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双曲线的焦半径


8.4 双曲线的简单几何性质(3)

双曲线的焦半径

x2 y2 一般地, 若P(x0, y0)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上任意一 a b 点, 则点P到左焦点F1的距离为: | PF1 |? a ? ex0
点P到右焦点F2的距离为: | PF2 |? a ? ex0 |PF1|、 |PF2|称为焦半径, |PF1|=a+ex0、 |PF2|= a-ex0 称为焦半径公式,
P (x0, y0) y

忆海拾贝

F1

O

F2

x

当椭圆的焦点在y轴上时,焦半径公式:

|PF1|=a+ey0、 |PF2|= a-ey0

忆海拾贝

1. 双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率。

2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 ? 2 ? 1 , 准线为 x ? ? 2 a b c2 a y2 x2 y?? 准线为 ? ? 1 c a 2 b2

对于双曲线

注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.

x

2

例1. 设M (x1,y 2 2 1)是双曲线 如果点 M 在双曲线右支上, a b 双曲线两焦点 F1,F2的距离. 绝对值符号怎样去掉? 析: 设M(x1,y1)到双曲线两焦点F1,F2 相应的准线的距离为d1,d2. 由椭圆的第二定义可知: . 如果点M在双曲线左支上, F1 MF1 绝对值符号怎样去掉? ? MF1 ? ed1 d1 2 2

?

y

2

? 1上一点,求M到
y l
O F2 x

a c a ? MF1 ? e x1 ? ? ex1 ? ? ? ex1 ? a c a c 2 请你推导 MF 2 2 a c a ? MF2 ? e x ? ? ex1 ? ? ? ex1 ? a 1 绝对值符号能去掉吗? c a c

?e

双曲线焦半径公式及其记忆方法:
MF1 ? ex1 ? a
绝对值内看焦,左加右减

MF2 ? ex1 ? a
去绝对值看支,左负右正

x1 ? a 点M在右支上 MF 1 ? ex1 ? a MF2 ? ex1 ? a x1 ? ? a 点M在左支上 MF 1 ? ? (ex1 ? a) F1 MF2 ? ? (ex1 ? a)
F2 y x

新知探究

2 2 y x 例2.已知双曲线 ? ? 1 的一上不同的三A (x1,y1) , 12 13 B( 26,6),C(x2,y2) 与焦点F(0,5)的距离成等差数列, 求y1+y2=12. 2 2 y x 解: ∵双曲线为 ? ?1

∴a2=12,b2=13

12

? FA ? FB ? FC ?

5

∴c2=25

13

? c ? 5, a ? 2 3, e ?

5

2 3 5 2 3 5 2 3

y1 ? 2 3 6? 2 3 y2 ? 2 3

2 3 FA , FB , FC 成等差列

? FA ? FC ? 2 FB

? y1 ? y 2 ? 12

[基础练习]
2 x 2 1.设F1,F2为双曲线 ? y ? 1 的两焦点,点P 4 在双曲线上且满足∠ F1PF2=900,则⊿F1PF2的面积 为. 1

2.已知双曲线 x ? y ? 1 上任意一点与 两焦点 连线垂直。则点P坐标是 ? 6 2?
? ? ? 2 ,? 2 ? ? ? ?

2

2

例3.设AB为过双曲线 x

y 的右焦点的 ? ?1 16 9

2

2

弦,且 AF ? 2 BF ,求A,B两点的横坐标.
绝对值内看焦,左加右减 析: 法1:焦半径公式 焦半径公式 故 AF ? ex1 ? a 去绝对值看支,左负右正

BF ? ex 2 ? a
法2:双曲线的第二定义

59 91 xA ? , xB ? 10 20

练.求证:等轴双曲线上任一点P到中心的距离 等于P到两个焦点距离的比例中项.
析: 1.设方程,画图,建系。
2.写焦点坐标,a,c,e 3.用焦半径公式写出︱PF1︱,︱PF2︱ 4.验证︱PF1︱︱PF2︱=︱PO︱2


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