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【全程复习方略】山东专用2014版高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第五章 第一节 数列的概念与 简单表示法课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.已知数列

1 1 1 1 下面各数中是此数列中的项的是( , , , ?, , ?, 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?
(B)

)

(A)

1 35

1 42

(C)

1 48

(D)

1 54
)

2.已知数列{an}中,a1=1,

1 a n ?1

?

1 ? 3 (n∈N*),则 a10=( an
(C)

(A)28

(B)33
2

1 33

(D)

1 28
)

3.数列{an}中,an=-2n +29n+3,则此数列最大项的值是( (A)103 (B) 108

1 8

(C) 103

1 8

(D)108
*

4.(2013·山东师大附中模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1= a 2 n ? 1(n≥1,n∈N ),则 a1+a2+a3+a4+a5=( ) (A)-1 (B)1 (C)0 (D)2
n *

5.(2012·西安模拟)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1) (n≥2,n∈N ),则

a3 的值是( a5

)

3 8 n * 6.(2013·聊城模拟)已知数列{an}的通项公式为 a n ? log 3 (n∈N ),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-4 n ?1
(A) (B) (C) (D) 成立的最小自然数 n 等于( ) (A)83 (B)82
2

15 16

15 8

3 4

(C)81

(D)80 )

7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 8.(能力挑战题)定义:F(x,y)=y (x>0,y>0),已知数列{an}满足:an= (n∈N ),若对任意正整数 n,都有 an≥ak(k∈N )成立,则 ak 的值为(
* * x

F ? n, 2 ? F ? 2, n ?
)

8 (A) 9
二、填空题

(B)2

(C)3

(D)4

? , ,… 的一个通项公式可以是_________. 9.数列 ? , ,
10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N ),则数列{an}的通项公式是__________.
*

1 3 2 4

7 15 8 16

-1-

11.设 a1=2, a n ?1 ?

a ?2 2 则数列{bn}的通项公式 bn=________. ,bn ?| n |,n ? N*, an ?1 a n ?1

?an ? ,当a n 为偶数时, 12.(能力挑战题)已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数), a n ?1 ? ? 2 若 a6=1,则 m 所 ? ?3a n ? 1,当a n 为奇数时.
有可能的值为_________. 三、解答题 13.已知:数列{an}满足 a1 ?

a2 a3 a ? ? … ? n ? a 2n ? 1, 求数列{an}的通项公式. 2 3 n
2

14.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 b n ?

2 , 且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an ?1

(1)求数列{bn}的通项公式. (2)判断数列{cn}的增减性. 2 * 15.(2012·广东高考)设数列{an}前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n ,n∈N . (1)求 a1 的值. (2)求数列{an}的通项公式.

答案解析 1.【解析】选 B.∵42=6×7,故选 B. 2.【解析】选 D. 由题意得

1 a n ?1

?

1 ? 3. an



1 1 1 1 ? ? 3, ? ? 3, a 2 a1 a3 a 2

1 1 1 1 ? ? 3, ? ? 3, a 4 a3 a5 a 4


1 1 ? ? 3, a10 a 9
对递推式叠加得

1 1 1 . 故 a 10 ? ? ? 27, 28 a10 a1

3.【解析】选 D.根据题意结合二次函数的性质可得:

29 n) ? 3 2 29 2 29 ? 29 ) ?3? = ?2(n ? . 4 8
2 an=-2n +29n+3= ?2(n ?

2

-2-

∴n=7 时,a7=108 为最大值.
2 4.【解析】选 A.∵ a n ?1 ? a n ?1 ? (a n ?1)(a n ?1),

∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. ∴a1+a2+a3+a4+a5=-1. 5.【解析】选 C.当 n=2 时,a2·a1=a1+(-1) ,∴a2=2. 当 n=3 时,a3a2=a2+(-1) ,∴a3=
4 3 2

1 . 2

当 n=4 时,a4a3=a3+(-1) ,∴a4=3. 当 n=5 时,a5a4=a4+(-1) ,∴a5= , ?
5

2 3

a3 3 ? . a5 4

6.【解析】选 C.∵ a n ? log 3

n ? log3 n ? log 3 (n ? 1), n ?1

∴ Sn ? log31 ? log3 2 ? log3 2 ? log3 3 ??? log3n ? log3 ? n ?1? ? ?log3 ? n ?1?<? 4, ∴ n>3 ? 1 ? 80.
4

7.【解析】选 B. a n ? ?

?S1 , n ? 1, ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2,

即 an ? ?

??8, n ? 1, ??10 ? 2n, n ? 2.

∵n=1 时也适合 an=2n-10,∴an=2n-10. ∵5<ak<8,∴5<2k-10<8, ∴

15 * <k<9.又∵k∈N ,∴k=8. 2

8.【解析】选 A. a n ?

2n a n ?1 , n2 an

2n ?1 2n 2 (n ? 1) 2 ? ? ,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当 n=1,2 时,2n2<(n+1)2, 2 2n (n ? 1) 2 n
8 , 9

当 n≥3 时, 2n >(n+1) , 即当 n≥3 时, an+1>an, 故数列{an}中的最小项是 a1,a2, a3 中的较小者, a1=2,a2=1,a3= 故 ak 的值为

2

2

8 . 9
n n

9.【解析】正负相间使用(-1) ,观察可知第 n 项的分母是 2 ,分子比分母的值少 1,故 a n ? (?1)

n

2n ? 1 . 2n

答案: a n ? (?1)

n

2n ? 1 2n

10.【思路点拨】根据 an 和 Sn 的关系转换 an+1=2Sn+1(n≥1)为 an+1 与 an 的关系或者 Sn+1 与 Sn 的关系.
-3-

【解析】方法一:由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1,故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, n-1 ∴an=3 . 方法二:由于 an+1=Sn+1-Sn, an+1=2Sn+1, 所以 Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,

1 1 ? 3(Sn ? ) , 2 2 1 1 3 即得数列{Sn+ }为首项是 S1 ? ? , 2 2 2 1 3 n ?1 1 n 公比是 3 的等比数列,故 Sn ? ? ? 3 ? ? 3 , 2 2 2 1 n 1 故 Sn ? ? 3 ? . 2 2
把这个关系化为 Sn ?1 ? 所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 , n-1 由 n=1 时 a1=1 也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是 an=3 . n-1 答案:an=3 【方法技巧】an 和 Sn 关系的应用技巧 在根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据 Sn+1-Sn=an+1 把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据 an+1=Sn+1-Sn 把数列中的通项转化为前 n 项和的关 系,先求 Sn 再求 an.
n-1

2 ?2 a n ?1 ? 2 a n ? 1 a ?2 |?| |? 2 | n |? 2b n 且 b1=4,所以数列{bn}是首项为 4, 11.【解析】由条件得 b n ?1 ?| 2 a n ?1 ? 1 a n ?1 ?1 an ?1
公比为 2 的等比数列,则 bn=4×2 =2 . n+1 答案:2 12.【解析】根据递推式以及 a1=m(m 为正整数)可知数列{an}中的项都是正整数.
n-1 n+1

a5 ,则 a5=2,若 a6=3a5+1,则 a5=0,故只能是 a5=2. 2 a 1 若 a5= 4 ,则 a4=4,若 a5=3a4+1,则 a4= ,故只能是 a 4 ? 4 . 3 2 a 若 a 4 ? 3 , 则 a3=8,若 a4=3a3+1,则 a3=1. 2 a a 7 (1)当 a3=8 时,若 a3= 2 ,则 a2=16,若 a3=3a2+1,则 a2= ,故只能是 a2=16,若 a2= 1 ,则 a1=32,若 a2=3a1+1, 3 2 2
a6=1,若 a6= 则 a1=5.

a2 ,则 a2=2,若 a3=3a2+1,则 a2=0,故只能是 a2=2. 2 a 1 若 a 2 ? 1 , 则 a1=4,若 a2=3a1+1,则 a1= ,故只能是 a1=4. 2 3
(2)当 a3=1 时,若 a3= 综上所述:a1 的值,即 m 的值只能是 4 或 5 或 32. 答案:4 或 5 或 32
-4-

【变式备选】已知数列{an}中, a1 ? ,a n ?1 ? 1 ?

1 2

1 则 a16=_______. (n ? 2), an

【 解 析 】 由 题 可 知 a2 ? 1?

1 1 1 1 ? ?1,a 3 ? 1 ? ? 2,a 4 ? 1 ? ? ,∴ 此 数 列 为 循 环 数 列 , a1 a2 a3 2
1 . 2

a1 ? a 4 ? a 7 ? a10 ? a13 ? a16 ?
答案:

1 2
2

13.【解析】n=1 时,a1=a -1.n≥2 时,a1+

a a2 2n-2 +…+ n ?1 =a -1, n ?1 2

an 1 ? a 2n ? a 2n ?2 ? a 2n (1 ? 2 ), n a 1 2n ∴ a n ? n a (1 ? 2 ) , a
∴ ∴n=1 也适合上式,∴an=na (12n

1 ). a2

【变式备选】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=1,S2=2,且 Sn+1-3Sn+2Sn-1=0 * (n∈N 且 n≥2),求该数列的通项公式. 【解析】由 S1=1 得 a1=1,又由 S2=2 可知 a2=1. * ∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N 且 n≥2), * ∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N 且 n≥2), * 即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N 且 n≥2), * ∴an+1=2an(n∈N 且 n≥2) ,故数列{an}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列. ∴数列{an}的通项公式为

?1,n ? 1, a n ? ? n ?2 * ? 2 ,n ? 1, n ? N .
14.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

?1 , n ? 2, n ? N* , ? ?n ∴ bn ? ? ? 2 , n ? 1. ? ?3
(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1

1 1 1 ? ?…? , n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 1 1 ? ? ∴ c n ?1 ? c n ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1
= =

?n ? 1 ?0, ? 2n ? 2?? 2n ? 3?? n ? 1?

∴{cn}是递减数列. 15.【解析】(1)当 n=1 时,T1=2S1-1.
-5-

因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,求得 a1=1. (2)当 n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1 2 2 =2Sn-n -[2Sn-1-(n-1) ] =2Sn-2Sn-1-2n+1,所以 Sn=2Sn-1+2n-1 ①, 所以 Sn+1=2Sn+2n+1 ②, ②-①得 an+1=2an+2, 所以 an+1+2=2(an+2),即

a n ?1 ? 2 =2(n≥2), an ? 2 a2 ? 2 =2. a1 ? 2

求得 a1+2=3,a2+2=6,则

所以{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, n-1 所以 an+2=3·2 , n-1 * 所以 an=3·2 -2,n∈N .

-6-


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