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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第52课 空间几何体的表面积与体积 文


第 52 课 空间几何体的表面积与体积
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

1.(必修2P55习题2改编)已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3 5 cm,那么这 个正四棱柱的侧面积是 【答案】72 cm
2

.

【解析】易求侧面矩形的高为6 cm

, 所以侧面积为4×3×6=72(cm ).
2

2.(必修2P63习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6 cm,高为15 cm,则它的体积 为 .

3 【答案】270 3 cm

3 1 1 1 3 【解析】体积为V= 3 Sh= 3 ×6× 2 ×6×6× 2 ×15=270 3 (cm ).

3.(必修2P69复习题5改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是 2,3,6 ,则长方体的体积 为 .

【答案】 6 【解析】可求三棱长为1, 2,3 ,则体积为1× 2 × 3 = 6 .

4.(必修2P71复习题20改编)设P,A,B,C是球O表面上的四点,PA,PB,PC两两垂直,且 PA=1,PB= 6 ,PC=3,则球O的表面积是 【答案】16π .

1

【解析】可把PA,PB,PC看成长方体从同一个定点出发的三条棱,则球O的半径的大小为

12 ? ( 6) 2 ? 33 2 =2,所以球O的表面积为16π .

1.一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫作该多 面体的平面展开图.

2.侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱, 把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上,展开图的面积就是棱柱的侧面积. 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.

3.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面的中心,这样的棱锥为正 棱锥.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的,展开图的面积就是棱锥的侧面积.

4.正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.

5.多面体的面积与体积公式 (1)底面周长为c,高为h的直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧=ch; (2)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的体积为V长方体=abc; (3)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体=Sh;

1 (4)底面周长为c,斜高为h'的正棱锥的侧面积为S正棱锥侧= 2 ch'; 1 (5)锥体的体积为V锥体= 3 Sh,其中S为锥体底面积,高为h. 1 (6)上、下底面周长分别为c,c',斜高为h'的正棱台的侧面积公式是S正棱台侧= 2 (c+c')h';

2

1 (7)台体的体积为V台体= 3 h(S+ SS' +S'),其中台体的上、下底面面积分为S',S,台体的高为
h.
(8)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S圆柱侧=cl=2π rl、

1 1 S圆锥侧= 2 cl=π rl、S圆台侧= 2 (c+c')l=π (r+r')l. 4 3 2 (9)球体的体积公式为V球= 3 π R ,球体的表面积公式为S球=4π R ,其中R为球的半径.

【要点导学】 要点导学 各个击破

与简单多面体表面积有关的问题 例1 如图(1),已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4 cm的正三角形,侧棱长为 3

cm,侧棱AA1与底面相邻的两边都成60°角.

(例1(1)) (1)求证:四边形CC1B1B是矩形; (2)求这个棱柱的侧面积. 【思维引导】该棱柱为斜三棱柱,并且知道侧棱长为 3 cm,欲求侧面积,可先求各侧面 的面积,再相加即可. 【解答】

3

(例1(2)) (1)如图(2),因为AA1与A1B1,A1C1所成的角都为60°, 所以点A在平面A1B1C1上的射影O在∠C1A1B1的平分线上. 又因为△A1B1C1是正三角形,A1O⊥B1C1,所以AA1⊥B1C1. 又因为AA1∥BB1, 所以BB1⊥B1C1, 所以四边形CC1B1B是矩形.

(2)

S四边形AA1B1B

3 2 =AB×AA1×sin 120°=4×3× 2 =6 3 (cm ),
2 =6 3 (cm ).

所以 又

S四边形AA1C1C

S四边形BB1C1C

=BC×CC1=4×3=12 (cm ), + +
2 =12+12 3 (cm ).

2

所以S侧=

S四边形AA1B1B S四边形AA1C1C S四边形BB1C1C

【精要点评】对于斜三棱柱,分别求三个侧面的面积,然后求和是常用的求侧面积的方 法.

变式 1

如图(1),已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,且顶点 A1到底

面各顶点的距离都相等,侧棱AA1和底边AB的夹角为45°,求此三棱柱的侧面积.

(变式1(1)) 【解答】如图(2),过A1作A1O⊥平面ABC,过O作OD⊥AB,连接A1D. 由题意得A1A=A1B=A1C,∠A1AB=45°,

4

(变式1(2)) 因为底面△ABC是正三角形, 所以点O为△ABC的中心. 在Rt△A1AO中,

3 3 2 AO= 2 a· 3 = 3 a.
AD 在Rt△AOD中,cos 30°= AO ,

3 3 3 1 所以AD=AO· 2 = 3 a· 2 = 2 a.

2 1 在Rt△A1AD中,AA1= 2 AD= 2 a,A1D= 2 a .
? 2? 2 2 1 1? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ?a . 所以S侧面积=a· 2 a·2+ 2 a·a=a + 2 a =

变式2 (2015·南通期末)底面边长为2,高为1的正四棱锥的侧面积为 【答案】4 2

.

【解析】正四棱锥的底面边长为2,高为1,则侧面的高为 2 ,所以该正四棱锥的侧面积

1 为4× 2 ×2× 2 =4 2 .

与简单多面体体积有关的问题

5

例2

(2014·重庆卷 ) 在如图 (1) 所示的四棱锥 P-ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,

π 1 PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= 3 ,M为BC上一点,且BM= 2 .

(例2(1)) (1)求证:BC⊥平面POM; (2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积. 【思维引导】要证BC⊥平面POM,可证BC⊥OM,BC⊥PO.要求体积,关键是找到多面体的 高与底面面积.题中PO为高;根据条件有S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB,然后再求两个三角形的面积. 【解答】(1)如图(2),连接OB,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形的中心, 则AO⊥OB.

(例2(2))

π π 因为∠BAD= 3 ,所以∠OAB= 6 , π OB=AB×sin∠OAB=2sin 6 =1. 1 π 又因为BM= 2 ,且∠OBM= 3 ,
?1? 1 π 3 ? ? 2 2 2 2 在△OBM中,OM =OB +BM -2OB×BM×cos∠OBM=1 + ? 2 ? -2×1× 2 ×cos 3 = 4 ,
所以OB =OM +BM ,故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC. 又PO∩OM=O,所以BC⊥平面POM. (2)连接AM,
2 2 2

2

6

π 由(1)可得OA=AB×cos∠OAB=2×cos 6 = 3 .
设PO=a,由PO⊥底面ABCD,知△POA为直角三角形, 故PA =PO +OA =a +3. 又△POM也是直角三角形,
2 2 2 2

3 故PM =PO +OM =a + 4 .
2 2 2 2

?1? 1 2 π 21 ? ? 2 2 2 2 在△ABM中,AM =AB +BM -2AB×BM×cos∠ABM=2 + ? 2 ? -2×2× 2 ×cos 3 = 4 .
由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,

2

3 21 则PA +PM =AM ,即a +3+a + 4 = 4 ,
2 2 2 2 2

3 3 3 解得a= 2 或- 2 (舍去),即PO= 2 .
此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB

1 1 = 2 ×AO×OB+ 2 ×BM×OM

3 5 3 1 1 1 = 2 × 3 ×1+ 2 × 2 × 2 = 8 .
1 V 所以 PABMO = 3 ×S

3 5 1 5 3 3 × 8 × 2 = 16 . 四边形ABMO×PO=

【精要点评】(1)正确运用公式是求得多面体体积的前提;(2)正确求得某些关键量(比如 高或底面面积)是求得多面体体积的关键;(3)对于不易直接求解体积的复杂问题,要时刻关注 转化.

变式1

(2014·辽宁卷)如图(1),△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,

∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.

7

(变式1(1)) (1)求证:EF⊥平面BCG; (2)求三棱锥D-BCG的体积. 【解答】(1)由已知得△ABC≌△DBC. 所以AC=DC.又G为AD的中点, 所以CG⊥AD.同理BG⊥AD. 因为CG∩BG=G, 所以AD⊥平面BGC. 因为E,F为AC,CD的中点, 所以EF∥AD,所以EF⊥平面BCG. (2)如图(2),在平面ABC内,作AO⊥BC,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥ 平面BDC.

(变式1(2)) 又 G 为 AD 的中点,因此点 G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半,在△AOB 中,AO=AB·sin 60°= 3 ,

V 所以 DBCG =V

3 1 1 1 1 3 ·S△DBC·h= 3 · 2 ·BD·BC·sin 120°· 2 = 2 . G-BCD=

变式2

(2015·宿迁一模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若各条棱长均为 2,且M为

A1C1的中点,求三棱锥M-AB1C的体积.

8

(变式2)

【 解 答 】

VMAB1C

=

VABCA1B1C1

-

VAA1B1M

-

VCC1B1M

-

VB1ABC

=

3 4 ×2×2×2-

?1 ? 3 2 3 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?3 4 ? ? ? ×2= 3 .

简单旋转体的面积与体积 例3 已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其中有一个高为x的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积. (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出最大值.

(例3) 【解答】(1)如图,△SAB为圆锥的一个轴截面,设圆柱底面圆半径为r,

r h -x R(h-x) 则 R = h ,所以r= h ,
所以S圆柱侧=2π rx

R (h-x )x h =2π ·
2 ? h ? h2 ? 2 πR ? ? ? x ? ? ? ? 2 4? ? ? ? ?. = h ·?

9

h 1 (2)由(1)知,当x= 2 时,圆柱的侧面积最大,Smax= 2 π Rh.

变式 1

(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为

2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的 圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 【答案】 7 .

1 1 2 2 2 2 【解析】由体积相等得 3 ×4×π ×5 +π ×2 ×8= 3 ×r ×π ×4+π ×r ×8,解得r= 7 .

变式 2

(2015·全国卷改编)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面 .

上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 【答案】144π

(变式2) 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于平面 AOB 的直径的端点时,三棱锥 O-ABC 的体积最 大,设球O的半径为R,此时

1 1 1 VOABC = VCAOB = 3 × 2 R2×R= 6 R3=36,
故R=6, 则球O的表面积为S=4π R =144π .
2

10

4 1.(2015· 盐 城 三 模 ) 已 知 正 四 棱 锥 P-ABCD 的 体 积 为 3 , 底 面 边 长 为 2 , 则 侧 棱 PA 的 长
为 .

【答案】 3

1 4 2 【解析】由题意得V= 3 ·2 ·h= 3 ,解得h=1,
所以侧棱长为

1 ? ( 2) 2 = 3 .

2.(2015·苏州调查) 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1,S2,则S1∶S2= 【答案】3∶2 【解析】设球的直径为2R,则S1∶S2=(2π R +2π R·2R)∶4π R =3∶2.
2 2

.

3.(2016·苏北四市期中)底面边长为2,侧棱长为 3 的正四棱锥的体积为

.

4 【答案】 3
【解析】由题意知底面面积S=2×2=4,正四棱锥的高为 h= 3-2 =1 ,所以正四棱锥的体积

1 4 V= 3 ×4×1= 3 .

4.(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图(1),在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩 形,AB=2,AD=3,PA=4,E为棱CD上一点,求三棱锥E-PAB的体积.

(第4题(1)) 【解答】如图(2),在矩形ABCD中,过点E作EH∥AD.因为四边形ABCD为矩形,所以EH⊥AB.

11

(第4题(2)) 又因为PA⊥底面ABCD,EH ? 底面ABCD,所以PA⊥EH.又AB∩PA=A,AB,PA ? 平面PAB, 所以EH⊥平面PAB. 即三棱锥E-PAB的高为EH,

1 1 1 1 故三棱锥E-PAB的体积为V= 3 ×EH× 2 ×AB×PA= 3 ×3× 2 ×2×4=4.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第103~104页.

【检测与评估】 第52课 空间几何体的表面积与体积 一、 填空题 1.若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为 .

2.(2014·苏州调研)若圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为

.

3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调 ) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=3 cm , AD=2

cm,AA1=1 cm,则三棱锥B1-ABD1的体积为

cm3.

12

(第3题)

4.(2015·泰州二模)若圆柱的侧面积和体积的值都是12π ,则该圆柱的高为

.

4 3 5.(2014·苏北四市摸底)若正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为 3 ,则它的体积为

.

6.(2015· 苏 州 期 末 ) 已 知 一 个 圆 锥 的 母 线 长 为 2 , 侧 面 展 开 是 半 圆 , 则 该 圆 锥 的 体 积 为 .

π 7.(2015·山东卷)在梯形ABCD中,∠ABC= 2 ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的
直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .

8.(2014· 南 京 、 盐 城 一 模 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则四面体PBCE的体积为 .

(第8题)

二、 解答题 9.如图,正三棱锥O-ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.

(第9题)

13

10.(2014·福建卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面ABD; (2)若AB=BD=CD=1,M为AD的中点,求三棱锥A-MBC的体积.

(第10题)

11.(2014·徐州质检)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=AC=5, BB1=BC=6,D, E分别是 AA1 和 B1C的中点. (1)求证:DE∥平面ABC; (2)求三棱锥E-BCD的体积.

(第11题)

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(2015·广东卷 ) 如图,△PDC 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面垂直, PD=PC=4 , AB=6 , BC=3.

14

(第12题) (1)求证:BC∥平面PDA; (2)求证:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离.

【检测与评估答案】 第52课 空间几何体的表面积与体积

1. 1∶8 【解析】由S1∶S2=1∶4,得r1∶r2=1∶2,则V1∶V2=1∶8.

2. 5 π

【解析】先求得圆锥的母线长为 5 ,再结合侧面积公式求得侧面积为 5 π .

3.1















B1-ABD1







1 1 1 V三棱锥B1 ABD1 V三棱锥D1 ABB1 3 S? ABB1 = = ·A1D1= 3 × 2 ×3×1×2=1.
?2πrh ? 12π, ? 2 πr h ? 12π, 4.3 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则 ? 解得h=3,r=2,所以该圆柱的
高为3.

2 3 5. 3

?4 3? ? ? 3 ? ? ? 【解析】设该正三棱锥的高为 h ,则h= ?

2

?2 3 ? 16 4 -? ? ? 3 2 ? 2? ? ? ? = 3 3 =2,所

2

1 3 2 3 2 以该正三棱锥的体积V= 3 × 4 ×2 ×2= 3 .

15

3 6. 3 π

1 【解析】设该圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l=2,则由2π r= 2 ×2π l,

1 3 2 得r=1,从而h= 3 ,所以该圆锥的体积为V= 3 π r h= 3 π . 5π 7. 3 1 5π 2 2 【解析】V=π ×1 ×2- 3 π ×1 ×1= 3 .

3 8. 3

3 3 【解析】高PA=2,底面积S△EBC= 2 ,所以体积为 3 .

9. 如图,由题设可知正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形,经计算得△ABC的面

1 3 积为 3 ,所以该三棱锥的体积为 3 × 3 ×1= 3 .设O'是正三角形ABC的重心.由正三棱锥的
3 性质可知OO'⊥平面ABC.延长AO'交BC于点D,得AD= 3 ,O'D= 3 .又因为OO'=1,所以正三棱

1 2 3 2 3 锥 的 斜 高 OD= 3 , 故 侧 面 积 为 2 ×2× 3 ×3=2 3 , 所 以 该 三 棱 锥 的 表 面 积 为
3 3 +2 3 =3 3 .因此,所求三棱锥的体积为 3 ,表面积为3 3 .

(第9题) 10.(1) 因为AB⊥平面BCD,CD ? 平面BCD,所以AB⊥CD. 又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,AB ? 平面ABD,BD ? 平面ABD, 所以CD⊥平面ABD. (2) 由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.

16

1 因为AB=BD=1,所以S△ABD= 2 .
因为M是AD的中点,

1 1 所以S△ABM= 2 S△ABD= 4 .
由(1)知CD⊥平面ABD, 所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,

1 1 V V 所以三棱锥A-MBC的体积 AMBC = CABM = 3 S△ABM·h= 12 .
11.(1)如图,取BC的中点G,连接AG,EG.因为E是B1C的中点,

1 所以EG∥BB1,且EG= 2 BB1.
由题意知AA1

BB1. AD,

而D是AA1的中点,所以EG

所以四边形EGAD是平行四边形, 所以ED∥AG. 又因为DE ? 平面ABC,AG ? 平面ABC, 所以DE∥平面ABC.

(第11题) (2)因为AD∥BB1,

AD ? 平面BCE,BB1 ? 平面BCE,
所以AD∥平面BCE, 所以

VEBCD = VDBCE = VABCE = VEABC .

由(1)知DE∥平面ABC,

17

1 1 1 V V 所以 EBCD = EABC = 3 × 2 ×EG×BC×AG= 6 ×3×6×4=12.
12. (1) 因为四边形ABCD是矩形, 所以BC∥AD.因为BC ? 平面PDA,

AD ? 平面PDA,所以BC∥平面PDA.
(2) 因为四边形ABCD是矩形, 所以BC⊥CD, 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,

BC ? 平面ABCD,所以BC⊥平面PDC,
因为PD ? 平面PDC,所以BC⊥PD. (3) 取CD的中点E,连接AE,PE,AC,因为PD=PC,所以PE⊥CD.
2 2 在Rt△PED中,PE= PD -DE = 4 -3 = 7 ,因为平面PDC⊥平面ABCD,
2 2

平面PDC∩平面ABCD=CD,PE ? 平面PDC,所以PE⊥平面ABCD. 由(2)知BC⊥平面PDC,由(1)知BC∥AD,所以AD⊥平面PDC. 因为PD ? 平面PDC,所以AD⊥PD. 设点C到平面PDA的距离为h, 因为

V三棱锥CPDA V三棱锥PACD
=



1 ? 3? 6 ? 7 2 S? ACD · PE 1 1 3 7 1 ? 3? 4 S ? PDA 所以 3 S△PDA·h= 3 S△ACD·PE,即h= = 2 = 2 ,

3 7 所以点C到平面PDA的距离是 2 .

18


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