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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第一章 常用逻辑用语(A)]


第一章

常用逻辑用语(A)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列语句中是命题的是( ) A.梯形是四边形 B.作直线 AB C.x 是整数 D.今天会下雪吗? 2.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题与其逆命题的真假 情况是( ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 3.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命 题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 4.设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M,或 x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.有下列命题:①2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;②10 的倍数一定是 5 的倍 数;③梯形不是矩形;④方程 x2=1 的解 x=± 1.其中使用逻辑联结词的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 6.在△ABC 中,“A>30° ”是“sin A> ”的( ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若 p:a∈R,|a|<1,q:x 的二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另一根 小于零,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x2,则綈 p 是綈 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知实数 a>1,命题 p:函数 y=log1(x2+2x+a)的定义域为 R,命题 q:|x|<1 是 x<a
2

的充分不必要条件,则( ) A.“p 或 q”为真命题 B.“p 且 q”为假命题 C.“綈 p 且 q”为真命题 D.“綈 p 或綈 q”为真命题 10.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是(

)

A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数 11.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对于 x∈R 恒成立,那么 a 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,2] D.(-∞,-2) 2 12.已知命题 p:存在 x∈R,使 tan x= ,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 2 下列结论: ①命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且綈 q”是假命题; ③命题“綈 p 或 q” 是真命题;④命题“綈 p 或綈 q”是假命题,其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 无公共点;命 题 q:α∥β,则 p 是 q 的______________条件. 14.命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是__________. 15.若 p:“平行四边形一定是菱形”,则“非 p”为 ________________________________________________________________________. 16.下列四个命题中 ①“k=1”是“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为 π”的充要条件; ②“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直”的充要条件; x2+4 ③函数 y= 2 的最小值为 2. x +3 其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断其真假. (1)正方形是矩形又是菱形; (2)同弧所对的圆周角不相等; (3)方程 x2-x+1=0 有两个实根.

18.(12 分)判断命题“已知 a、x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆否命题的真假.

x-1? 19.(12 分)已知 p:?1- ≤2;q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),若綈 p 是綈 q 的必要非充 3 ? ? 分条件,求实数 m 的取值范围.

20.(12 分)已知方程 x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.

21.(12 分)p:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有 实数根;如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

22.(12 分)已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a= 0 至少有一个方程有实数根,求实数 a 的取值范围.

单元检测卷答案解析 第一章 常用逻辑用语(A)

1.A 2.A [因为原命题“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆否命题为:“若 a,b 都小于 1,则 a+b<2”显然为真,所以原命题为真;原命题“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有 一个不小于 1”的逆命题为:“若 a,b 中至少有一个不小于 1,则 a+b≥2”,是假命题,反 例为 a=1.2,b=0.3.] 3.C 4.A [“x∈M,或 x∈P”不能推出“x∈M∩P”,反之可以.] 5.C [①中有“且”;②中没有;③中有“非”;④中有“或”.] 1 6.B [当 A=170° >30° 时,sin 170° =sin 10° < ,所以“过不去”;但是在△ABC 中, 2 1 sin A> ?30° <A<150° ?A>30° ,即“回得来”.] 2 7.A [a∈R,|a|<1?a-2<0,充分性成立,反之不成立.] 8.A [綈 p:|x+1|≤2,-3≤x≤1,綈 q:5x-6≤x2,

即 x2-5x+6≥0,解得 x≥3,或 x≤2. ∴綈 p?綈 q,但綈 q ? 綈 p,故綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.] 9.A [命题 p:当 a>1 时,Δ=4-4a<0,即 x2+2x+a>0 恒成立,故函数 y=log1(x2+2x
2

+a)的定义域为 R,即命题 p 是真命题;命题 q:当 a>1 时,由|x|<1,得-1<x<1,即|x|<1 是 x<a 的充分不必要条件,故命题 q 也是真命题.所以命题“p 或 q”是真命题.] 10.A [对“a 和 b 都不是偶数”的否定为“a 和 b 不都不是偶数”,等价于“a 和 b 中至少有 一个是偶数”.] 11.B [注意二次项系数为零也可以.] 12.D [∵p、q 都是真命题,∴①②③④均正确.] 13.必要不充分 解析 q?p,p ? q. 14.[-3,0] 解析 ax2-2ax-3≤0 恒成立, 当 a=0 时,-3≤0 成立; ? ?a<0 当 a≠0 时,? 得-3≤a<0; 2 ?Δ=4a +12a≤0 ? ∴-3≤a≤0. 15.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形 解析 本题考查复合命题“非 p”的形式,p:“平行四边形一定是菱形”是假命题,这 里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”?若为“平行四边形一定不是 菱形”仍为假命题, 与真值表相违, 故原命题的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形”, 是一个真命题. 第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可. 16.①②③ 解析 ①“k=1”可以推出“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为 π”,但是函数 y= 2π cos2kx-sin2kx 的最小正周期为 π,即 y=cos 2kx,T= =π?k=± 1. |2k| ②“a=3”不能推出“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直”,反之 2 垂直推出 a= ; 5 2 x +4 x2+3+1 1 1 ③函数 y= 2 = = x2+3+ 2 ,令 x2+3=t,t≥ 3,ymin= 3+ = 2 3 x +3 x +3 x +3 4 3 . 3 17.解 (1)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题. (2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,为假命题. (3)如果一个方程为 x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,为假命题. 18.解 方法一 (直接法) 逆否命题:已知 a、x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解 集为空集. 判断如下: 二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 图象的开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a<1,∴4a-7<0. 即二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点, ∴关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真. 方法二 (先判断原命题的真假) ∵a、x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空, ∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即 4a-7≥0,

7 7 解得 a≥ ,∵a≥ >1,∴原命题为真. 4 4 又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真. 方法三 (利用集合的包含关系求解) 命题 p:关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有非空解集. 命题 q:a≥1. ∴p: A={a|关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有实数解}={a|(2a+1)2-4(a2+2)≥0} 7? ? =?a|a≥4?,q:B={a|a≥1}. ? ? ∵A?B,∴“若 p,则 q”为真, ∴“若 p,则 q”的逆否命题“若綈 q,则綈 p”为真. 即原命题的逆否命题为真. x-1? 19.解 綈 p:?1- >2,解得 x<-2,或 x>10, 3 ? ? A={x|x<-2,或 x>10}. 綈 q:x2-2x+1-m2>0,m>0, 解得 x<1-m,或 x>1+m, B={x|x<1-m,或 x>1+m}. ∵綈 p 是綈 q 的必要非充分条件,∴B A, ? 1 - m < - 2 ? 即? ?m>9,∴m>9. ?1+m>10 ? 20.解 令 f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于 1 的实数根? Δ=?2k-1? -4k ≥0 ? ? 2k-1 ?- 2 >1 ?f?1?>0 ? 即 k<-2. 所以其充要条件为 k<-2. 21.解 对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立?a=0 或?
?a>0 ?Δ<0
2 2



?0≤a<4;

1 关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根?1-4a≥0?a≤ ;如果 p 真,且 q 假,有 0≤a<4, 4 1 且 a> , 4 1 ∴ <a<4; 4 1 如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4,且 a≤ , 4 ∴a<0. 1 ? 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪? ?4,4?. 22.解 假设三个方程:x2+4ax-4a+3=0, Δ1=?4a? -4?-4a+3?<0 ? ? 2 2 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 都没有实数根,则?Δ2=?a-1? -4a <0 ? ?Δ3=?2a?2-4?-2a?<0
2



- <a< ? ? 2 2 即? 1 a> ,或a<-1, 3 ? ?-2<a<0

3

1

3 得- <a<-1. 2

3 ∴所求实数 a 的范围是 a≤- 或 a≥-1. 2


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