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§2.3.3等比数列的前n 项和


§2.3.3

等比数列的 前n项和

复习等比数列的有关概念
1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比 定义:如果一个数列从第 项起 项起, 定义 等于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列 无关的数),这个数列就叫做等比数列, 等于同一个常数(指与 无关的数),这个数列就叫做等比数列, 这个常数

叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示 表示。 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示。

a n +1 = q ( 是与 n 无关的数或式子 an
2.等比数列 n 等比数列

, 且 q ≠ 0)
当q=1时,这是 一个常函数。

{a }

的通项公式为 通项公式为
n ?1

an = a1 ? q

an ≠ 0

3.如果在 与b中间插入一个数 ,使a,G,b成等比数列, 如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数G, , , 成等比数列 成等比数列, 如果在 那么G叫做 叫做a与 的等比中项。 那么 叫做 与b的等比中项。

G = ± ab

等比数列的前n项和公式的推导 等比数列的前 项和公式的推导

S n = a1 + a1q + a1q 2 + L + a1q n ?2 + a1q n ?1

qS n =

a1q + a1q + a1q + L + a1q
2 3

n ?1

+ a1q

n

∴ S n ? qS n = a1 ? a1q n = a1 (1 ? q n )
(1 ? q) S n = a1 (1 ? q n )

a1(1? q ) ∴ q ≠1 , n = 当 时 S 1? q
n

等比数列的前n项和公式的其它形式
1.当q≠1时, 当 时

a1 (1 ? q ) Sn = 1? q
n

?? ? ? ? ? ? ? ? ??→
a1 ? anq Sn = 1? q
2.当q=1时 2.当q=1时,

a1 (1? q n ) = a1 ? a1q n = a1 ? ( a1q n?1 ) q = a1 ? an q

Sn = na1

1 1 1 例1.求等比数列 , , , ? ? ? ? ? ?的前8项和. 2 4 8 1 1 解: Q a1 = , q = , n = 8 2 2
? ? 1 ?8 ? 1 ?1 ? ? ? ? 2 ? ?2? ? ? ? ∴ S8 = 1 1? 2

255 = . 256

在等比数列中, 1 (1)a1 = ?4, q = , 求S10 . 2 (2)a1 = 1, ak = 243, q = 3, 求S k .

1 1 1 1 求数列1 , 2 ,3 , ???, n + n , ???的前n项和. 2 4 8 2

某制糖厂今年制糖5万吨, 某制糖厂今年制糖 万吨,如果平均每年的产量比上一年 万吨 增加10%,那么从今年起,几年内可以使总产量达到 万吨 增加 ,那么从今年起,几年内可以使总产量达到30万吨 保留到个位) (保留到个位). 解: 由题意可知,这个糖厂从今年起,平均每年的产量(万 由题意可知,这个糖厂从今年起,平均每年的产量( 组成一个等比数列, 吨)组成一个等比数列, 记为 a

Q a1 = 5, q = 1 + 10% = 1.1, S n = 30
5 (1 ? 1 . 1 n ) = 30 . 1 ? 1 .1

{ n}

于是得到

a1 (1 ? q n ) Sn = 1? q
Q lg 1.1 = lg 1.6
n

整理后, 整理后,得

1.1 = 1.6
n

lg 1 . 6 0 . 2041 n = = ≈ 5 lg 1 . 1 0 . 0414
年内可以使总产量达到30万吨 答:5年内可以使总产量达到 万吨 年内可以使总产量达到 万吨.

∴ n lg 1.1 = lg 1.6

某人向银行申请贷款a元 月利率r, 某人向银行申请贷款 元, 月利率 按复利计算,每月等额还款一次 每月等额还款一次,从贷 按复利计算 每月等额还款一次 从贷 款后的次月开始还款,n年还请 年还请,那么 款后的次月开始还款 年还请 那么 每月应还款多少元? 每月应还款多少元

已知无穷数列, 已知无穷数列,

10 ,10 ,10 , L ,10

0 5

1 5

2 5

n ?1 5

,L,

求证: (1) 这个数列是等比数列; 求证: 这个数列是等比数列;

1 (2) 这个数列中的任意一项是它后面第 项的10 ; 这个数列中的任意一项是它后面第5项的

(3) 这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中 这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中. 证明: 证明: n? n?1 n

(1) Q an = 10

5

, an +1 = 10 5
n 5 1 5

an +1 10 = n ?1 = 10 ∴ an 10 5 1
即它们的比值是常数 因此这个数列是以

an+1 =q an (与n无关的数)

10 5. 1
为公比的等比数列. 为公比的等比数列

10 5

,L, 1 求证: 求证: (2)这个数列中的任意一项是它后面第 项的 这个数列中的任意一项是它后面第5项的 这个数列中的任意一项是它后面第 10 ;
证明: 证明:

已知无穷数列, 已知无穷数列,

10 ,10 ,10 , L ,10
n+ 4 5

0 5

1 5

2 5

n ?1 5

(2) Q an = 10

n ?1 5

, an +5 = 10
? 5 5

an 10 ∴ = n + 4 = 10 an + 5 10 5 1 ∴ an = an + 5 10

n ?1 5

1 = 10
1 . 10

所以这个数列中的任意一项是它后面第5项的 所以这个数列中的任意一项是它后面第 项的

已知无穷数列, 已知无穷数列,

10 ,10 ,10 , L ,10
n ?1 5 m ?1 5 m ?1 5

0 5

1 5

2 5

n ?1 5

,L,

求证: (3)这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中 求证: 这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中 这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中. 证明: 证明:

(3) Q an = 10

, am = 10
n ?1 5

∴ an ? am = 10

×10

= 10

( n + m ?1) ?1 5

因为n≥1,m≥1,所以 , 因为 ,所以n+m≥2, n+m-1∈N , ∈

即an + m ?1 = 10

( n + m ?1) ?1 5

属于这个数列,并且是数列的第 属于这个数列,并且是数列的第n+m-1项. 项

等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件,求相应的等比数列 {an } 的 S n 根据下列条件,
(1) a 1 = 3 , q = 2 , n = 6 ; ( 2 ) a1 = 2 .4 , q = ? 1 .5 , n = 5;
1 , n = 5; (3) a1 = 8, q = 2
3 × (1 ? 2 6 ) ∴ S6 = = 189 . 1? 2

2 . 4 × [1 ? ( ? 1 . 5 ) 5 ] 33 ∴ S5 = = . 1 ? ( ? 1 .5 ) 4
∴ S
5 ? ? 1 ? 8 × ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? = ? 1 ? 1 ? ? ? 2 ? ?

5

? ? ? ? = 31 . 2

1 ( 4 ) a1 = 2 .7 , q = ? , n = 6 . 3

? ? 2 . 7 × ?1 ? ? ? ∴ S6 = ? 1? ?? ?

6 1? ? ? ?? ? ? ? 3? ? ? = 91 . 1? 40 ? 3?

等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1,2,4,…从第 项到第 项的和 从第5项到第 项的和. , , , 从第 项到第10项的和

Q a 1 = 1, q = 2 , 4 1 × (1 ? 210 ) 1 × (1 ? 2 ) = 1023 . ∴ S4 = = 15 . S10 = 1? 2 1? 2

从第5项到第 项的和 从第 项到第10项的和 S ? S = 1023?15 = 1008. 项到第 项的和: 10 4 3 3 3 3. 求等比数列 , , , L 从第 项到第 项的和 从第3项到第 项的和. 项到第7项的和 2 4 8 7 ? 3 ?1? ? × ?1 ? ? ? ? 3 1 2 ? ?2? ? ? ? = 381 . Q a1 = ,q = ,∴ S = 7 2 2 1 128 1? 2

3 3 381 9 153 从第3项到第 项的和 从第 项到第7项的和 ∴ S 7 ? ? + ? = 项到第 项的和: ? = . ? ? ?2 4 ? 128 4 128


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