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高二数学直线与方程(教师 版)


直线与方程专题
一、兴趣导入(Topic-in):
小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全 A。妈妈问:“是 修女教得好?是教材好?是祷告?...”“都不是,”小明说,“进学校的第一天,我 看见一个人被钉死在加号上面,我就知道...他们是玩真的。”

一、学前测试(Testing):
1、求满足下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(2,-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行; 与直线 2x+3y+12=0 平行的直线方程可设为

2x+3y+c=0 把 p(2,-1)代入得 c=-1 所求直线方程为 2x+3y-1=0

(2)经过点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直;
已知直线 x+2y-1=0 斜率=-1/2 那么所求直线斜率=2 所以所求直线为 y-3=2(x+1) 即 2x-y+5=0

(3)经过点 R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等;
设所求直线在两轴上的截距为 a 需分两种情况讨论 (1)a≠0,则 把(-2,3)代入①解得 a=1 (2)a=0,则所求直线为 y=kx----② 故问题的另一个解为 y=-(3/2)x x/a+y/a=1------① 所以此时得到问题的一个解:x+y=1 把(-2,3)代入②解得 k=-3/2

(4) 经过点 N(-1,3)且在 x 轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零.
— 1

三、知识讲解(Teaching):
1.倾斜角:X 轴正向与直线 L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 0 ? ? ? 180
0 0

2. 斜率: k ? tan ?

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

斜率 k 与倾斜角

? 之间的关系:

?a ? 0? ? k ? tan 0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ?a ? 90 ? tan a (不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tan a ? 0 ?
3.两直线平行与垂直的判定: ①两直线平行的判定: (1) ? 1 ∥ ? 2 ? k1=k2 且 b1 ? b2 或两条直线的斜率都不存在。 (2) ? 1 ∥ ? 2 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ? 0且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 ②两直线垂直的判定: (1) ? 1 ⊥ ? 2 ? k1·k2=-1 或一条直线斜率为 0,另一条直线斜率不存在。 (2) ? 1 ? ? 2 ? A 1 A2 ? B 1 B2 ? 0 4.直线的方程: (1)点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括 垂直于 x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括 垂直于 x 轴的直线。

P2 ( x2 , y2 ) 两点, (3) 两点式: 已知直线经过 P 则直线方程为 1 ( x1 , y1 ) 、
它不包括垂直于坐标轴的直线。 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为

y ? y1 x ? x1 , ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ,它不包括 a b

垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 (5)一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 注意:设直线方程的一些常用技巧:(1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线);(3)知 直线过点 ( x0 , y0 ) , 当斜率 k 存在时, 常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 当斜率 k 不存在时, 则其方程为 x ? x0 ; (4) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 .
— 2

提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 5. 点点、点线、线线的距离: (1)点 P 1 ( x1 , y1 ) 到点 P 2 ( x 2 , y 2 ) 的距离 d ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 6.过定点的直线系: 过两条直线 l1 :

C1 ? C2 A2 ? B 2



A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系中。

四、强化练习(Training)(紧扣专题、中考、高考):
1、已知直线 l 过点(1,2),且与 x,y 轴正半轴分别交于点 A、B (1)求△AOB 面积为 4 时 l 的方程; (2)求 l 在两轴上截距之和为 3 ? 2 2 时 l 的方程。

2、 求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的 直线方程.



3

3、直线 l 经过点 P(?4,3) 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,且|AP|:|PB|=3:5,求直线 l 的方程 因为过 P 点,可设直线为 y-3=k(x+4) y=0 时, x=-4-3/k=a x=0 时, y=4k+3=b ap:pb=|(-4+4+3/k)/(0+4)|=5/3 可解出 k=9/20 所以所求方程是 y-3=(9/20)(x+4) 此为直线的点斜式,无需化简。

4、设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? 是。

,且 sin ? ? cos ? ? 0

,则 a , b 满足的关系

5、过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得的 线段恰好被 M 所平分,求此直线的方程。



4

6.求与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行,且在两坐标轴上截距之和为

7 的直线 l 的方程。 3

7、(1)当 a 为何值时,直线 l1

: y ? ? x ? 2a 与直线 l2 : y ? (a ? 2) x ? 2 平行?
2

(2)当 a 为何值时,直线 l1 : y ? (2a ? 1) x ? 3

与直线 l2 : y ? 4 x ? 3 垂直?



5

8.已知直线 l1 : (t ? 2) x ? (1 ? t ) y ? 1 与 l2 : (t ? 1) x ? (2t ? 3) y ? 2 ? 0 值。

互相垂直,求 t



9、已知直线 l

经过点 p (3,1)

且被两平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l2: x ? y ? 6 ? 0 截得

的线段长 为 5,求直线 l 的方程。



6

10、已知直线 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,点 A(?1 , ? 2) , 求:(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A? 的坐标; (2)直线 m : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 关于直线 l 的对称直线 m? 的方程;

(3)直线 l 关于点 ( ?1,?2) 对称的直线 l ? 的方程。

【解】 (1)设 A′(x,y),再由已知



7

y+2 2 ? ?x+1·3=-1 ? x-1 y-2 ? ?2· 2 -3· 2 +1=0
33 ? ?x=-13 解得? 4 ? ?y=13

,

33 4 ,∴A′(- , ). 13 13

? ?2x-3y+1=0 (2)设 m 与 l 的交点为 N,则由? ? ?3x-2y-6=0

,得 N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0.
(3)法一:在 l:2x-3y+1=0 上任取两点,如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在 直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7),再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 法二:∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式得, |-2+6+C| 2 +?-3?
2 2



|-2+6+1|

,解得 C=-9, 22+?-3?2

∴l′的方程为 2x-3y-9=0

11、已知点 M(3,5),在直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q ,使 ?MPQ 的周 长最小。 分别作 M 关于 y 轴和直线的对称点 A(-3,5)B(5,1) 连接 AB 与 y 轴和直线交点即为所求 P Q 其中线段 AB 长度即为 MPQ 的周长,为 4√5

12.已知 ?ABC 中, A (1 ,1 ) , B (m , m ) , C (4 ,2 ) (1 ? m ? 4) , 求 m 为何值时,

?ABC 的的面积 S

最大?

AC 方程 y=1/3(x-1)+1=1/3x+2/3 点 B 到 AC 距离 d=|m-3 根号 m+2|/根号 10 |AC|=根号[(1-4)^2+(1-2)^2]=根号 10 ABC 面积 S=1/2*d*|AC|=1/2|m-3 根号 m+2|=1/2|(根号 m-1)(根号 m-2)|=1/2[-(根号 m-3/2)^2+1/4]<=1/8,此时 m=9/4(1<m<4)
— 8

五、训练辅导(Tutor):
1、若两直线 l1 , l 2 的倾斜角分别为 ? 1 , ? 2 ,则下列四个命题中正确的是( A、 若 ?1 ? ? 2 , 则两直线的斜率:k1 ? k 2 C、 若两直线的斜率:k1 ? k 2 , 则 ?1 ? ? 2 ) B、 若 ?1 ? ? 2 , 则两直线的斜率:k1 ? k 2 D、 若两直线的斜率:k1 ? k 2 , 则 ?1 ? ? 2 ) D.2

2、过两 点 ( ?1,1) 和 (3,9) 的直线在 x 轴上的截距为( A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

2 5

3、若直线 ax ? by ? c ? 0 在第一、二、三象限,则( ) A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0 C. ab ? 0, bc ? 0 D. ab ? 0, bc ? 0

4、已知 M (1,2), N (4,3) 直线 l 过点 P(2,?1) 且与线段 MN 相交,那么直线 l 的斜率 k 的 取值范围是( A. ?? 3,2? B. ? ? )

? 1 1? , ? 3 2? ?

C. ?? ?,?3? ? ?2,???

D. ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? 3 2

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

5、直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1,那么( ) A. k ? ?1 B. k ? 1 C. ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 D. k ? ?1 或 k ? 1

6、 已知直线 ax ? by ? 1 ? 0 在 y 轴上的截距为 ?1, 且它的倾斜角是直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角的 2 倍,则( A. a ? )

3, b ? 1 B. a ? 3, b ? ?1
D. a ? ? 3, b ? ?1

C. a ? ? 3, b ? 1

7、 若直线 l 与两条直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 P、 Q 两点, 线段 PQ 的中点坐标为 (1,?1) , 则 l 的方程是( ) A. 3x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0
2 2

B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0

8、若直线 (2m ? 5m ? 2) x ? (m ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角为

? ,则 m 的值( ) 4
9



A.2 或 3 9、直线 xtan A.-

B.2 或 ?

1 3

C. ? )

1 3

D.3

π 7

π +y=0 的倾斜角是( 7 π B. 7

C.

5π 7
) y

D.

6π 7

10、如图,直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,则( A. k1 ? k 2 ? k3 C. k3 ? k 2 ? k1 B. k3 ? k1 ? k 2 D. k1 ? k 3 ? k 2

l2
l3
O x

11、下列命题正确的有 : ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为 1 的直线的方程为

l1

y ?1 ?1; x ?1

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 12 、若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 ,则 l1与l2 相交时,
2

a_________; l1 // l 2 时,a=__________; l1 ? l 2 时,a=________

.

六、反思总结(Thinking):



10

堂堂清落地训练
1 、 已 知 直 线 l 过 两 直 线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的 交 点 , 且 与 点

A (2 , 3) B(?4 , 5)
两点距离相等,求直线 l 的方程。 直线 3x+4y-5=0,2x-3y+8=0 的交点可通过解方程组得到 3x+4y-5=0 2x-3y+8=0 解得:x=-1,y=2 交点坐标是(-1,2) (1)AB 与直线 L 相交 则 AB 的中点落在直线上,AB 的中点坐标是(-1,4) 通过点(-1,2),(-1,4)两点的直线方程是 x=-1 (2)AB 与直线 L 平行 , 直线 L 的斜率为:(5-3)/(-4-2)=-1/3 过点(-1,2)且斜率为-1/3 的直线方程为:y=(-1/3)x+(5/3) A,B 两点到直线的距离相等,有两种情况

2、两条互相平行的直线分别过点 A (6 , 2) 和 B (?3 ,?1) ,并且各自绕着点 A、B 旋转,如 果两条 平行直线的距离为 d ,求: (1) d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时,两条直线的方程。

(1)求 d 的取值范围;最小是 0(重合时)最大时为|AB| |AB|=3 根号 10 (2)求当 d 取最大值时两直线的方程 此时直线与 AB 垂直 AB 斜率为[2-(-1)]/[6-(-3)]=1/3 则所求 2 直线方程斜率均为-3 设所求 2 直线方程为 y=-3x+c 将 A(6,2)、B(-3,-1)分别代入得两直线的方程为 y=-3x+20 y=-3x-10

3、有定点 P (6 , 4) 及定直线 l : y ? 4 x ,点 Q 是 l 上在第一象限内的点, PQ 交 x 轴的正半
— 11

轴于点 M ,问点 Q 在什么位置时, ?OMQ 的面积最小,并求出最小值。



12


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