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高中物理竞赛教程:3.4《磁场对运动电荷的作用》


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§3.4 磁场对运动电荷的作用
3.4.1,洛伦 力 . . ,洛伦兹力
载流导线所受的安培力,我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力, 经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的. 根据安培定律 F = IBL sin θ ,而电流强度与运动电荷有关系 I = qnvs ,θ 角既 是电流元 IL 与 B 的夹角,也可视为带电粒子的速 度 v 与 B 之间的夹角, L 长导线中有粒子数
z

N = nLS ,则每个电子受到的力即洛伦兹力为
f = F qnvSBL sin θ = = qvB sin θ N nLS

f

O q

洛伦兹力总是与粒子速度垂直,因此洛伦兹力 不作功,不能改变运动电荷速度的大小,只能改变 速度的方向,使路径发生弯曲.

图 3-4-1 B θ v⊥

x

v

y

洛伦兹力的方向从图 3-4-1 可以看出,它一定与磁场(B)的方向垂直,也与粒子 运动( v )方向垂直,即与 v ,B 所在的平面垂直,具体方向可用左手定则判定.但应 注意,这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向,它恰与负电荷沿相反方 向运动等效.

3.4.2,带电粒子在匀强磁场中的运动规律 . . ,
带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下: 如果带电粒子原来静止,它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用,因而保 持静止. 如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上,该粒子仍不受洛伦磁

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力的作用,粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动. 带电粒子速度方向与磁场方向垂直,带电粒子在垂直于磁 场方向的平面内以入射速度 v 作匀速圆周运动.带电粒子在匀 强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式. v2 qvB = m R (1)向心力公式: R= (2)轨道半径公式: mv Bq
A



θ
f

α
O

θ f

B

图 3-4-2

(3)周期,频率和角频率公式,即: T= 2πR 2πm 1 Bq 2π Bq = f = = ω= = 2πf = v Bq , T 2πm , T m
Ek = 1 2 p 2 ( BqR ) 2 mv = = 2 2m 2m

(4)

动能公式:

如图 3-4-2 所示,在洛伦兹力作用下,一个作匀速圆周运动的粒子,不论沿顺 时针方向运动还是沿逆时针方向运动,从 A 点到 B 点,均具有下述特点: (1)轨道圆心(O)总是位于 A,B 两点洛伦兹力(f)的交点上或 AB 弦的中垂线 OO′ 与任一个 f 的交点上. (2)粒子的速度偏向角 等于回旋角 a ,并等于 AB 弦与切线的夹角(弦切角 θ ) 的两倍,即 = a = 2θ = ωt . 磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的,但任何一个带电粒子运动的速度 ( v )都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分 解,得到 v ⊥ 和 v // 两个分速度.根据运动的独立性可知, 这样的带电粒子一方面以 v // 在磁场方向上作匀速运

v v⊥

v‖ f B
r

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图 3-4-3

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动,一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为 v ⊥ 的匀速圆周运动.实际上粒子作 螺旋线运动(如图 3-4-3),这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难 解决.其螺旋运动的周期 T = 2πm / qB ,其运动规律: r= mv sin θ qB

螺旋运动回旋半径:

螺旋运动螺距: h = v // T = 2πmv cos θ / qB

3.4.3,霍尔效应 . . ,
将一载流导体放在磁场中,由于洛伦兹力的 作用,会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏 转,在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电 势差,这一现象称为霍尔效应. 如图 3-4-4 所示, 电流 I 在导体中流动, 设导 体横截面高 h, 宽为 d 匀强磁场方向垂直与导线前, 后两表面向外, 磁感强度为 B, 导体内自由电子密度为 n,定向移动速度 v
h d

I

E

图 3-4-4

I = nevh d
由于洛伦兹力作用,自由电子向上表面聚集,下表面留下正离子,结果上下 表面间形成电场,存在电势差 U,这个电场对电子的作用力方向向下,大小为
F = eE = e U h

当 F 与洛伦磁力 f 相平衡时,上,下表面电荷达到稳定,则有
e U = evB h IB ned
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U=
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如果导电的载流子是正电荷, 则上表面聚集正电荷, 下表面为负电势,电势差正,负也正好相反. 下面来分析霍尔电势差,求出霍尔系数. 在图 3-4-5 中,设大块导体的长和宽分别为 L 和 d, 单位体积自由电荷密度为 n,电荷定向移动速率为 v , 则电流 I = nqLdv .
L
d

B

+

+
I

+

a







a′

图 3-4-5

假定形成电流的电荷是正电荷,其定向移动方向就是电流方向.根据左手定 则,正电荷向上积聚,下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚,上正下负电压
F = qE = q Uaa ′ L 的作用. q

为 Uaa ′ ,正电荷受到跟磁场力反向的电场力

Uaa ′ = qBv L 电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用,当最后达到平衡时 ,

可得

Uaa ′ = BLv = BL

I BI 1 = nqLd d nq . 可见, 理论推导的结果跟实验结果完全一致,

系数

k=

1 nq .

既然 k 跟 n 有关,n 表征电荷浓度,那么通过实验测定 k 值可以确定导体或半 导体的电荷浓度 n,半导体的 n 值比金属导体小得多,所以 k 值也大得多.此外根 据左手定则还可知, 即使电流 I 就是图 3-4-6 中的流向, 如果参与流动的是正电荷, 那么电压就是上正下负;如果参与定向移动的是自由电子,那么电压就是上负下 正了.霍尔电势的高低跟半导体是 p 型的还是 n 型的有如此的关系:上正下负的 是 p 型半导体,定向载流子是带正电的空穴:上负下正的是 n 型半导体,如果 k 值小得多就是金属导体,定向载流子是自由电子.

3.4.4,磁聚焦 . . ,
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运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于"磁聚焦技术" . 如图 3-4-7,电子束经过 a,b 板上恒定电场加速后,进入 c,d 极板之间电场, c,d 板上加交变电压,所以飞出 c,d 板后粒子速度 v 方向不同,从 A 孔穿入螺线 管磁场中, 由于 v 大小差不多, v 与 B 夹角 θ 很小, 且 则
a b
I

v // = v cos θ ≈ v

A
d

A′

v⊥ = v sin θ ≈ vθ
由于速度分量 v ⊥ 不同,在磁场中它们将沿不同

I

图 3-4-7
2πmv // 2πmv ≈ qB qB 后

半径的螺旋线运动.但由于它们速度 v // 分量近似相等,经过

h=

又相聚于 A′ 点,这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似,所以叫做磁聚焦现象. 磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜.

3.4.5,复合场中离子的运动 . . ,
1.电场和磁场区域独立 磁场与电场不同, 磁场中, 洛伦磁力对
P y

运动电荷不做功,只改变带电粒子速度方 向, 所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要
Q x

表现为:匀速圆周运动,螺旋运动,匀速直 线运动.而电场中,电荷受到电场力作用, 电场力可能对电荷做功, 因而改变速度大小
图 3-4-8

和方向,但电场是保守场,电场力做功与运动路径无关.处理独立的电场和磁场 中运动电荷问题,是分开独立处理.

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例:如图 3-3-8 所示,在 xoy 平面内,y>O 区域有匀强电场,方向沿-y 方向, 大小为 E,y<O 区域有匀强磁场,方向垂直纸面向里,大小为 B,一带电+q,质量 为 m 的粒子从 y 轴上一点 P 由静止释放,要求粒子能经过 x 轴上 Q 点,Q 坐标为 (L,O),试求粒子最初释放点 P 的坐标. 分析:解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点.从 y 轴上释放 分析 后,只受电场力加速做直线运动,从 O 点射入磁场,然后做匀速圆周运动,半圈 后可能恰好击中 Q 点,也可能返回电场中,再减速,加速做直线运动,然后又返 回磁场中,再经半圆有可能击中 Q 点,…….那么击中 Q 点应满足 n 2 R = L 的条 件. 2.空间区域同时存在电场和磁场 (1) 电场和磁场正交 如图 3-4-9 所示,空间存在着正交的电场和磁场区域,电场平行于纸面平面向 下,大小为 E,磁场垂直于纸面向内,磁感强度为 B,一带电粒子以初速 v0 进入磁 场, v0 ⊥ E , v0 ⊥ B ,设粒子电量+q,则受力: f 洛= qv0 B 方向向上,F 电=qE 方向向下.若满足: qv0 B =qE v0 =E/B 则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动,这是一个速度选择器模型. 若粒子进入正交电磁场速度 v ≠ v0 ,则可将 v 分解为 v = v0 + v1 ,粒子的运动可 看成是 v0 与 v1 两个运动的合运动,因而粒子受到的洛伦兹力可看成是 qv0 B 与 qv1 B 的合力,而 qv0 B 与电场力 qE 平衡,粒子在电场中所受合力为 qv1 B ,结果粒子的
E B

υ0

图 3-4-9

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运动是以 v0 的匀速直线运动和以速度 v1 所做匀速圆周运动的合运动. 例:如图 3-4-10 正交电磁场中,质量 m,带电量+q 粒子由一点 P 静止释放, 分析它的运动. 分析:粒子初速为零释放,它的运动轨迹是如图 3-4-10 所示的周期性的曲线. 分析 初速为零,亦可看成是向右的 v0 与向左- v0 两个运动的合运动,其中 v0 大小为: v0 =E/B 所以+q 粒子可看成是向右 v0 匀速直线运动和逆 时针的匀速圆周运动的合运动.电场方向上向下最 大位移 图 3-4-10 d m = 2R
m+

P

P 1
Q

P2

P3

R=

mv0 mE = qB qB 2
2mE qB 2

dm =

一个周期向右移动距离 L 即 PP 1 之距为
L = v0 T T= 2πm qB L= 2πmE qB 2
E B

υ0

代入,得: 最低点 Q 点速度

图 3-4-11
vQ = 2v 0

(2) 电场和磁场平行 如图 3-4-11 所示的空间区域有相互平行的电场和磁场 E,B 一带电+q 粒子以
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初速 v0 射入场区 v0 ⊥ E (或 B).则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动,电场力 作用下向上做加速运动,由于向上运动速度分量 v1 始终与 B 平行,故粒子受洛伦 磁力大小恒为 qv0 B ,结果粒子运动是垂直于 E(或 B)平面的半径 R=m v0 /qB 的匀速 圆周运动和沿 E 方向匀加速直线运动的合运动,即一个螺距逐渐增大的螺旋运动. (3) 电场力,洛伦磁力都与 v0 方向垂直,粒子做匀速圆周运动. 例如电子绕原子核做匀速圆周运动,电子质量 m,电量为 e,现在垂直轨道平 面方向加一匀强磁场,磁感强度大小为 B,而电子轨道半径不变,已知电场力 3 倍 与洛伦磁力,试确定电子的角速度. 在这里电子绕核旋转,电场力,洛伦磁力提供运动所需向心力,即
f 电+ f 洛= mv 2 / r

而 f 洛可能指向圆心,也可能沿半径向外的,因而可能是
3evB + evB = mv 2 / r 3evB evB = mv 2 / r

ω1 =

2eB 4eB ω2 = m 或 m

典型例题
例 1.在如图 3-4-12 所示的直角坐标系中,坐标原点 O . 固定电量为 Q 的正点电荷,另有指向 y 轴正方向(竖直向上 方向),磁感应强度大小为 B 的匀强磁场,因而另一个质量 为 m,电量力为 q 的正点电荷微粒恰好能以 y 轴上的 O ′ 点 为圆心作匀速圆周运动,其轨道平面(水平面)与 xoz 平面平
z
Q

yB
O′

x

O

图 3-4-12
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行,角速度为 ω ,试求圆心 O ′ 的坐标值. 分析:带电微粒作匀速圆周运动,可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况 分析 下除非 O ′ 与 O 不重合,必须要考虑第三个力即重力.只有这样,才能使三者的 合力保证它绕 O ′ 在水平面内作匀速圆周运动. 解:设带电微粒作匀速圆周运动半径为 R,圆心的 O ′ 纵坐标为 y,圆周上一点 tgθ = R y

与坐标原点的连线和 y 轴夹角为 θ ,那么有 带电粒子受力如图 3-4-13 所示,列出动力学方程为 mg=F 电 cosθ
2 f 洛-F 电 sin θ = mω R

(1) (2) (3)
Q

yB
O′
f洛

F电

f 洛= qωRB 将(2)式变换得 f 洛- mω R = F 电 sin θ
2

θ
O

mg
x

(4)
z

将(3)代入(4),且(1)÷(4)得
mg y = 2 qωRB mω R R y= mg qω B mω 2

图 3-4-13

消去 R 得

例 2.如图 3-4-14 所示,被 1000V 的电势差加速的电 子从电子枪发射出来,沿直线 a 方向运动,要求电子击中

T

α
d

a

在 a 方向, 距离枪口 5cm 的靶 M, 对以下两种情形求出所 用的均匀磁场的磁感应强度 B.

M

图 3-4-14

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(1)磁场垂直于由直线 a 与点 M 所确定的平面. (2)磁场平行于 TM. 解: (1)从几何考虑得出电子的圆轨道的半径为(如图 3-4-15)
r= d 2 sin a
T
a

按能量守恒定律,电荷 Q 通过电势差 U 后的速度 v 为
1 2 mv = UQ 2

α
B

α



v=

2UQ m
F = QBv

d 2

图 3-4-15

M

作用在电荷 Q 上的洛伦磁力为

这个力等于向心力

mv 2 = QBv r B= mv rQ

故所需的磁感应强度为 用上面的半径和速度值,得到
B=

2 sin a d

2U m Q

由于 m = 9.11 × 10

31

kg , Q = 1.6 × 10 19 C ,所以

B=0.0037T

(2) 在磁场施加的力与速度垂直, 所以均匀恒定磁场只改变电子速度的方向, 不改变速度的大小. 我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量: 沿磁场 B 方向的 v cos a 和 垂直磁场的 v sin a ,因为 v cos a 在磁场的方向上,磁场对它没有作用力(图 3-4-16).

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电子经过 d/ v cos a 时间后到达目标 M.由于磁场 B 和 垂直的速度分量 v sin a ,电子在圆轨道上运动,由 mv 2 sin 2 a = BQv sin a r 得到圆半径为 r= mv sin a QB
α υ cos α

υ cos α
T

υ
d

B M

图 3-4-16

电子在目标 M 的方向上也具有速度 v cos a ,结果是电子绕 B 方向作螺旋线运 动.电在在 d/ v cos a 时间内,在绕了 k 圈后击中目标.K 是一个整数.圆的周长为
2πr = 2πmv sin a / QB

由于绕圆周运动的速度是 v sin a ,故绕一周的时间是 2πm d = k v cos a v cos a QB d/
B=k

2πmv sin a 2πm = QBv sin a QB

这个值乘上整数 k,应等于

因此,所需的磁感应强度为

2m cos a 2π cos a v = k Qd d

2U m Q

k=1 时,电子转一圈后击中目标:k=2 时,电子转两圈后击中目标,等等.只 要角度 a 相同,磁场方向相反与否,无关紧要. 用给出的数据代入,得 B=k×0.0067T

例 3.一根边长为 a,b,c(a>>b>>c)的矩形截面长棒, . 如图 3-4-17 所示,由半导体锑化铟制成,棒中有平行于 a 边
B a
b

的电流 I 通过,该棒放在垂直于 c 边向外的磁场 B 中,电流 I
c

所产生的磁场忽略不计.该电流的载流子为电子,在只有电 场存在时,电子在半导体中的平均速度 v = E ,其中 为迁

图 3-4-17

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移率. (1) 确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向. (2) 计算夹 c 边的两表面上相对两点之间的电势差. (3) 如果电流和磁场都是交变的, 且分别为 I = I 0 sin ωt ,B = B0 sin(ωt + ), 求(2)中电势差的直流分量的表达式.
2 22 3 已知数据:电子迁移率 = 7.8m / V s ,电子密度 n = 2.5 × 10 / m ,I=1. 0A,

B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6×10-19C 分析: 分析: 这是一个有关霍尔效应的问题,沿电流方向,导体内存在电场,又 因为霍尔效应,使得电子偏转,在垂直电流方向产生电场,两侧面间有电势差的 存在 解: (1)因为
v=

I = nevb c
1 = 25m / s nebc

所以电场沿 a 方向分量
E // = v / = 3.2V / m

沿 c 方向的分量 总电场大小:

qvB = qE⊥

E ⊥ = vB = 2.5V / m

2 2 E = E // + E ⊥ = 4.06V / m

tg 1 (
电场方向与 a 边夹角 a , a = (2) 上,下两表面电势差

E⊥ 2.5 ) = tg 1 ( ) = 38 E // 3.2

U ⊥ = E ⊥ c = 2.5 × 10 3 V

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(3)加上交变电流和交变磁场后,有前面讨论的上,下表面电势差表达式
U= IB nec ,可得:

U⊥ =

IB I 0 B0 = sin ωt sin(ωt + ) nec nec

I 0 B0 1 1 2 cos(2ωt + ) + 2 cos = nec

因此 U ⊥ 的直流分量为

I 0 B0 cos U ⊥ 直= 2nec
z

y
E

O

例 4.如图 3-4-18 所示,空间有互相正交的匀强电场 E 和 匀强磁场 B,E 沿+y 方向,B 沿+z 方向,一个带正电+q,质量

B

x

图 3-4-18

为 m 的粒子(设重力可以忽略),从坐标圆点 O 开始无初速出发,求粒子坐标和时 间的函数关系,以及粒子的运动轨迹. 分析: 分析:正离子以 O 点起无初速出发,受恒定电场力作 用沿+y 方向运动,因为速度 v 的大小,方向都改变,洛伦 兹力仅在 xOy 平面上起作用,粒子轨迹一定不会离开 xOy 平面且一定以 O 为起点. 既然粒子仅受的两个力中一个是 恒力一个是变力,作为解题思路,利用独立性与叠加原理,我们设想把洛伦兹力 分解为两个分力,使一个分力跟恒电场力抵消,就把这个实际受力简化为只受一 个洛伦兹力分力的问题.注意此处不是场的分解和抵消,而是通过先分解速度达 到对力进行分解和叠加. 我们都知道,符合一定大小要求的彼此正交的匀强复合电磁场能起速度选择 器作用. 受其原理启发, 设想正离子从 O 点起(此处 v0 = 0 )就有一个沿 x 轴正方向,
y
B x

( x, y )
O υ t C

图 3-4-19

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大小为

v0 =

E B 的始终不变的速度,当然在 O 点同时应有一个沿-x 方向的大小也是

E B 的速度,保证在 O 点 v0 = 0 ,则 qBvc = qE , qBv c 沿-y 方向,qE 沿+y 方向,彼

此抵消,可写成 f B (vc ) = F ( E ) .因任一时刻 vt = vc + v ′ ,所以 f B (vt ) = f B (vc ) + f B (v ′) ,或改写成: f B (vt ) + F ( E ) = f B (v ′) .始终的三个速度和 f B 都在 xOy 平面上,其物理意义是:正离子在复合场中受的两个真实的力 f B ( vt )和 F(E)的矢量和,可以用一个洛伦磁力分力 f B (v′) 来代替,这样做的一个先决条件是 把正离子运动看成以下两个分运动的合成: ①沿+x 方向的 vc =E/B 的匀速直线运动; ②在 xOy 平面上的一个匀速圆周运动,其理由是: f B (v′) 是平面力,轨迹又是平面 的不是三维空间的,所以 f B (v′) 必与 v′ 垂直,在 O 点 v′ 就是- vc ,之后 f B (v′) 不对 T= 2πm qB ,

离子作功, v′ 大小不变, f B (v′) 充当向心力.这个圆周运动特征量是: ω=
2π qB r = mv ′ = mE = qB qB 2 . T m ,

解:t=0 时刻,正离子位于 O 点,此时起离子具有两个速度:一是速度方向始 终不变,大小为 vc =E/B 的速度.由这个速度引起的洛伦磁力跟电场力抵消.另一 个速度是在 O 点时沿-x 方向的大小为 E/B 的速度,该速度引起的洛伦磁力指向(0,
mE 2 + qB )点,这点就是 t=0 时的圆心.之后该圆心以速率 vc 沿平行于 x 轴正向的方向

无滑动开始平动,正离子是该圆周上的一个点,且 t=0 是恰好就是该圆与 x 轴的切 点即坐标原点,此后,正离子相对圆心以角速度 ω 顺时针绕行.在 xOy 平面上, 粒子的轨迹被称为旋轮线,其坐标值随时间的变化为参数方程:
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z=0
x = v c t r sin ωt = E mE qB t sin t 2 B m qB

(1)

(2)

y = r r cos ωt =

mE qB (1 cos t) 2 m qB

(3)

有一定数学能力的人不妨尝试把参数 t 消去得出 y 与 x 的关系式, 用来表示其 轨迹的方法. 点评:设想一个轮子沿地面做无滑动的滚动,轮子边缘用红颜料涂上色,观察这 个边缘所得的运动轨迹就是旋轮线.

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