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2013-2014海淀期中数学考试试题及答案 word版本


海淀区九年级第一学期期中测评 数学试卷
(分数:120 分时间:120 分钟) 班级姓名学号 成绩 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上做答无效. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. .. 1.一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
2

>
2013.11

A. 1, ?2, ?3

B. 1,-2,3

C. 1, 2,3

D.

1, 2, ?3

2.在角、等边三角形、平行四边形、圆中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A.角 B.等边三角形 C.平行四边形 D.圆 3.函数 y ?

x ? 2 中,自变量 x 的取值范围是

A. x ? 2 B. x ? 2 C. x ? 2 D. x ? 2 4.如图,点 A 、 B 、 C 在 ⊙O 上,若 ?AOB ? 110 ,则 ?ACB 的大小是 A. 35 B. 45
?

C. 55 D. 110
A

O B

C

5.用配方法解方程 x ? 10x ? 9 ? 0 ,配方正确的是
2

A. ( x ? 5) 2 ? 16 B. ( x ? 5) 2 ? 34 C. ( x ? 5) 2 ? 16 D. ( x ? 5) 2 ? 25

6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合,那么这个旋转角可能是 A. 60 B. 72
? ?

C. 90 D. 120

7.若

a ? 2 ? b ? 3 ? 0 ,则 a ? b 的值为
D.6

A.-1 B.1 C.5

1

8.如图,⊙ O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为

10 ,如果过点 P 作弦,
O P

那么长度为整数值的弦的条数为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.如图,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △A ' B ' C 的位置,若 ?ACB ? 15 , ?B ? 120 ,则 ?A ' 的大小为________. 10.已知一元二次方程有一个根是 0,那么这个方程可以是 (填上你认为正确的一个方程即可).

D

11.如图, AB 是⊙ O 的直径,点 C 、 D 为⊙ O 上的两点,若 . ?ABD ? 40? ,则 ?BCD 的大小为

A

O C

B

12.下面是一个按某种规律排列的数阵: 1
2 5 10 11 6 2 3 3 7 13

2
2 2 14

3
15

4

第1行 第2行 第3行 第4行

根据数阵排列的规律,则第 5 行从左向右数第 5 个数为,第 n ( n ? 3 ,且 n 是整数)行从左向 右数第 5 个数是(用含 n 的代数式表示). 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 24 ? 3 ? 6 ? 3 . 14.用公式法解一元二次方程: x 2 ? 4 x ? 1 . 15.如图, △ABC 与 △AED 均是等边三角形,连接 BE、CD.请在图中找出一条与 CD 长度相等的 线段,并证明你的结论. C 结论: CD ? . 证明:

D A E B

2

16.当 x ? 5 ? 1时,求代数式 x 2 ? 2 x ? 5 的值. 17.如图,两个圆都以点 O 为圆心,大圆的弦 AB 交小圆于 C 、 D 两点. 求证: AC = BD . 证明:

O A C D B

18.列方程(组)解应用题: 如图,有一块长 20 米,宽 12 米的矩形草坪,计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小
3 路,剩余的草坪面积是原来的 ,求小路的宽度. 4 解:

四、解答题(每小题 5 分,共 20 分) 19.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 的一个根为 2. (1) 求 m 的值及另一根; (2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长,求此等腰三角形的周长.

20.如图,DE 为半圆的直径,O 为圆心,DE=10,延长 DE 到 A,使得 EA=1,直线 AC 与半圆交于

B 、 C 两点,且 ?DAC ? 30? .
(1)求弦 BC 的长; (2)求 △AOC 的面积.
C

B D O E A

21.已知关于 x 的方程 x ? 2(k ? 1) x ? k ? 0 有两个不相等的实数根.
2 2

(1)求 k 的取值范围; (2)求证: x ? ?1 不可能是此方程的实数根.

3

22.阅读下面的材料: 小明在研究中心对称问题时发现: 如图 1,当点 A1 为旋转中心时,点 P 绕着点 A1 旋转 180° 得到 P1 点,点 P1 再绕着点 A1 旋转 180° 得到 P2 点,这时点 P 与点 P2 重合.

如图 2,当点 A1 、 A2 为旋转中心时,点 P 绕着点 A1 旋转 180° 得到 P1 点,点 P1 绕着点 A2 旋转 180° 得到 P2 点, 点 P2 绕着点 A1 旋转 180° 得到 P3 点, 点 P3 绕着点 A2 旋转 180° 得到 P4 点,小明发现 P、
P4 两点关于点 P2 中心对称.

图1

图2

(1)请在图 2 中画出点 P3 、 P4 , 小明在证明 P、 P4 两点关于点 P2 中心对称时,除了说明 P、P2 、
P4 三点共线之外,还需证明;

(2) 如图 3, 在平面直角坐标系 xOy 中, 当 A1 (0,3) 、A2 (?2,0) 、A3 (2,0) 为旋转中心时, 点 P(0,4) 绕着点 A1 旋转 180° 得到 P1 点;点 P1 绕着点 A2 旋转 180° 得到 P2 点;点 P2 绕着点 A3 旋转 180° 得到 P3 点;点 P3 绕着点 A1 旋转 180° 得到点 P4点 . 继续如此操作若干次得到点 P5、P6、 ,则 点 P2 的坐标为,点 P2017 的坐为.

图3

4

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 8 分,第 25 题 7 分) 23.已知关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (2m ? 1) x ? 2 ? 0 . (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)若此方程的两个实数根都是整数,求 m 的整数值; (3)若此方程的两个实数根分别为 x1 、 x2 ,
3 3 2 求代数式 m( x1 ? x2 ) ? (2m ? 1)(x12 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 5 的值.

24.已知在 △ABC 中, ?ACB ? 90 , CA ? CB ? 6 2 , CD ? AB 于 D ,点 E 在直线 CD 上,
?

DE ?

1 CD ,点 F 在线段 AB 上, M 是 DB 的中点,直线 AE 与直线 CF 交于 N 点. 2 (1)如图 1,若点 E 在线段 CD 上,请分别写出线段 AE 和 CM 之间的位置关系和数量关系:
___________,___________; (2)在(1)的条件下,当点 F 在线段 AD 上,且 AF ? 2 FD 时,求证: ?CNE ? 45 ;
?

(3)当点 E 在线段 CD 的延长线上时,在线段 AB 上是否存在点 F ,使得 ?CNE ? 45 .若
?

存在,请直接写出 AF 的长度;若不存在,请说明理由.

C
C

N

E

A

F

D

M

B

A
备用图

D

B

图1

5

25.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,且 AB ? 10 ,点 M 为线 段 AB 的中点. (1)如图 1,线段 OM 的长度为________________; (2)如图 2,以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ACB ,当点 C 在第一象限时,求直线 OC 所对应 的函数的解析式; (3)如图 3,设点 D 、 E 分别在 x 轴、 y 轴的负半轴上,且 DE ? 10 ,以 DE 为边在第三象限 内作正方形 DGFE ,请求出线段 MG 长度的最大值,并直接写出此时直线 MG 所对应的函 数的解析式.
y
y

y B

B M O A x
O A x B C
G D

M O A x

E F

图1

图2

图3

6

海淀区九年级第一学期期中练习
2013.11

数学试卷答案及评分参考
阅卷须知: 1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细 ,阅卷时,只要考生将主要过程 正确写出即可. 2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 A 6 B 7 B 8 C A D D C 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

9. 45° ; 10.x 2 ? x ? 0 (二次项系数不为 0,且常数项为 0 均正确); 11. 50° ; 12. 21 , n 2 ? 2n ? 6 (每 空 2 分). 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.(本小题满分 5 分) 解: 24 ? 3 ? 6 ? 3
? 8 ? 18 ………………………………………………………………………2 分

? 2 2 ? 3 2 …………………………………………………………………4 分 ? 5 2 .……………………………………………………………………………5 分
14. (本小题满分 5 分) 解:原方程可化为 x 2 +4 x ? 1 ? 0 ,……………………………………………………1 分 a ? 1,b ? 4,c ? ?1 , ? ? 42 ? 4 ?1? ( ? 1)=20>0, …………………………………………………………2 分 方程有两个不相等的实数根,
x? ?b ? b 2 ? 4ac ?4 ? 20 ? ? ?2 ? 5 ,……………………………………4 分 2a 2

即 x1 ? ?2 ? 5 ,x2 ? ?2 ? 5 .……………………………………………………5 分 15. (本小题满分 5 分) 结论: CD ? BE .……………………………………………………………………1 分 证明:? △ ABC 与△ AED 是等边三角形, C ∴ AE ? AD , AB ? AC , ?CAB ? ?DAE ? 60 .…2 分 ∴ ?CAB ??DAB ? ?DAE ??DAB , 即 ?CAD ? ?BAE .………………………………3 分 D 在△ CAD 和△ BAE 中,
A E B

7

? AC ? AB, ? ??CAD ? ?BAE, ? AD ? AE, ?

∴△ CAD ≌△ BAE .…………………………………………………………4 分 ∴ CD ? BE.…………………………………………………………………5 分 16. (本小题满分 5 分) 解:? x ? 5 ? 1, ∴ x ?1 ? 5 . ∴ ( x ? 1) 2 ? 5 .………………………………………………………………1 分 ∴ x 2 ? 2 x ? 1 ? 5 .………………………………………………………………2 分 ∴ x 2 ? 2 x ? 4 .…………………………………………………………………3 分 ∴ x 2 ? 2 x ? 5 ? 4 ? 5 ? ?1 .……………………………………………………5 分 17. (本小题满分 5 分) 证明:过点 O 作 OM ? AB 于 M ,…………………………1 分 由垂径定理可得 AM ? BM , CM ? DM .……………3 分 ∴ AM ? CM ? BM ? DM .…………………………4 分 即 AC ? BD .…………………………………………5 分
O A C M D B

18. (本小题满分 5 分) 解:设小路的宽度是 x 米.………………………………………………………1 分
3 由题意可列方程, (20 ? x)(12 ? x) ? ? 20 ?12 .……………………………2 分 4

化简得, x 2 ? 32 x ? 60 ? 0 . 解得, x1 ? 30,x2 ? 2 .………………………………………………………3 分 由题意可知 x ? 30 ? 20 不合题意舍去, x ? 2 符合题意.…………………4 分 答:小路的宽度是 2 米.……………………………………………………5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. (本小题满分 5 分) 解: (1)∵关于 x 的一元二次方程 x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 的一个根为 2, ∴ 22 ? 2m ? m ? 1 ? 0 .……………………………………………………1 分 ∴ m ? 5 .……………………………………………………………………2 分 ∴一元二次方程为 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 . 解得 x1 ? 2,x2 ? 3 .…………………………………………………………3 分 ∴ m ? 5 ,方程另一根为 3. ( 2 )当长度为 2 的线段为等腰三角形底边时,则腰长为 3 ,此时三角形的周长为 2+3+3=8;………………………………………………………………4 分 当长度为 3 的线段为等腰三角形底边时,则腰长为 2,此时三角形的周长为 2+2+3=7. ………………………………………………………………5 分

8

20. (本小题满分 5 分) 解: (1)过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 由垂径定理可得:BM=CM.…1 分 ∵ ?DAC ? 30 , ∴ OM ? 1 OA . 2
C M

∵直径 DE=10, EA=1, B ∴ OD ? OC ? OE=5 . A ∴ OA ? OE ? EA ? 5 ?1 ? 6 . O D E ∴ OM ? 3 .…………………2 分 在 Rt△COM 中, CM 2 ? OC 2 ? OM 2 ? 52 ? 32 ? 16 . ∴ CM ? 4 . ∴ BM ? 4 . ∴ BC ? BM +CM ? 8 .……………………………………………………3 分 (2)在 Rt△AOM 中, AM 2 ? OA2 ? OM 2 ? 62 ? 32 ? 27 . ∴ AM ? 3 3 .……………………………………………………………………4 分 ∴ AC ? AM +CM ? 3 3 ? 4 . ∵OM⊥AC, ∴S
AOC

?

1 1 9 AC ? OM ? ? (3 3 ? 4) ? 3 ? 3 ? 6 .……………………………5 分 2 2 2

21. (本小题满分 5 分) 解:(1)∵关于 x 的方程 x 2 ? 2(k ? 1) x ? k 2 ? 0 有两个不相等的实数根, ∴ ? ? 4(k ? 1)2 ? 4k 2 =8k +4>0 .………………………………………………2 分 ∴ k> ?
1 .…………………………………………………………………3 分 2

(2)∵当 x ? ?1 时,左边= x2 ? 2(k ? 1)x ? k 2
? ( ? 1)2 ? 2(k ? 1) ? ( ? 1) ? k 2
? k 2 ? 2k ? 3 …………………………………………4 分 ? (k +1)2 ? 2 ? 0 .

而右边=0, ∴左边 ? 右边. ∴ x ? ?1 不可能是此方程的实数根.……………………………………5 分 22.(本小题满分 5 分) (1)正确画出 P3、P4 点(图略).………………………………………………1 分 P P2 =P2 P4 .……………………………………………………………………2 分 (2)( ? 4, ? 2).…………………………………………………………………3 分 (0,2).……………………………………………………………………5 分

9

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 8 分,第 25 题 7 分) 23.(本小题满分 7 分) 解:(1)由题意可知 m ? 0 .
? ? (2m ? 1)2 ? 4 ? 2 ? m =4m2 ? 4m ? 1 ? (2m ? 1)2 ? 0 .……………………………………………2 分

∴此方程总有两个实数根. (2)方程的两个实数根为 x ? ∴ x1 ? 2,x2 ?
(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 , 2m

1 .…………………………………………………………4 分 m

∵方程的两个实数根都是整数,且 m 为整数, ∴ m ? ?1 .…………………………………………………………………5 分 (3)∵原方程的两个实数根分别为 x1 、 x2 , ∴ mx12 ? (2m ? 1)x1 ? 2 ? 0 2 mx2 ? (2m ? 1)x2 ? 2 ? 0 .……………………………………………………6 分
3 3 2 2 ∴ m( x1 ? x2 ) ? (2m ? 1)(x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 5
3 2 = [mx13 ? (2m ? 1)x2 ? 2x1 ]+[mx2 ? (2m ? 1)x2 ? 2x2 ]+5
1

2 = x1[mx12 ? (2m ? 1)x ? 2]+x2 [mx2 ? (2m ? 1)x2 ? 2]+5
1

= x1 ? 0 ? x2 ? 0 ? 5 =5.…………………………………………………………………………7 分 24.(本小题满分 8 分) (1) AE ⊥ CM , AE = CM .……………………………………………………2 分 (2)如图,过点 A 作 AG⊥AB,且 AG=BM,,连接 CG、FG,延长 AE 交 CM 于 H. ∵ ?ACB ? 90? , CA ? CB ? 6 2 , ∴∠CAB=∠CBA=45° ,AB= CA2 ? CB2 ? 12 . ∴∠GAC=∠MBC=45° . ∵ CD ? AB , ∴CD=AD=BD= AB ? 6 . ∵ M 是 DB 的中点, ∴ BM ? DM ? 3 . ∴ AG ? 3 . ∵ AF ? 2 FD , ∴ AF ? 4,DF ? 2. ∴ FM ? FD +DM ? 2+3=5. ∵AG⊥AF, ∴ FG ?
10

C

1 2

G

H N E

A

F

D

M

B

AG2 +AF 2 ? 32 +42 =5.

∴ FG ? FM . ……………………………………………………………………3 分 在△ CAG 和△ CBM 中,
?CA ? CB, ? ??CAG ? ?CBM , ? AG ? BM , ?

∴△ CAG ≌△ CBM . ∴ CG ? CM, ?ACG ? ?BCM . ∴ ?MCG ? ?ACM +?ACG ? ?ACM +?BCM ? 90 .………………………4 分 在△ FCG 和△ FCM 中,
?CG ? CM , ? ? FG ? FM , ?CF ? CF, ?

∴△ FCG ≌△ FCM . ∴ ?FCG ? ?FCM .………………………………………………………5 分 ∴ ?FCH ? 45 . 由(1)知 AE ⊥ CM , ∴ ?CHN ? 90 ∴ ?CNE ? 45? .………………………………………………………………6 分 (3)存在. AF=8.…………………………………………………………………………8 分 25.(本小题满分 7 分) (1)5;…………………………………………………………………………………1 分 (2)如图 1, 过点 C 分别作 CP⊥x 轴于 P,CQ⊥y 轴于 Q. ∴∠CQB=∠CPA=90° , y ∵∠QOP=90° , ∴∠QCP=90° . ∵∠BCA=90° , B ∴∠BCQ=∠ACP. C Q ∵BC=AC, ∴△BCQ≌△ACP. ∴CQ=CP.………………………………3 分 O A P ∵点 C 在第一象限, ∴不妨设 C 点的坐标为(a,a)(其中 a ? 0 ). 图1 设直线 OC 所对应的函数解析式为 y ? kx , ∴ a ? ka ,解得 k=1, ∴直线 OC 所对应的函数解析式为 y ? x .…………………………………4 分 B (3)取 DE 的中点 N,连结 ON、NG、OM. ∵∠AOB=90° ,
1 ∴OM= AB ? 5 . 2
M D G N E F O A x y

x

同理 ON=5.

图2
11

∵正方形 DGFE,N 为 DE 中点,DE=10, ∴NG= = DN 2 +DG2 ? 102 ? 52 ? 5 5 . 在点 M 与 G 之间总有 MG ? MO+ON+NG(如图 2), 由于∠DNG 的大小为定值,只要 ?DON ? ?DNG ,且
y

1 2

M、N 关于点 O 中心对称时,M、O、N、G 四点共线, 此时等号成立(如图 3).………………………5 分
B

∴线段 MG 取最大值 10+ 5 5 .………………6 分

M O A x

D N G

E

图3 此时直线 MG 的解析式 y ?

?1 ? 5 x .……………………………………7 分 2

12


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