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1.两角和与差的余弦公式


第三章 三角恒等变换
第一课时 两角和与差的余弦公式

问题提出

1.在三角函数中,我们学习了哪些基本 的三角函数公式?

2.对于30°,45°,60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可进一步求出150°,210°,315°等 角的三角函数值.而对于非特殊角如75°, 15°的三角函数

值如何求?

探究(一):两角差的余弦公式 思考1:设α,β为两个任意角,猜想 cos(α-β)=?
cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ?

cos(60°-30°)≠cos60°-cos30°

思考2:如图,设角α,β的终边与单位 圆的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ 、 ΟB 的坐标分别是什么?其数量积是什么?
y

(cosα,sinα) ΟΑ ?

A

OB ?(cosβ,sinβ)
α
β

B x

O

OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

? ??
① ? ??

② ? ??

? ? OP, OQ ? = = ? OP, OQ ? ? 2k? = ? ? OP, OQ ? ? 2k?
k ?Z

① ②两边同时取余弦我们可以得出

cos( ? ? ? )

=

cos ? OP , OQ ?

所以: cos ( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

思考3:向量的夹角θ,根据数量积定义 OA ? OB 等于什么? θ与α、β有什么 关系? 由此可得什么结论?
OA ? OB ? OA ? OB ? cos ?
y

? cos?

A θ
α

B
β

α-β= 2kπ+θ

O

x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

思考4:公式cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 称为差角的余弦公式,记 作C(? ? ? ),该公式有什么特点?如何记忆?

探究(二):两角和的余弦公式
cos(α+β)究 思考1:注意到α+β=α ―(―β),结合 竟可以表示成 什么样子?cos(α 两角差的余弦公式及诱导公式,

+ β ) 等于什么? ? ? 设? ? 、? ? ,则 cos
3 6

3 ? ? 1 3 而 cos ? ? cos ? ? cos ? cos ? ? . 3 6 2 2 cos ?? ? ? ? ? cos ? ? cos ? .

?? ? ? ? ? cos(

?

?

?
6

) ? cos

?
2

?0

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

思考2:上述公式就是两角和的余弦公式, C,该公式有什么特点?如何 记作 (? ? ? ) 记忆?

两角和的余弦公式另一推导 (教材P138页B组第4题)

两点间的距离公式
设直角坐标平面内的任 意两点 P1 ?x1,y 1 ?、P2 ?x 2,y 2 ?,则
M1
2

y
N2

P2

P1P2 ?

?x 2 - x1 ? ? ?y 2 - y 1 ?
2

o
N1

M2

x

P1

Q

两角和与差的余弦 单位圆上点的坐标表示
P3 P2 α+β α β )

y

P P1 1 x

o

(1)分别指出点P1、P、P2、P3的坐标?
(2)弦P1P3的长如何表示? (3)如何构造弦P1P3的等量关系?

两角和的余弦公式另一推导
由 PP 1 3 ? P 2P 4 及两点间距离公式
y
P2
β
-1 α+β α

?cos?α ? β ? ? 1? ? sin ?α ? β ? 得:
2 2

P3
2

? ?cos?? β ? ? cosα ? ? ?sin?? β ? ? sinα ?
2

展开整理,得2 ? 2 cos?α ? β ?
? 2 ? 2?cosα cosβ ? sinα sinβ ?,

o



P1

1 x

P4
-1

cos( α ? β ) ? cosα cosβ ? sinα sinβ

两角和与差的余弦
α α 、 、 β β 是任意角 是任意角

cos?α ? β ? ? cosα ? cosβ ? sinα ? sinβ .简记:C (α ?β )

cos?α ? β ? ? cosα cosβ ? sinα sinβ .简记:C (α ?β )

用-β 代替β

cos ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ?

两角和与差的余弦
45 ? ? sin 45 ? 30 ? 60 ? 60 ? 60 ? 30 ? 30 ? 45 ? 45 cos ? ? ? ? cos cos sin 45 ? 45 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1.请用特殊角分别代替公式中α、β,你会 求哪些非特殊角的余弦值呢?

两角和与差的余弦

β? cos ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 2 ?π ? ?β ? ? ? cos ? ?π ? cos β ? ? ? sinπ ? ? ? sin ? ? ?
2.若? 固定,分别用? , 结论呢?

?

?

?

?
2

代替?,你将发现什么

cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

可以进一步发现两角和与差的余弦公式与余弦的诱 导公式有密切的联系。

两角和与差的余弦

cos ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ?
3.倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由 赋值,你又将发现什么结论呢? 如:cos(α+α)= cos2α=cos2α-sin2α,

cos(α-α)=cos0= cos2α+sin2α=1.…

探究(三):公式的正向应用

例1.利用余弦公式求cos15°的值.
解: cos 15 ? cos (45 -30 ) = cos 45 cos 30 ? sin 45 sin 30 2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4 构造特殊角求值

另解:求 cos15 的值。
cos15 =cos 60 ? 45 = cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45 1 2 3 2 6? 2 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

?

?

思考:如何求sin 15 、 sin 75 的值。

?

?

两角和与差的余弦

cos ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ?
练习:
(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°

(2)cos215°-sin215° (3)cos80°cos35°+cos10°cos55° 智 力 抢 答

探究(三):公式的正向应用
4 3? ? ? 例2. 已知 cos ? ? ? (? ? ? ? ) , 求 cos( ? ? ) , cos( ? ? ) . 5 2 6 6
3? 3 2 解: sin ? ? cos ? ? 1且(? ? ? ? ), ? sin ?= ? 1 ? cos ? ? ? , 2 5
2 2

? cos(

?
6

? ? ) ? cos

?
6

cos ? ? sin ? sin

?
6

?

3 4 3 1 ? (? ) ? (? ) ? 2 5 5 2

3? 4 3 ?? , 10 3 4 3 1 cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin ? sin ? ? (? ) ? (? ) ? 6 6 6 2 5 5 2 ? 3?4 3 . 10

?

?

?

给值求值

理论迁移 给值求值
3 练习1:已知 sin a ? ? ,? 是第四象限的角,求 5 cos(

?
4

? ? )的值。

12 3 思考:?,? 为锐角,cos(? ? ? ) ? ,cos(2? ? ? ) ? , 求cos?。 13 5

给值求值

5 4 ?? ? 练习2:已知 sin? ? , ? ? ? , ? ? , cos? ? ? , ?2 ? 13 5 β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 4 ? ? ? 解:由 sin? ? , ? ? ? ,? ? , 得 ?2 ? 5 2
3 ?4? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? ? 5 又由 cos? ? ? 13 , β是第三象限角,得
2 2 2

12 ? 5? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 33 所以cos(α-β)= cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

65

探究(三):公式的正向应用

给值求值

4 例3.已知 ? , ? 都是锐角,cos ? ? , 5 5 cos(? ? ? ) ? ? , 求cos ? 的值。 13

提示: 拆角思想:cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ? .

探究(三):公式的逆向应用

抢答
例()求值 4. 1 cos 20? cos 25? ? sin 20? sin 25?
(2)化简cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

解:原式 ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos ? .

练习1:化简求值

(1) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70
(2) cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )

(3) cos 58 cos 37 ? cos 32 cos 53

4 4 2.已知 cos(? ? ? )= , cos(? ? ? )=- ,且 5 5 ? 7? ? ? 3? ? ? +? ? ? , 2? ? , ? -? ? ? , ? ? 求 cos 2? ? 4 ? ? 4 ?
提示: 拆角思想:cos 2? ? cos ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? .

探究(三):公式的变形应用
3 4 例5.已知sin? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 求cos(? -? )。 5 5

练习:已知sin? ? sin? ? sin8 ? 0,cos? ? cos? ? cos8 ? 0, 求cos(? ? ? ).
给值求值

拓展练习: 3 1 若 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 求 cos( ? ? ? ) 的值 . 2 2 解:由已知条件得知

3 ( sin ? ? sin ? ) ? sin ? ? 2sin ? sin ? ? sin ? ? 4
2 2 2

1 (cos ? ? cos ? ) ? cos ? ? 2 cos ? cos ? ? cos ? ? 4 将上面两个式子相加得到:
2 2 2

2?( 2 sin ? sin ? ? cos ? cos ? ) ? 1 1 所以 cos ( ? ? ? ) ? . 2

探究(三):公式的变形应用
5 例6. 已知A为锐角,B为钝角,且sinA ? , 5 3 10 cos B ? ? , 求A-B. 10
1 13 ? 练习:已知cos? ? ,cos(? -? ) ? ,且0 ? ? ? ? ? , 求 7 14 2 ?的值。

给值求角

探究(三):公式的变形应用
3 1 例7.求函数f ( x) ? cos x ? sin x的周期 . 2 2

解:原式 ? cos x cos

?
6

? sin x sin

?
6

? cos( x ? ) 6 所以函数的周期是2? .

?

公式的变形应用

练习 : 求函数 f ( x ) ? sin x ? 3 cos x的最值 .
1 3 解: f ( x ) ? 2 ( sin x ? cos x ) 2 2 ? 2 ( cos x cos ? 2 cos ( x ? 所以当x ? 2k? ?

?

6 )

? sin x sin

?
6

)

?
6

?

6 7? 当x ? 2k? ? , k ? Z时最小值是 ? 2 . 6

,k ? Z时最大值是 2 ;

小结反思、消化知识
1、学习了两角和与差的余弦公式的推导。

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2、强化了对公式的正向、逆向、变形应用。

1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如 数形结合,化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等,我们要深刻理解和 领会.
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号.

3.在差角的余弦公式中,α,β 既可以是 单角,也可以是复角,运用时要注意角 的变换,如,2β=(α+β )-(α-β)
? ? (? ? ) ?
6

等.同时,公式的应用具有 灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.
6

?

?

作业: P127练习:1,2,3,4.

分层作业,满足需求
A层:非常学案中的剩余练习,课本 135页A组 2、3,B组1、2、4、5. B层:课本135页探索与研究。


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