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山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编5:数列


山东省各地市 2013 届高三理科数学试题分类汇编 5:数列
一、选择题 1 . ( 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) {an } 为 等 差 数 列 ,

Sn 为 其 前 n 项 和 ,
( )

a7 ? 5,S7 ? 21 , 则 S10 ?
A. 40
【答案】A

B. 35

C. 30

D. 28

设公差为 d ,则由 a7 ? 5,S7 ? 21 得 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a1 ? 5) ,即 21 ? ,解得 a1 ? 1 ,所以 2 2
( )

a7 ? a1 ? 6d ,所以 d ?
A.

10 ? 9 10 ? 9 2 2 d ? 10 ? ? ? 40 ,选 .所以 S10 ? 10a1 ? 2 2 3 3

2 . (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且

bn ?
A.4

an ?1 ,若 b4·b5=2,则 a9= an
B.8 C.16 D.32





【答案】 C 因为 {bn } 为等比数列且 bn ?

an ?1 ,所以数列 {an } 也为等比数列,设公比为 q ,所以由 b4·b5=2 an
C.



a6 ? q 2 ? 2 ,所以 a9 ? a1q 8 ? 24 ? 16 ,选 a4

3 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知函数 f(x)= ?

?2 x ? 1, ( x ? 0) ,把函数 ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)
( )

g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a n ?

n(n ? 1) 2

B. a n ? n ? 1 D. an ? 2 n ? 2
x﹣1

C. an ? n(n ? 1)
【答案】B

若 0<x≤1,则﹣1<x﹣1<0,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 , x﹣2 若 1<x≤2,则 0<x﹣1≤1,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1 x﹣3 若 2<x≤3,则 1<x﹣1≤2,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +2 x﹣4 若 3<x≤4,则 2<x﹣1<3,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +3 x﹣n﹣1 以此类推,若 n<x≤n+1(其中 n∈N),则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +n, x 下面分析函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), x 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. x x 然后①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位即得到函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0.

②取①中函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, x﹣1 即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. x﹣1 ③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, x﹣2 即得到 f(x)=2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的根依次为 3,4,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0.,1,2,3,4, 其通项公式为 an ? n ? 1 ,选 B.

x

4 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 在各项均为正数的等比数列 {an }

中, a3 ? A.4
【答案】C

2 2 ? 1, as ? 2 ? 1, 则 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ?

( D. 8 ? 4 2



B.6

C.8

2 2 【解析】在等比数列中, a3 a7 ? a5 2 , a2 a6 ? a3 a5 ,所以 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ? a3 ? 2a3a5 ? a5 2

? (a3 ? a5 ) 2 ? ( 2 ? 1 ? 2 ? 1) 2 ? (2 2) 2 ? 8 ,选

C.

5 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次( 3 月)模拟考试数学(理)试题) 已知

?an ? 为等差数列 , 若
( )

a3 ? a4 ? a8 ? 9, 则S9 ?
A.24 C.15
【答案】B 在等差数列中,由

B.27 D.54

a3 ? a4 ? a8 ? 9 得 3a1 ? 12d ? 9 , 即 a1 ? 4d ? a5 ? 3 , 所 以
B.
2

S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 9 ? 2 ? 3 ? ? ? 27 ,选 2 2 2

6 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 2, a3 ? a5 ? 4a6 ,则 a3

的值为

( B.1 C.2



1 A. 2
【答案】B

1 D. 4 1 1 .所以 a3 ? a1q 2 ? 2 ? ? 1 ,选 B. 2 2

2 2 【 解析】由 a3 ? a5 ? 4a6 ,得 a4 2 ? 4a6 ,即 a4 ? 2a6 ,所以 q 2 ?

7 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 (二模) 数学 (理) 试题) 已知等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
( )

满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 B. ?13 C. ?12 D. ?11

【答案】D

在等差数列中, S13 ? D.

13(a1 ? a13 ) ? 13 ,所以 a1 ? a13 ? 2 ,即 a1 ? 2 ? a13 ? 2 ?13 ? ?11 , 2
( )



8 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. )如果等差数列 ?an ?中, a5

? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于
C.35 D.40





A.21
【答案】C

B.30

【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 . 所 以

a3 ? a4 ? ... ? a9 =7a6 ? 7 ? 5 ? 35,选

C.

9 . (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) ) 如果等差数列 ?an ? 中, a5

? a6 ? a7 ? 15 ,那么
( )

a3 ? a4 ? ... ? a9 等于
A.21
【答案】C

B.30

C.35

D.40

【 解析】由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 .所以 a3 ? a4 ? ... ? a9 ? 7 a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C.
10. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a1

? 2, a5 ? 3a3 ,
( )

则 S9 ? A. 90
【 答 案 】 C

B. 54

C. ? 54

D. ?72

由 a1 ? 2, a5 ? 3a3 得 a1 ? 4d ? 3(a1 ? 2d ) , 即 d ? ? a1 ? ?2 , 所 以 C.

S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 9 ? 2 ? 9 ? 8 ? ?54 ,选 2

11 .( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 理 )) 在 等 比 数 列 {an}

中, a1 ? an ? 34, a2 · an ?1 ? 64, 且前 n 项和 S n ? 62 ,则项数 n 等于 A.4
【答案】B





B.5

C.6

D.7

【解析】在等比数列中, a2 an ?1 ? a1an ? 64, 又 a1 ? an ? 34, 解得 a1 ? 2, an ? 32 或 a1 ? 32, an ? 2 .当

a1 ? 2, an ? 32 时 , S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? qan 2 ? 32q ? ? ? 62 , 解 得 q ? 2 , 又 an ? a1q n ?1 所 以 1? q 1? q 1? q
1 , 由 2
B.

2 ? 2n ?1 ? 2n ? 32 , 解 得 n ? 5 . 同 理 当 a1 ? 32, an ? 2 时 , 由 S n ? 62 解 得 q ?

1 1 1 1 an ? a1q n ?1 ? 32 ? ( ) n ?1 ? 2 ,得 ( ) n ?1 ? ? ( ) 4 ,即 n ? 1 ? 4, n ? 5 ,综上项数 n 等于 5,选 2 2 16 2
二、填空题 12. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设直线 nx ? (n ? 1) y ?

2(n ? N *) 与两坐

标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2++S2012 的值为
【答案】

2012 2013

【 解 析 】 当 x?0 时 , y?

2 2 . 当 y?0 时 , y? , 所 以 三 角 形 的 面 积 n ?1 n
, 所 以

1 2 2 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ? 2 n n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1
S1 ? S 2 ? ?S
2012

1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 2 3

?

1 1 1 2012 . ? ? 1? ? 2012 2013 2013 2013

13. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构

成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长 度的等比中 项,则 n=___________.
【 答 案 】 16

设 对 应 的 数 列 为 {an } , 公 差 为 d , (d ? 0) . 由 题 意 知

a1 ? 10 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 , a6 2 ? a1an .由 an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 得 3an ?1 ? 114 ,解得 an ?1 ? 38 ,
即 (a1 ? 5d ) 2 ? a1 (an ?1 ? d ) , 即 (10 ? 5d ) ? 10(38 ? d ) , 解得 d ? 2 , 所以 an ?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,
2

即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 .
14. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂

有如下分解式: 2 2 2 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7 3 3 2 =3+5 3 =7+9+11 4 2 =7+9 4 此规律,5 的分解式中的第三个数为 _____ 【答案】125 【解析】由题意可知, 3 ? 25 ? 27 ? 29 , 5 ? 121 ? 123 ? 125 ? 127 ? 129 ,所以 5 的分解式中的第三
4 4
4

个数为 125 .
15. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,

并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.

【答案】

n(n ? 1) 2

【解析】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 , 所以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 , 式两边同时累加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ?

an ? an ?1 ? n ,等

? n ,即 an ? 1 ? 2 ?

?n?

n(n ? 1) ,所以第 n 个图形中小正方 2

形的个数是

n(n ? 1) . 2

16. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)对正整数 n,设曲线 y

? x n (1 ? x) 在 x=2

处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则 {
【答案】 2
n ?1

an } 的前 n 项和是_____________. n ?1

?2
n n n ?1

【 解 析 】 曲 线 y ? x (1 ? x) ? x ? x

, 曲 线 导 数 为 y ' ? nx

n ?1

? (n ? 1) x n , 所 以 切 线 效 率 为

k ? n 2n ?1 ? (n ? 1)2n ? ?(n ? 2)2n ?1 ,切点为 (2, ?2n ) ,所以切线方程为 y ? 2n ? ?(n ? 2)2n ?1 ( x ? 2) ,
令 x ? 0 得 , y ? 2 ? (n ? 2)2 , 即 y ? (n ? 1)2 , 所以 an ? (n ? 1)2n , 所以
n n n

an ? 2n , 是以 2 为首 n ?1

2(1 ? 2n ) 项, q ? 2 为公比的等比数列,所以 S n ? ? 2n ?1 ? 2 . 1? 2
17 . (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题) 等比数列 {an } , q ? 2 ,前 n 项和为

S n,则

S4 ? ____________. a2
15 2
4

【答案】

S 15a1 15 【 解析】在等比数列中, S ? a1 (1 ? 2 ) ? 15a ,所以 4 ? ? . 4 1

1? 2

a2

2a1

2

18. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)根据下面一组等式

S1 ? 1 S2 ? 2 ? 3 ? 5 S3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15 S 4 ? 7 ? 8+9+10=34 S5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65 S6 ? 16 ? 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 111 S7 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? 28 ? 175
可得 S1 ? S3 ? S5 ?
【答案】 n
4

? S 2 n ?1 ? ______________________.



解 析 】 S1 ? 1 ; S1 ? S3 ? 1 ? 15 ? 16 ; S1 ? S3 ? S5 ? 1 ? 15 ? 65 ? 81 , 由 归 纳 推 理 可 知

S1 ? S3 ? S5 ?

? S 2 n ?1 ? n 4 .

19. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)对大于 l 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以

?13 ?7 ? 3 3? 3 ?15 3? 3 3 9 4 下方式的“分裂”:2 ? , ? , ? ,, 仿此 , 若 m 的“分裂数”中有一个是 59, 则 m 的值为 ?5 ?11 ?17 ? ? ?19
______________. 【答案】8 3 3 3 3 即 1 =1,2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,m 增加 1,累加的奇数个数便多 1,我们不难计算 59 是第 30 个奇数,若它是 m 的分解,则 1 至 m-1 的分解中,累加的奇数一定不能超过 30 个,故可列出不等式,进行 求解,由 1 ? 2 ?

? (m ? 1) ? 30 且 1 ? 2 ?

? (m ? 1) ? m ? 30 ,解得 m ? 8 .

20. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)如图,一个类似杨辉三角的数阵,

请写出第 n ? n ? 2? 行的第 2 个数为______.

【答案】 n ? 2n ? 3
2

每行的第二个数构成一个数列 {an } ,由题意知 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 11, a5 ? 18 ,

所以 a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 5, a5 ? a4 ? 7,

an ? an?1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ? 3 ,等式两边同时相加得
an ? a2 ? [2n ? 3 ? 3] ? ( n ? 2) ? n 2 ? 2n , 2
2 2

所以 an ? n ? 2n ? a2 ? n ? 2n ? 3, ? n ? 2? .
三、解答题 21 . ( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 等 差 数 列

{an }

中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ?1 , b n } 的前 n 项和 S n . 2

的公差为d首项a1 ,由题意得 【答案】解:(Ⅰ)设数列 ?an ?

且?

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9 ?a1 ? 1 ?d ? 2

解得 ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为an ? 2n ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3 所以

an ?1 ? 3n 2

an ?1 .bn ? n.3n 2

所以 S n ? 1.3 1 ? 2.32 ? 3.33 ? n.3n ?1
n n ?1 两式相减得 2 S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ? 3 ) ? n.3 10 分

3

4

?( 3 1 ? 3n) 3? (2n ? 1 ) .n.3n ?1 ? n.3n ?1 ? 1? 3 2 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4 ?
22. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n
?

?

3 ? (?1) n ,数列 2
n . ? bm

?a n ?满足 an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ;又知数列 ?bn ?中, b1 ? 2 ,且对任意正整数 m, n , bnm
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)将数列 ?bn ? 中的第 .a1 项,第 .a2 项,第 .a3 项,,第 .an 项,删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新 数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.
【答案】解:? d n

?

3 ? (?1) n 3 ? 2n ,? an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ? ? 3n 2 2
bn ? b1n ? 2n

又由题知:令 m ? 1 ,则 b2 ? b12 ? 22 , b3 ? b13 ? 23

m n m n 若 bn ? 2n ,则 bn 恒成立 ? 2nm , bm ? 2mn ,所以 bn ? bm m n 若 bn ? 2n ,当 m ? 1 , bn 不成立,所以 bn ? 2n ? bm

(Ⅱ)由题知将数列 ?bn ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇数列与偶数列仍 成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8,

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ? ??? ? c2012 )

?

2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? 1? 8 1? 8 7

23. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)(本小题满分】2 分)

某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产 线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护 费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费 用比上年增加 25% (I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产线前 n 年每年 的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?
【答案】

24 . ( 2013 年 临 沂 市 高 三 教 学 质 量 检 测 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 {

an } 的 前 n 项 和 S n 满 足

1 S n ? an ? ( )n ?1 ? 2( n ? N * ) ,设 cn ? 2n an . 2
(I)求证:数列{ cn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (II)按以下规律构造数列{ bn },具体方法如下: b1 ? c1 ,b2 ? c2 ? c3 ,b3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c7 ,第 n 项 bn 由 相应的{ cn }中 2 项的和组成,求数列{ bn }的通项 bn .
n-1

【答案】

25. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)

已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前 5 项和为 S5 ? 35, a1 ? 1, a3 ? 1, a2 ? 1 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 ?

?1 ? ? n n ? ? ? 的前 n 项和,问是否存在常数 m,使 Tn ? n ? ? ,若存在,求 m 的值; ? n ? 1 2(n ? 2) ? ? Sn ?

若不存在,说明理由.
【答案】

26 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 等 .比 .数 .列 .

?cn ? 满 足

cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? log2 cn .
(I)求 an , S n ; (II)数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得

T1 , Tm , Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m, k 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2

cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1
所以 an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 3 5 ?

1 ?? n ? 1 ?? ? ?? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1

假设存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列,则

k ? m ? 1 , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2 k ? 1
可得

2

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? ? 0, k m2

所以 ?2m ? 4m ? 1 ? 0
2

从而有, 1 ?

6 6 , ? m ? 1? 2 2

由 m ? N ? , m ? 1 ,得 m ? 2 此时 k ? 12 . 当且仅当 m ? 2 , k ? 12 时, T1 , Tm , Tk 成等比数列
27. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,

且满足:a2·a4=65,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 bn ?

n ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2++bn<m 对于任意的正整数 n 均成立,若存 (2n ? 1) S n

在,求出常数 m;若不存在,请说明理由.
【答案】

28 . ( 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列

?an ? , a1 ? ?5 , a2 ? ?2 , 记

A(n) ? a1 ? a2 ?

? an , B(n) ? a2 ? a3

?
列.

? an ?1 , C (n) ? a3 ? a4 ?

+an ? 2 ( n ? N * ),若对于任意 n ? N * , A(n) , B(n) , C (n) 成等差数

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和.
【答案】解:(Ⅰ)根据题意 A( n) , B ( n) , C ( n) 成等差数列

∴ A(n)+C (n) ? 2 B (n) 整理得 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3 ∴数列 ?an ? 是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列 ∴ an ? ?5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 8 (Ⅱ) | an |? ?

??3n ? 8, n ? 2 ?3n ? 8, n ? 3

记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 S n .

n(5 ? 8 ? 3n) 3n 2 13 当 n ? 2 时, S n ? ?? ? n 2 2 2
当 n ? 3 时, S n ? 7 ?

(n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 13 ? ? n ? 14 2 2 2

? 3 2 13 ? n ? n n?2 ? ? 2 2 综上, S n ? ? ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3 ? ?2 2
29 .( 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 3 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 数 列

?an ?

的前 n 项和为

S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 Sn ? 1 (n ? N * ) ,等差数列 ?bn ? 满足 b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ? 2 1 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . 3 a n?2

【答案】解:(1)由 an ?1

? 2 Sn ? 1 ----①

得 an ? 2 S n ?1 ? 1 ----②,

① ? ②得 an ?1 ? an ? 2( S n ? S n ?1 ) ,? an ?1 ? 3an

? an ? 3n ?1 ;

? b5 ? b3 ? 2d ? 6,? d ? 3 ? bn ? 3n ? 6
(2)因为 an ? 2 ? 3n ?1 , bn ? 2 ? 3n

3n n ? n n ?1 3 3 1 ? 2n 所以 c n ?1 ? c n ? n ?1 ? 0 3 1 cn ?1 ? cn ? ??? ? c1 ? 3 1 所以 cn ?1 ? cn ? 3
所以

cn ?

30. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知数列 {an } 的前 n 项和为

S n , 且an ?1 ? S n ? n ? 3 , n ? N + , a1 ? 2 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

4 n n ? N + ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn < . ? 3 Sn ? n ? 2

【答案】解:(Ⅰ)

an ?1 ? S n ? n ? 3, n ? 2时,an ? S n ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ,

? a n ?1 ? a n ? a n ? 1, 即a n ?1 ? 2a n ? 1, ? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), (n ? 2, n ? N*),
? an ? 1 ? (a2 ? 1)2n ? 2 ? 3 ? 2n ? 2

?2, n ? 1 an ? ? n?2 ?3 ? 2 ? 1, n ? 2
(Ⅱ)

S n ? an ?1 ? n ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? n ? 2 ,

? bn ?

n 3 ? 2 n ?1

1? 2 3 n ? ? Tn ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 3? 2 2 2 ? 1 1?1 2 3 n ? Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 3? 2 2 2 2 ?

相减得, Tn ?

1 2

1? 1 1 1 n ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? , 3? 2 2 2 2 ?
4 ? 2 n ?? ? n ﹤ 3 ? 3 2

? Tn ?

4? 1 ?1 ? n 3? 2

?结论成立.
31. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 已知数列

?an ? 满足 a

1

* ? 3, an ?1 ? an ? p ? 3n ( n ? N , p

为常数), a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列. (Ⅰ)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

n2 4 ,证明: bn ≤ . an 9
n

【答案】解:(Ⅰ)由 a1 ? 3, an ?1 ? an ? p ? 3 ,

得 a2 ? 3 ? 3 p, a3 ? a 2 ? 9 p ? 3 ? 12 p. ∵ a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列, ∴ a1 ? a3 ? 2(a2 ? 6), 即 3 ? 3 ? 12 p ? 2(3 ? 3 p ? 6), 得 p ? 2. 依题意知, an ?1 ? an ? 2 ? 3n , 当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31 ,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 , an ? an ?1 ? 2 ? 3n ?1.
相加得 an ? a1 ? 2(31 ? 32 ? … ? 3n ?1 ), ∴ an ? a1 ? 2 ?

3 ? (1 ? 3n ?1 ) ? 3n ? 3, 1? 3

∴ an ? 3n (n≥2). 又 a1 ? 3 适合上式, 故 an ? 3n.

(Ⅱ)证明:∵ an ? 3n , ∴ bn ?

n2 . 3n

∵ bn ?1 ? bn ?

(n ? 1) 2 n 2 ?2n 2 ? 2n ? 1 ? n ? (n ? N* ). n ?1 n ?1 3 3 3
1? 3 , 2

若 ?2n 2 ? 2n ? 1<0, 则 n> 即当 n≥2 时,有 bn ?1<bn . 又因为 b1 ? 故 bn ≤ .

1 4 , b2 ? , 3 9

4 9

n2 4 (Ⅱ)法二:要证 bn ? n ≤ , 3 9
只要证 4 ? 3n≥9n 2 . 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n ? 2 时,左边=36,右边=36,不等式成立. ②假设当 n ? k (k ? N 且k≥2) 时, 4 ? 3k ≥9k 2 成立.
*

则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3 =3×4×3 ≥3×9k , 2 2 要证 3×9k ≥9(k+1) , 2 2 只要正 3k ≥(k+1) , 2 即证 2k -2k-1≥0.
k+1 k
2

而当 k ﹥

1? 3 , 即 k ? N* 且 k≥2 时,上述不等式成立. 2

由①②可知,对任意 n ? N* ,所证不等式成立.
32. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知等差数列 {an } 的首项 a1

? 1 ,公差

d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? n(an ? 3)

? bn , 是否存在最大的整数 t, 使得对任意的 n 均有

Sn ?

t 总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由, 36

【答案】

33 . (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题) 设等比数列

?an ? 的前

n 项和为

Sn, a4 ? a1 ? 9, a5, a3, a4成等差数列.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N ? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列.
【答案】

34 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和

1 S n ? ?an ? ( )n ?1 ? 2( n ? N * ) ,数列{ bn }满足 bn = 2n an . 2
(I)求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? log 2

25 n 2 ( n ? N * ) 的 n 的最大值. ,数列{ }的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn ? 21 an cn cn ? 2

【答案】解:(Ⅰ)在 S n ? ? a n ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?




n?2



,

1 S n ?1 ? ?a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 2

a n ? S n ? S n ?1

1 . 2 1 ? ?a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 2

,

∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , 即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 .∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 , 即 当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 . 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.

1 2

于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (Ⅱ)∵ cn ? log2 ∴
n ? log2 2n ? n , an

n 2n

2 2 1 1 = = , cn cn+2 n(n+ 2) n n+ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) =1 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2

由 Tn ?
f ( n) ?

25 1 1 1 25 1 1 13 ,得 1 ? ? ,即 , ? ? ? ? 21 2 n ? 1 n ? 2 21 n ? 1 n ? 2 42 1 1 9 13 单调递减,∵ f (4) ? , f (5) ? , ? n ?1 n ? 2 20 42

∴ n 的最大值为 4
35. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )设数列 ?an ?为等差数列,且 a3

? 5, a5 ? 9 ;数列

?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 .
(I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn . bn

【答案】

36. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)在等差数列

?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比
S2 . b2

数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12, q ?

(I)求 an 与 bn ;

(II)设 Tn ? an b1 ? an ?1b2 ? ??? ? a1bn , n ? N ? ,求 Tn 的值.

【答案】

37. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知数列

?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵,

数 阵 中 每 一 行 的 第 一 个 数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构 成 等 差 数 列 ?bn ? , S n 是 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 且

b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等, 已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; (Ⅱ)设 Tn ?

8 1 1 1 ,当 m ? ? ?1,1? 时,对任意 n ? N ? ,不等式 t 2 ? 2mt ? ? Tn 恒成立, ? ? ??? ? 3 S n ?1 S n ? 2 S2 n

求 t 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ) {bn } 为等差数列,设公差为 d , b1 ? 1, S5 ? 15,? S5 ? 5 ? 10d ? 15, d ? 1 ? bn ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q ,且 q ? 0 , a9 ? b4 q 2 , 4q 2 ? 16, q ? 2, 1+2+3++9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 而 a50 ? b10 q 4 ? 10 ? 24 ? 160. (Ⅱ) Sn ? 1 ? 2 ? ? n ?
?Tn ? ? 1 1 1 ? ? ? Sn ?1 Sn ? 2 S2 n
n( n ? 1) , 2

2 2 2 ? ?? ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 2n(2n ? 1)

? 2(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ) n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2n 2n ? 1 1 1 2n ? 2( ? )? . n ? 1 2n ? 1 ( n ? 1)(2n ? 1)

令 f ( x) =

2x (x ( x + 1)(2 x + 1)

( x) = 1) , f ?

2 - 4 x2 , ( x + 1) 2 (2 x + 1) 2

( x ) < 0, f ( x ) 在[1, + 当 x ? 1时 f ?
\ Tn 为递减数列, Tn 的最大值为 T1 =

) 上为减函数,
1 3

\ 不等式变为 t 2 - 2mt - 3 > 0 恒成立,设 g (m) = - 2tm + t 2 - 3, m ? [ 1,1],
ì ? 2t + t 2 - 3 > 0 g (- 1) > 0 ì ? 镲 则眄 ,解得 t > 3或t < - 3 ,即 2 镲 ? ? g (1) > 0 ? ? - 2t + t - 3 > 0
38. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)某产品在不做广告宣传且每千克获

利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n ( n ? N* )千元时比广告费为( n ? 1 )千元时

多卖出

b 千克. 2n

(Ⅰ)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ; (Ⅱ)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (Ⅲ)当 a ? 50, b ? 200 时,要使厂家获利最大,销售量 s 和广告费 n 分别应为多少?
【答案】

39. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)(本题满分 12 发)

设函数 f ( x) ? ax ? b ,(其中 a≠0)若 f(3)=5,且 f (1), f (2), f (5) 成等比数列. (1)求 f (n) ; (2)令 bn ? f (n)g2n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn
【答案】

40. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)已知数列 {an } 中, a1 ? 1,{an } 的前 n 项和 S n

满足 2 S n ? an ?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若存在 n ? N * ,使得 ? ?
【答案】

n(n ? 1) ,求实数 ? 的最大值. an

41 . ( 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 等 差 数 列

?an ? 的 前 n 项 和 为

S n , a3 ? 5, S6 ? 36 ,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

? a1 ? 2d ? 5 ? a3 ? 5 ? 【答案】解: (1)设 {an } 的公差为 d, ? ? ;则 ? 6?5 6a1 ? d ? 36 ? S6 ? 35 ? ? 2
即?

?a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? , ?d ? 2 ? a1 ? 5d ? 6

? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, (n ? N * )
(2) bn ? 2
an

? 22 n ?1 ? 22 n ?1

?Tn ? 21 ? 23 ? 25 ?

?

2(1 ? 4n ) 2(4n ? 1) ? 1? 4 3
n ?1

42. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 (理) ) 数列{an}的前 n 项和为 S n , S n ? 2

? (n ? 1) ,

等差数列 {bn } 的各项为正实数,其前 n 项和为 Tn ,且T3 ? 9, 又a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列. (I)求数列{an}、 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an .bn ,当 n≥2 时,求数列 {cn } 的前 n 项和 An.
【答案】


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