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2009年江苏(课改区)期末数学分类试题《常用逻辑用语》《二次曲线》部分


《常用逻辑用语》《二次曲线》 、

一、填空题
1. 【江苏·无锡】11.过抛物线 y 2 交准线于点 C.若 C B
uur uuu r ? 2 BF

? 2 px ( p ? 0)

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点, ▲?
3

,则直线 AB 的

斜率为



2. 【江苏·扬州】6.已知抛物线 y ? 2 px 的准线与双曲线 x ? y ? 2 的左准线重合,则
2 2 2

抛物线的焦点坐标为

? 1, 0 ?

.

3. 【江苏· 扬州】 已知 F1 、F2 是椭圆 11. 的周长为 8 ,则椭圆的离心率为
1 2

x

2

k ?2

+

y

2

k ?1

=1 的左右焦点, A B 过 F1, ? A B F 2 弦 若



4. 【江苏·淮、徐、宿、连】10.如图,已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A,B 为左、右 焦点,且过 C,D 两顶点.若 AB=4,BC=3,则此双 y 曲线的标准方程为
x ?
2

y

2

?1

. D A O C B x

3

5. 【江苏·南通】8. 以椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )



左焦点 F ( ? c , 0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点,则该椭圆的离 心率的取值范围是 ▲(
2 2 ,1)



0 6. 【江苏·启东中学模拟】10.若点 P 到直线 x ? ? 1 的距离比它到点 ( 2,) 的距离小 1,则

点 P 的轨迹方程为

y ? 4x
2

7. 【江苏· 启东中学模拟】 双曲线 m x ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, m ? 11. 则
2 2

?

1 4

8. 【江苏·启东中学】6.若椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,线

段 F1 F 2 被 抛 物 线 y ? 2 bx 的 焦 点 F 分 成 5 ﹕ 3 的 两 段 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为
2



2 5

5



9. 【江苏· 苏北四市】 9.椭圆

x a

2

?
2

y b
2

2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )的离心率 e ?
2

1 2

, 右焦点 F (c,0) ,
2

方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在与圆 x ? y ? 2 的位置关系
2



▲点 P(x1,x2)在圆 x ? y ? 2 内
2

.

10.6. 【江苏·苏州】椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的一条准线方程为 y ? m

,则 m ? ___5_____.

4

m

11. 【江苏· 泰州实验】6.若直线 a x ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

-1



12. 【江苏· 泰州】8、设 F1, F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在

其 右 准 线 上 存 在 P , 使 线 段 P F1 的 中 垂 线 过 点 F2 , 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是
? 3 ? ,? 1 ? ? ? 3 ?

13. 【江苏·盐城】10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线 xy ? k ( k ? 0 )上任 意一点 P ,若点 P 在 x 轴、 y 轴上的射影分别为 M 、 N ,则 PM ? PN 必为定值 k ”.类 比于此,对于双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上任意一点 P ,类似的命题为:____▲ a b
2 2 2 2

若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M 、 N ,则 P M ? P N 必为定值

a ?b

_

__.

14. 【江苏·盐城】12.设 A , F 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左顶点与右焦点,若在其

右准线上存在点 P ,使得线段 P A 的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范 围是____▲ ? ,1 ? ____.
?2 ? ?1 ?

15. 【江苏·无锡】5.下列四个命题: ① ? n ? R , n 2≥ n ; ② ?n ? R, n2 ? n ; ③ ? n ? R , ? m ? R , m 2 ? n ;④ ? n ? R , ? m ? R , m ? n ? m . 其中真命题的序号是 ▲④ . 说明:请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号.如果题中的集合 R 改成 Z,真命 题的序号是①④,如果 R 改成复数集 C 呢? 16. 【江苏·淮、徐、宿、连】3.若命题“ ? x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范 ( ?? , ? 2 ) ∪ ( 2 , ? ? ) 围是 . 17. 【江苏·苏州】直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+6=0 平行的充要条件是__ a=-2___. 18 . 江 苏 · 盐 城 】 11. 现 有 下 列 命 题 :① 命 题 “ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 【
2

“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”;② 若 A ? ? x | x ? 0 ? , B ? ? x | x ? ? 1? ,则 A ? ( ?R B ) = A ;③
2

函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? )(? ? 0 ) 是偶函数的充要条件是 ? ? k ? ?

( k ? Z ) ;④若非零 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? | 向 量 a , b 满 足 | a |? | b ? | a ? b ,|则 b与 ( a ? b ) 的 夹 角 为 60?其 中 正 确 命 题 的 序 号 有 .

?

____▲②③____.(写出所有你认为真命题的序号)

二、计算题
1. 【江苏·无锡】18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 x 2
? y b
2 2

? 1(0 ? b ? 1)

的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过

F、B、 C 作⊙P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0)(0,b)(1,0) , , ,则 FC、BC 的中垂 线分别为
x? 1? c 2

,y

?

b 2

?

1 b

(x ?

1 2

) .………………………………………2 分

1? c ? ?x ? 2 , ? 联立方程组,解出 ? 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?
m ?n ? 1? c 2 ? b ?c
2

…………………………………………分

? 0

,即 b ? bc ? b 2 ? c ? 0 ,即(1+b) (b-c)>0,

2b

∴ b>c. …………………………………………………………………6 分 从而 b 2 ? c 2 即有 a 2 ? 2 c 2 ,∴ e 2 又e
?0
? 1 2

.…………………………………7 分

,∴ 0 ?

e?

2 2

. ……………………………………………8 分

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.……………………………………………9 分
b? b ?c
2

由 k AB

?b

, k PB

? 0?

2b 1? c 2



b ?c
2

b ( c ? 1)

. ………………………………10 分

如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b ·

b ?c
2

b ( c ? 1)

=-1. ……………………12 分

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,……………………………………14 分 所以直线 AB 与⊙P 不能相切. …………………………………………15 分 2. 【江苏·淮、徐、宿、连】18.(本小题满分 16 分) 设椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 且与 AF 垂直的光线经

椭圆的右准线反射,反射光线与直线 AF 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)设入射光线与右准线的交点为 B,过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 3x 一 y+3=0 相切, 求椭圆的方程. 【解】⑴因为入射光线与反射光线垂直,所以入射光线与准线所成的角为 45 ? ,……2 分 即 ? FAO ? 45 ? ,所以 b
? c

,所以椭圆的离心率为

2 2

. ………………………………6 分

⑵由⑴知 b ? c , a ? 2 c ,可得 A ? 0, c ? , B ? 2 c , ? c ? ,又 AF ? AB ,所以过 A , B , F 三点的圆的圆 心坐标为 ?
?c ?2 c? ? 2?

,?

,半径 r

?

1 2

FB ?

10 2

c



……………………………………………8 分

因为过 A , B , F 三点的圆恰好与直线 3 x ? y ? 3 ? 0 相切,…………………………10 分
3 c? 1 2 10 c?3 ?

所 以 圆 心 到 直 线 3x ? y ? 3 ? 0 的 距 离 等 于 半 径 r , 即
c ? 1 , …………14 分

2

10 2

c

,得

所以 b ? 1, a ?

2

,所以椭圆的方程为

x

2

? y ?1.
2

…………………………………16 分

2

3. 4. 【江苏·南通】18. (本小题 15 分) 抛物线 y 2
? 4x

的焦点为 F, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
??? ? ? ? BF ?

( x1 ? x 2 , y1 ? 0, y 2 ? 0)

在抛物线上,且存

在实数 λ,使 A F

????

0, |

??? ? 25 A B |? 4



(1)求直线 AB 的方程; (2)求△AOB 的外接圆的方程.

解: (1)抛物线 y 2 ∵ AF
???? ??? ? ? ? BF ? 0

? 4x

的准线方程为 x ? ? 1 .
??? ?
? x2 ? 2

,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| A B |= x1
? y1 ? y 2 x1 ? x 2
2

. …1 分

设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ,而 k
? y ? k ( x ? 1), ? y ? 4 x,
2

, x1 ? x 2 , y1 ? 0, y 2 ? 0, ? k ? 0 .

由?

得 k 2 x2

? 2( k ? 2) x ? k
2

?0

. …………………………3 分

2 ? 2(k ? 2) ? , ??? ? x1 ? x 2 ? 2 ∴? | AB k ? x ? x ? 1, ? 1 2

|= x1

? x2 ? 2

=

2(k ? 2)
2

k

2

?2?

25 4

.∴ k 2

?

16 9

.…6 分

从而 k ?

4 3

,故直线 AB 的方程为 y

?

4 3

( x ? 1)

,即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .…………8 分

(2)由 ?

? 4 x ? 3 y ? 4 ? 0, ? y ? 4 x,
2

求得 A(4,4) ,B(

1 4

,-1) .………………………10 分

设△AOB 的外接圆方程为 x 2

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

,则

29 ? ? ?D ? ? 4 , ? F ? 0, ? ? 解得 ? E ? ? 3 , ?1 6 ? 1 6 ? 4 D ? 4 E ? F ? 0, ? 4 ? 1 ? 1 ? ? F ? 0. ? 1 ? D ? (? E ) ? F ? 0. 4 ?16 ? ?

………………………………14 分

故△AOB 的外接圆的方程为 x 2

? y ?
2

29 4

x?

3 4

y ? 0

.…………………15 分

2 5. 【江苏·启东中学模拟】17. (本小题满分 14 分)已知双曲线 C : x ? y 2 ? 1 , P 为 C 上

4

的任意点。 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为 ( 3, 0 ) ,求 | P A | 的最小值; 【解】 (1)设 P ( x1 , y 1 ) 是双曲线上任意一点, 该双曲的两条渐近线方程分别是 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 .
| x1 ? 2 y 1 | 5 | x1 ? 2 y 1 | 5

点 P ( x1 , y 1 ) 到两条渐近线的距离分别是





它们的乘积是

| x1 ? 2 y 1 | 5

?

| x1 ? 2 y 1 | 5

?

| x1 ? 4 y 1 |
2 2

?

4 5

.

5

点 P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. (2)设的坐标为 ( x , y ) ,则
| P A | ? ( x ? 3) ? y
2 2 2

x ? (x ? 3 ) ? 4
2

2

?1 ?

5 4

(x ?

1 22 4 ) ? 5 5

? | x |? 2 , ? 当x ?

12 5

时, | P A | 的最小值为
2 5 5

2

4 5



即 | P A | 的最小值为

.

6. 【江苏·启东中学】18. (本题满分 15 分,第 1 问 5 分,第 2 问 5 分,第 3 问 5 分) 已知直线 l 的方程为 x ? ? 2 , 且直线 l 与 x 轴交于点 M, O : x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A , B 圆 两点. (1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P 、 Q 两点,且圆孤 P Q 恰为圆周的 ,求直线 l1 的方程; 4 y l Q (2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; l1 P (3)过 M 点作直线 l 2 与圆相切于点 N,设(2)中椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,求三角形 M A x B O
? NF 1 F 2 面积.
1

【解】 (1)? P Q 为圆周的 ,? ? P O Q ?
4

1

?
2

. ? O 点到直线 l1 的距离为
,? k
2

2 2

. -------2 分

设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2 ),?
7 7
2 2

| 2k | k ?1
2

?

2 2

?

1 7

.

? l1 的方程为 y ? ?

( x ? 2 ). ----------------------------------------------------------------5 分

(2)设椭圆方程为

x a

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,半焦距为 c,则

a

2

? 2.

c

? 椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a ? 1 或 b ? 1. ------------------------------6 分

当 a ? 1 时, c ?

1 2

,b ? a ? c ?
2 2 2

3 4

,? 所求椭圆方程为 x ?
2

4y 3

2

? 1 ;-------------8 分

当 b ? 1 时, b 2 ? c 2 ? 2 c ,? c ? 1,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2.

所求椭圆方程为

x

2

? y ? 1 . -------------------------------------------------------------10 分
2

2

(3)设切点为 N,则由题意得,在 R t ? M O N 中, M O ? 2, O N ? 1 ,则 ? N M O ? 3 0 ? , l2 y 1 3 l ) ,------------------- 11 分 N 点的坐标为 ( ? , Q l1 N 2 2 P 若椭圆为
x
2

2

? y ? 1 . 其焦点 F1,F2
2

M A
3 2 3 2

O

B

x

分别为点 A,B 故 S ? NF 若椭圆为 x 2 ?
4y 3
2

1 F2

?

1 2

?2?

?

,-----------------------------------13 分
1 2

? 1 ,其焦点为 F1 ( ?

1 2

, 0 ), F 2 (

,0 ) ,

此时 S ? NF

1 F2

?

1 2

?1?

3 2

?

3 4

-------------------------------------------15 分

7. 【江苏·苏北四市】18.(本题满分 16 分)有如下结论:“圆 x ? y ? r 上一点 P ( x 0 , y 0 )
2 2 2

处 的切线方程为 x 0 y ? y 0 y ? r 2 ”,类比也有结论:“椭圆
x a x
2 2 2 2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程为

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1 ”,过椭圆 C:

? y

2

? 1 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线,切点为 A、B.

4

(1)求证:直线 AB 恒过一定点; (2)当点 M 在的纵坐标为 1 时,求△ ABM 的面积 【解】 (1)设 M (
4 3 3 , t )( t ? R ), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 MA 的方程为 x 1 ? ty 1 ? 1 x1 x 4 ? y1 y ? 1

∵点 M 在 MA 上∴ 同理可得
3 3

3 3

①……………………3 分

x 2 ? ty 2 ? 1 ②…………………………5 分
3 3 x ? ty ? 1, 即 x ? 3 (1 ? ty ) …………6 分

由①②知 AB 的方程为

易知右焦点 F( 3 , 0 )满足③式,故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F( 3 , 0 )……8 分 (2)把 AB 的方程 x ? ∴ | AB | ?
1? 3 ?

3 (1 ? y ) 代入
? 16 7

x

2

? y

2

? 1, 化简得 7 y ? 6 y ? 1 ? 0

4
36 ? 28 7

……………………12 分

|

4 3 3 1? 3

| ?

又 M 到 AB 的距离 d ?

2 3 3

∴△ABM 的面积 S ?

1 2

? | AB | ? d ?

16 21

3

……………………15 分

8.19. 【江苏·苏州】 (本小题满分 16 分) 已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 5 ( m ? 3) 与椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

有一

个公共点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F (Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 A P ? A Q 的取值范围. 【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m ) 2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1. …… 2 分 圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 . 设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4 ) ? 4 , 即 kx ? y ? 4 k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,
Q A y P
??? ???? ?

F1

O

C

F2

x



| k ? 0 ? 4k ? 4 | k
2

?

5



?1

解得 k 当 k= 当 k=

?

11 2

,或k ?

1 2



…………………… 4 分
36 11

11 2
1 2

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为

,不合题意,舍去.

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, …………………… 6 分
?3 2

∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F . 2a=AF1+AF2= 5 椭圆 E 的方程为:
??? ?
2 ? 2 ?6 2

,a

,a2=18,b2=2. …………………… 8 分 , …………………… 10 分

x

2

?

y

2

? 1.
??? ?

18

2

(Ⅱ) A P ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,3 ? , Q x y )1
??? ???? ? A P ? A Q ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6





x

2

?

y

2

? 1 ,即 x ? (3 y ) ? 18
2 2

, …………………… 12 分

18

2

而 x 2 ? (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18.

则 ( x ? 3 y ) 2 ? x 2 ? (3 y ) 2 ? 6 xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36]. ……… 14 分

x ? 3y

的取值范围是[-6,6]. …………………… 16 分

∴ A P ? A Q ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

??? ???? ?

9. 【江苏· 泰州实验】17. (本题满分 15 分)已知动点 C ( x , y ) 到点 A ( ? 1, 0 ) 的距离是它到点
B (1, 0 ) 的距离的

2 倍.

(Ⅰ) 试求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ) 试用你探究到的结果求 ? A B C 面积的最大值. 【解】 (1) CA ?
? ( x ? 3) ? y
2 2

2 CB ,

( x ? 1) ? y
2

2

?

2

( x ? 1) ? y
2

2

? 8 ………………….8 分

(2) y

max

? 2 2 ………………….10 分
1 2 ? AB ? 2 2 ? 2 2 ………………….15 分

? ( S ? ABC ) max ?

10. 【江苏·盐城】18. (本小题满分 15 分) 已知 ? C 过点 P (1,1) ,且与 ? M : ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? r ( r ? 0 ) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称. (Ⅰ)求 ? C 的方程;
2 2 2

(Ⅱ)设 Q 为 ? C 上的一个动点,求 P Q ? M Q 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与 ? C 相交于 A , B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? 2 ?a ? 0 ? 2 【解】 (Ⅰ)设圆心 C ( a , b ) ,则 ? ,解得 ? ……………(3 分) b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ?

???? ???? ?

则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为
2 2 2

2

x ? y ? 2 ……(5 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)设 Q ( x , y ) ,则 x ? y ? 2 ,且 P Q ? M Q ? ( x ? 1, y ? 1) ? ( x ? 2, y ? 2 ) …………(7 分) = x ? y ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2 ,所以 P Q ? M Q 的最小值为 ? 4 (可由线性规划或三角代换 求得)…(10 分) ( Ⅲ ) 由 题 意 知 , 直 线 PA 和 直 线 PB 的 斜 率 存 在 , 且 互 为 相 反 数 , 故 可 设 P A : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,
2 2

???? ???? ?

???? ???? ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) P B : y ? 1 ? ? k ( x ? 1) ,由 ? ,得 2 2 ? x ? y ? 2

(1 ? k ) x ? 2 k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 …(11 分)
2 2 2

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 同 理 ,
xB ? k ? 2k ? 1
2

k ? 2k ? 1
2

1? k

2

……………(13 分) 所 以

1? k

2

,

k AB ?

yB ? yA xB ? x A

?

? k ( x B ? 1) ? k ( x A ? 1) xB ? x A

?

2k ? k ( xB ? xA ) xB ? x A

? 1 = kOP

所以,直线 AB 和 OP 一定平行………………………………………………(15 分)


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