0, 0 , B 0, a , 0 , C ? a , 0, 0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?. 2 ? ? ? ? ? ? 设OP ? h,则P ? 0, 0, h ? . Ⅰ ? ?? D为PC的中点, ???? ? ??? ? ? 2 ? 2 1 ? ? OD ? ? ? a , 0, h , 又 PA ? a , 0, ? h ? ? ? ? 4 ? ? 2 ?, 2 ? ? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ? OD ? ? PA. ? OD∥PA. ? OD∥平面PAB. 2
z P

D x A O B C

y

..

-

z
C1 A1 E G D C B B1

x

A

y

?Ⅱ? ?
? h?

PA ? 2a, 7 a, 2

???? ? 2 14 ? ? OD ? ? ? a ,0, a? ? 4 ?, 4 ? ? ? ? 1? 可求得平面PBC的法向量n ? ? ? 1,1, ?, ? 7? ? ? 8.B;解 以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 x 轴,CB ???? ? ???? ? OD ? n 210 ? cos?OD, n? ? ???? ? ? . 30 OD ? n 设OD与平面PBC所成的角为?, ???? ? 210 则 sin ? ? cos?OD, n? ? 30

..

-

所在直线为 y 轴, CC1 所在直线为 z 轴,建立直角坐标系, 设 CA ? CB ? a , 则 A(a,0,0) , B(0, a,0) ,A , D(0,0,1 ( ) ) 1 a,0,2
a a a a 1 a a 2 ) GE ? ( , , ) ∴ E( , ,1 , G( , , ) , , BD ? , (0,?a,1 ) 2 2 3 3 3 6 6 3 ∵ 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G, 1 1 2 ( , , ) ∴ GE ? 平面 ABD, ∴ GE ? BD ? 0 ,解得 a ? 2 .∴ GE ? , 3 3 3

, BA (2,?2,2) 1 ?

∵ GE ? 平面 ABD, ∴ GE 为平面 ABD 的一个法向量.
GE ? BA1 | GE | ? | BA1 | 4 3 6 ?2 3 3



cos ? GE, BA1 ??

?

?

2 3

∴ A1 B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为 评析

7 . 3

? 因规定直线与平面所成角 ? ? [0, ] ,两向量所成角 ? ? [0,? ] ,所以用此法向量求出的线面角 2 ? 应满足 ? ?| ? ? | . 2
9.A;取 BC 的中点 O,连 AO.由题意 平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , AO ? BC , ∴ AO ? 平面 BCC1 B1 , 以 O 为原点,建立如图 6 所示空间直角坐标系, 3 3 9 3 3 3) ( , 3 ,0) 则 A(0,0, , B( ,0,0) , D( ,0,0) ,B , 1 2 2 2 2 2 9 3 3 3 ( ,0,? 3) (3,? 3 ,0) (0, 3 ,0) ∴ AD ? , B1 D ? , BB1 ? , 2 2 2 2 3 (0, 3 ,0) 由题意 BB1 ? 平面 ABD, ∴ BB1 ? 为平面 ABD 的法向量. 2 设 平面 AB1 D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,
? ? n ? AD 则 ? 2 , ? n ? B D 1 ? 2 ? ? n ? AD ? 0 ∴ ? 2 , ? n ? B D ? 0 ? 2 1

3 ?9 ? 2 x ? 2 3z ? 0 ∴ ? , 3 ? 3x ? 3y ? 0 2 ?
3 3 ,1, ) , 2 2

3 ? 3y ?x ? 即 ? . 2 ? ? z ? 3x

∴ 不妨设 n2 ? (

..

-



cos ? BB1 , n2 ??

BB1 ? n2 | BB1 | ? | n2 |

?

3 3?2 2

3 3 2

?

1 , 2

得 ? BB1 , n2 ?? 60? . 故所求二面角 B1 ? AD ? B 的大小为 60? . 评析: (1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲: “找——证—— 求”直接简化成了一步曲: “计算” ,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对 学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神. (2) 此法在处理二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题, 如本题中若取 n2 ? (?
3 3 ,?1,? ) 2 2

1 时,会算得 cos ? BB1 , n2 ?? ? ,从而所求二面角为 120? ,但依题意只为 60? .因为二面角的大小有时 2 为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据

计算取“相等角”或取“补角” . 10.C;解 以 D 为坐标原点,建立如图 10 所 则 B1 (2 2 ,2 2 ,4) , D1 (0,0,4) ,
z
D1 A1 B1 D G C1

示的直角坐标系,

E(2 2 , 2 ,0) , F ( 2 ,2 2 ,0) ,
∴ D1 E ? (2 2, 2,?4) ,D1 F ? ( 2,2 2,?4) ,

D1 B1 ? (2 2,2 2,0) ,

x
A

E

F B

C

y

cos ? D1 E , D1 F ??

D1 E ? D1 F | D1 E | ? | D1 F |
5 , 13

?

24 26 ? 26

?

12 , 13



sin ? D1 E , D1 F ??

所以 S ?D1EF ?

1 1 5 | DE | ? | DF | ? sin ? DE , DF ?? ? 26 ? 26 ? ? 5 , 2 2 13

设 平面 D1 EF 的方程为: x ? By ? Cz ? D ? 0 ,将点 D1 , E, F 代入得
?4C ? D ? 0 ? ?2 2 ? 2 B ? D ? 0 , ? 2 ? 2 2B ? D ? 0 ?
?B ? 1 ? 3 ? 2 , ∴ ?C ? 4 ? ? ? D ? ?3 2
3 2 z ? 3 2 ? 0 ,其法向量为 4

∴ 平面 D1 EF 的方程为: x ? y ?

..

-

n ? (1,1,

| D B ? n | 16 3 ? , 2 ) , ∴点 B1 到平面 D1 EF 的距离 d ? 1 1 5 4 |n|

1 1 16 16 ∴ VB1 ? EFD1 ? ? S ?EFD1 ? d ? ? 5 ? ? 即为所求. 3 3 5 3 评析 (1)在求点到平面的距离时,有时也可直接利用点到平面的距离公式

d?

| Ax0 ? By0 ? Cz 0 ? D | A2 ? B 2 ? C 2

计算得到.

(2) 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离, 线面间的距离,以及平行平面间的距离等. 二、 11.
2 6 3

分析:设正方体棱长为 2 ,以 D1 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1 E ? (2,1,0) ,

???? ?

? ???? ? ???? ? ? ? ? 2?? ? 0 ? ? ? ?2 ?n ? D1 E ? 0 C1 B ? (2,0, 2) ,设 D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1, ? , ? ) ,则 ? ? ???? ,即 ? ,? ? , ? 2 ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? n ? C1 B ? 0
????? ? ? D1C1 ? n ? ????? ? 2 6 4 2 6 ? ? ? n ? (1, ?2, ?1) ,又 D1C1 ? (0, 2,0) ,? ,所以异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离为 . ? 3 3 6 n

12.

6 分析:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 3
z

1 1 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 ? AE ? (0, ,1) , AF ? (?1, ,0) ; 2 2 ? 设面 AEC1 F 的法向量为 n ? (1, ?, ? ) ,

则 A (1,0,0), F (0, ,0), E (1, ,1) .

D1 A1 D A E

C1 B1 F C
y

则有: n ? AE ? 0, n ? AF ? 0 ,
?1 ? ??? ?0 ???2 ? , ?? 2 ?? ??1 ? 1 ? ? 0 ? ? ? ?1 ? ? 2

? ??? ?

? ??? ?

x



B

??? ? ? AB ?n 2 6 ? ??? ? ? ? = ? ? n ? (1, 2, ?1) ,又 AB ? (0,1,0) ,所以点 B 到截面 AEC1 F 的距离为 ??? . 3 AB ? n 1 ? 6
z D1 A1 F B1 D A x B E C1

13.1;解:如图建立空间直角坐标系, 1 DB =(1,1,0) , DF =(0, ,1) , DA1 = 2 设平面 DBEF 的法向量为 n =(x,y,z) ,则

(1,0,1) 有:

n ? DB ? 0 n ? DF ? 0
..

x+y=0 ,
1 y+z=0 2

C y

-

令 x=1,

y=-1,

z=

1 , 2

取 n =(1,-1,

n ? DA1 1 ?1 ) ,则 A1 到平面 DBEF 的距离 h ? 2 n
z D1 A1 E B1 C1

14.

10 解:如图建立空间直角坐标系, AB = 5

(0,1,0) , AD1 =

1 (-1,0,1) , AE =(0, ,1) 2

设平面 ABC1D1 的法向量为 n =(x,y,z),
x A

D
A

C B y



n ? AB ? 0 可解得 n =(1,0,1)

n ? AD1 ? 0
设直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角为θ ,则 sin ? ? 三、 15. 解: 如图建立空间直角坐标系,A1C1 = (-1, -1) 设 n1 、 n2 分别是平面 A1BC1 与平面 ABCD 的 由
A1 D1 B1 D A x B C y

AE ?n AE ? n
z

?

10 , 5

C1

1, 0) ,A1 B = (0, 1,

法向量, 1)

n1 ? A1 B ? 0 n1 ? A1C1 ? 0

可解得 n1 =(1,1,

易知 n2 =(0,0,1) , 所以, cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2



3 3
3 3 或. 3 3

所以平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦为

注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求 出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小. 16.证明:如图建立空间直角坐标系, 则 A1C1 =(-1,1,0) , B1C =(- , A1 D =(1,0,1)
D1 z E B1 F D x A B M C y C1

1,0,-1) -1,-1)

B1 A =(0, A1

设 A1 E ? ? A1C1 , A1 F ? ? A1 D ,
..

B1M ? ? B1 A ( ? 、 ? 、

-

? ? R ,且均不为 0)
设 n1 、 n2 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量, 由

n1 ? A1 E ? 0

可得

n1 ? ? A1C1 ? 0



n1 ? A1C1 ? 0

n1 ? A1 F ? 0
解得: n1 =(1,1,-1) 由

n1 ? ? A1 D ? 0

n1 ? A1 D ? 0

n2 ? B1M ? 0

可得

n 2 ?? B1 A ? 0



n2 ? B1 A ? 0

n2 ? B1C ? 0

n2 ? B1C ? 0

n2 ? B1C ? 0 n1 ∥ n2 ,

解得 n2 =(-1,1,-1) ,所以 n1 =- n2 , 所以平面 A1EF∥平面 B1MC.

注: 如果求证的是两个平面垂直, 也可以求出两个平面的法向量后, 利用 n1 ⊥ n2 ? n1 ? n2 ? 0 来证明. 17. (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,又 AB⊥AD.∴AB⊥平面 PAD.又∵AE⊥PD,∴PD ⊥平面 ABE,故 BE⊥PD. (2)解:以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点 C、D 的坐标 分别为(a,a,0) , (0,2a,0) . ∵PA⊥平面 ABCD,∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角,∴∠PDA=30°. 于是,在 Rt△AED 中,由 AD=2a,得 AE=a.过 E 作 EF⊥AD,垂足为 F,在 Rt△AFE 中,由 AE=a, ∠EAF=60°,得 AF=

a 3 1 3 ,EF= a,∴E(0, a, a) 2 2 2 2

于是, AE ? {0, a,

1 2

3 a}, CD ={-a,a,0} 2

设 AE 与 CD 的夹角为θ ,则由

AE ? CD cosθ = | AE | ? | CD |

1 3 0 ? (?a) ? a ? a ? a?0 2 2 2 ? 4 1 3 2 0 2 ? ( a) 2 ? ( a) ? (?a) 2 ? a 2 ? 0 2 2 2

AE 与 CD 所成角的余弦值为

2 . 4

评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体 几何中的常见问题和处理手段. 18.解: (1)略. (2)如图,建立空间直角坐标系 D—xyz, 1 1 则知 B(1,1,0) , E ( ,1,1), F (0, ,1). 2 2
..

-

设 n ? ( x, y, z)是平面BDEF 的法向量 .
1 由n ? DB , n ? DF , DB ? (1,1,0), DF ? (0, ,1) 2

得? ?

?n ? DB ? x ? y ? 0 ?x ? ? y 则? ? 1 1 z ? ? y. ?n ? DF ? y ? z ? 0 ? 2 ? 2 ?

1 令 y ? 1, 得n ? (?1,1,? ) . 2 设点 A1 在平面 BDFE 上的射影为 H,连结 A1D,知 A1D 是平面 BDFE 的斜线段.
1 3 ? A1 D ? (?1,0,?1),? AD ? n ? (?1)( ?1) ? 0 ? 1 ? (?1)( ? ) ? . 2 2
1 3 又 ?| A1 D |? (?1) 2 ? O 2 ? (?1) 2 ? 2 , | n |? (?1) 2 ? 12 ? (? ) 2 ? , 2 2 3 A1 D ? n 2 ? cos ? A1 D, A1 H ?? ? 2 ? . 3 2 | A1 D | ? | n | 2? 2 2 ?| A1 H |?| A1 D | ? cos ? A1 D, A1 H ?? 2 ? ? 1. 2

即点 A1 到平面 BDFE 的距离为 1. (3)由(2)知,A1H=1,又 A1D= 2 ,则△A1HD 为等腰直角三角形,
?A1 DH ? ?DA1 H ? 45?
? A1 H ? 平面BDFE, HD是A1 D在平面BDFE上的射影, ? ?A1 DH就是直线A1 D与平面BDFE所成的角 , ? ?A1 DH ? 45?.

19.解:建立坐标系如图,则 A ? 2,0,0? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? ,
z

???? ? D1 A1 ? 2,0,2? , B1 ? 2,2,2? , D1 ? 0,0,2? , E ? 2,1,0? , AC ? ? ?2,2, ?2? , 1 ???? ? ??? ? ??? ? ? D1E ? ? 2,1, ?2? , AB ? ? 0,2,0? , BB1 ? ? 0,0,2? .
A1 B1

C1

(Ⅰ)不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1C ?D1 E 3 ∵ cos A1C , D1 E ? ???? ? ???? ? ? 9 A1C D1 E
x A

???? ?

D

y C E B



D1E 与平面 BC1D 所成的角的正弦
???? ?
??? ?

3. 9

(Ⅱ) A1C 、 AB 分别为平面 BC1D、BC1C 的法向量,
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? A1C ?AB 3 ∵ cos A1C , AB ? ???? ,∴ ? ??? ? ? 3 A1C AB

二面角 D-BC1-C 余弦的大小为 3 .
3

..

???? ? ???? ? A1C ?BB1 2 3 (Ⅲ)∵ B1D1∥平面 BC1D,∴ B1D1 与 BC1 之间的距离为 d ? ???? . ? ? 3 A1C

-

20.(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明 EF∥AC,EG∥B1C,FG∥AB1来证明,而我们借用 向量法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.) (1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可. 证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0) ,B (a,a,0) ,C(0,a,0) ,D1(0,0,a) ,B1(a,a,a) ,E(xE,0,a) ,F(0,yF,a) ,G(0, 0,zG) . ∴ BD1 =(-a,-a,a) , AB1 =(0,a,a) , EF (-xE,yF,0) , AC =(-a,a,0) , B1C =(- a,0,-a) , ∵ BD1 ? AB 1 =(-a,-a,a)?(0,a,a)=0, ∴ BD1 ⊥ AB1 , 同理 BD1 ⊥ AC , AC ? 而 AB1 与 ? 不共线且相交于点A, ∴ BD1 ⊥平面ACB1,又已知 BD1 ⊥平面EFG, ∴ 平面EFG∥平面ACB1; 又因为 BD1 ⊥平面EFG, 所以 BD1 ⊥ EF , 则 BD1 ? EF =0, 即 (-a,-a,a)?(-xE,yF,0)=0, 化简得 xE-yF=0; 同理 易得 ∴ xE-zG=0, yF-zG=0,
? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

D1 E A1 P G D x A

z

F O1 B1 J

C1

K

y C B
△ EFG 与△ A1C1D 重合
EF =A1C1= 2 ?a,

EF

=

EF

=

FG



O

△EFG为正三角形.

(2)解:因为△EFG是正三角形,显然当 时, △EFG的边最长, 其面积也最大, 此时, ∴ S ?EFG = S ?A C D 1 1 = = =
1 2
? ?

图 5*

A1C1 · A1 D ?sin600

1 3 ( 2 ?a)2? 2 2

3 ?a2 2



此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离,由于两异面直线所在平面平行,所求距离转化为求点 B1到平面 A1C1D的距离,记A1C1与B1D1交于点O1,作O1H∥D1B并交BB1于点H,则O1H⊥平面A1C1D,
..

? a a a 垂足为O1,则O1( , ,a),H(a,a, ),而 O1 H 作为平面A1C1D的法向量, 2 2 2

所以异面直线EF与B1C的距离设为d是
a2 a2 ? ) ? O1 H 4 4 = 3 ?a. d = O1 B1 · ? = 3 3a 2 O1 H 4
?

(

(证明(2)时一般要找到求这两平面距离的两点,如图 5*,而这两点为 K 与 J,在立体图形中较难确 定,且较难想到通过作辅助线 DO1,OB1 来得到,加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱,但只 要借助平面法向量求线段的射影长度的思想, 结合题设, 使思路清晰明了, 最终使问题的解决明朗化; 把握这种思想,不管是空间线线距离,线面距离,面面距离问题,一般我们都能转化成点线或点面距 离,再借助平面法向量很好地解决了.)

..


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