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2011全国高中数学竞赛讲义-数列、组合


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§16 排列,组合
1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这 是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交

集为空集,所有各类的 并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数, 这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没 有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通元素” 全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6) 隔板模型: 对于将不可辨的球装入可辨的盒子中, 求装的方法数, 常用隔板模型. 如 将 12 个完全相同的球排成一列, 在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板, 把球分
3 成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C11 ,这也就是方程 a + b + c + d = 12 的 正整数解的个数.

2.圆排列 (1)由 A = {a1 , a 2 , a 3 , ? , a n } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上,叫 做一个圆排列(或叫环状排列) . (2) 圆排列有三个特点: 无头无尾; (i) (ii) 按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii) 两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同, 但元素之间的顺序不同, 才是不同的圆排列. (3)定理:在 A = {a1 , a 2 , a 3 , ? , a n } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行圆 排列,圆排列数为 3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么 第一、第二、…、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中,每次 取出 n 个元素的可重复的排列数为 m . 4.不尽相异元素的全排列 如果 n 个元素中,有 p1 个元素相同,又有 p 2 个元素相同,…,又有 p s 个元素相同 ( p1 + p 2 + ? + p s ≤ n ) ,这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排列, 它的排列数是
n

Pnr . r

n! p1!? p 2 !?? ? p s !

5.可重组合 (1)从 n 个元素,每次取出 p 个元素,允许所取的元素重复出现 1,2, ? , p 次的组合叫 从 n 个元素取出 p 个有重复的组合.

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(2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H n = C n + ( p ?1) .
p r

例题讲解
1.数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四位数中恰 有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?

2.有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数?

3.有 2n 个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?

4.将 n + 1 个不同的小球放入 n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法?

5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中,共线 的三点组的个数是多少个?

6.用 8 个数字 1,1,7,7,8,8,9,9 可以组成不同的四位数有多少个?

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7.用 A, B, C , D, E 五种颜色给正方体的各个面涂色,并使相邻面必须涂不同的颜色,共有 多少种不同的涂色方式?

8.某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品可区分) ,每次取一只测试,直到 4 只次品全 部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?

9.在平面上给出 5 个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直,过每点向 其余四点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个?

10.位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有多少种?

11.某城市有 6 条南北走向的街道,5 条东西走向的街道.如果有人从城南北角(图 A 点) 走到东南角中 B 点最短的走法有多少种?

12. 4 个 1 号球, 个 2 号球, 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号, 用 3 2 共有多少种可能的号码?

13.将 r 个相同的小球,放入 n 个不同的盒子( r ≥ n ) . (1)有多少种不同的放法? (2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法?

14.8 个女孩和 25 个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩. (只要把圆旋转 一下就重合的排列认为是相同的)

课后练习

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1.8 次射击,命中 3 次,其中愉有 2 次连续命中的情形共有( )种 (A)15 (B)30 (C)48 (D)60 2.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场 数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.某人从楼下到楼上要走 11 级楼梯,每步可走 1 级或 2 级,不同的走法有( )种 (A)144 (B)121 (C)64 (D)81 4.从 7 名男乒乓球队员,5 名女乒乓球队员中选出 4 名进行男女混合双打,不同的分 组方法有( )种 (A) 2C 7 C 5 种 (A)79 (B)80 (C)88 (D)89 6.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有________种 7.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 8.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也 停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 9.如果: (1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;(3)a 是 a,b,c,d 中的最小 值,那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________. 10.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物,要求同一块中种同一种植物,相邻的两 块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种载种方案. 种坐法. 11.10 人围圆桌而,如果甲、乙二人中间相隔 4 人,有 12.从 1,2,3, ? ,19 中,按从小到大的顺序选取 a1 , a 2 , a 3 , a 4 四个数,使得 a 2 ? a1 ≥ 2 ,
2 2

(B) 4C 7 C 5

2

2

(C) P7 P5

2

2

(D) C 7 C 5

2

2

5. 5 分、 角、 角的人民币各 2 枚、 张、 张, 有 1 5 3 9 可组成的不同币值 (非 0)( 有



a 3 ? a 2 ≥ 3 , a 4 ? a3 ≥ 4 .问符合上要求的不同取法有多少种?

13.8 人围张一张圆桌,其中 A 、 B 两人不得相邻,而 B 、 C 两人以必须相邻的不同 围坐方式有多少种?

14.4 对夫妇去看电影,8 人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性,共 有多少种坐法?

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