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力学竞赛辅导讲义4.8


力学竞赛辅导讲义——碰撞
一、内容要点精讲
1、碰撞的定义
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触,速度发生突然改变的力 学现象称为碰撞。 2、碰撞现象的基本特征 碰撞过程时间极短.碰撞物体在这一过程中的位移可略去不计,但速 度可产生有限变化。碰撞时产生的碰撞力可能极大并发生急剧变化,难以 测量。通常用碰撞力在碰撞过程中的冲量来度量碰撞的强弱,碰撞冲

量为

式中, v 和 u 分别是物体作为质点在碰撞开始瞬时和碰撞结束瞬时的速度。

3、研究碰撞问题的两点基本假设
(1)在碰撞过程中,普通力(非碰撞力)的冲量忽略不计; (2)在碰撞过程中,物体的位移忽略不计。 4、碰撞过程的两个阶段 (1)变形阶段。从两个物体开始接触到两者接触点处沿公法线方向无相 对速度为止,这时变形获得最大值。 (2)恢复阶段。从两个物体接触点处在公法线方向获得分离速度到两个 物体脱离接触为止。在这阶段中物体的变形得到部分或全部恢复。

5、碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力,称为碰撞力。
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(1)按物体的相处位置分类 对心碰撞与偏心碰撞:若碰撞力的作用线通过两物体的质心,称为对 心碰撞,否则称为偏心碰撞。见下图(a),图(b) 正碰撞、斜碰撞:若两物体碰撞时各自质心的速度均沿着接触处的公 法线,称为正碰撞;否则称为斜碰撞。下图中,AA 表示两物体在接触处的 公切面,BB 为其在接触处的公法线

(2) 按其接触处有无摩擦,分为光滑碰撞与非光滑碰撞。 (3) 按物体碰撞后变形的恢复程度(或能量有无损失),可分为完全弹 性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。 ( k ? 1 ,完全弹性碰撞; k ? 0 ,非弹性碰撞 或塑性碰撞; 0 ? k ? 1 ,弹性碰撞)

6、恢复因数 K
恢复因数 K 表示物体在碰撞后速度的恢复程度,也表示物体变形恢复 的程度,并反映出碰撞过程中机械能损失的程度。 (1)正碰撞 k

式中 和

分别表示碰撞开始和碰撞结束时质心的速度。

(2)斜碰撞 k
2

式中 ? 和? 分别是入射角和反射角 (3)两物体相互碰撞

式中

分别为两物体的碰撞点在碰撞结束和碰撞开始时沿接触面

法线方向的相对速度。

7、解决碰撞问题的基本定理
一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式,来确定力的作用与运动 变化的关系。

(1)用于碰撞过程的动量定理——冲量定理

上式用于碰撞过程的质点系动量定理,又称为冲量定理: 质点系在碰 撞开始和结束时动量的变化,等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢(公 式中不计普通力的冲量) 或 式中 和 分别是碰撞开始和结束时质心的速度。上式称为碰撞时

的质心冲量定理。

(2)用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理


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上式用于碰撞过程的动量矩定理,又称为冲量矩定理:质点系在碰撞开 始和结束时对任一点 O(或轴 z )的动量矩的变化,等于作用于质点系的外 碰撞冲量对同一点(或轴 z )的矢量和(或代数和) 。 对于刚体统定轴 z 转动的情形,上式可写为

式中 ?和?o 分别表示刚体在碰撞结束瞬时和开始瞬时的角速度, J z 是刚体对 轴 z 的转动惯量。 当外碰撞冲量对某点或某轴)的矩的矢量和(或代数和)等于零时, 则质 点系对该点(或该轴)的动量短守恒。

(3)刚体平面运动的碰撞方程(用于刚体平面运动碰撞过程中的 基本定理)

式中 ?1和?2 分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度。

8、撞击中心
如图所示,若刚体具有与转轴垂直的对称面, 欲使其在外碰撞冲量作用下, 转轴处不产生碰撞冲 量,则外碰撞冲量 I 必须作用在物体的对称平面 内,且垂直于质心 C 与转轴的连线, I 的作用线到 转轴的距离为

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则称点 K 称为撞击中心。 即:当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心,且垂直于轴 承中心与质心的连线时,在轴承处不引起碰撞冲量。 二、知识结构图解

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三、习题分类.解题步骤
1、习题分类 (1)含有对心碰撞或正碰撞的动力学问题。 (2)含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的动力学问题。 2、解题步骤和要点 (1)首先应明确运动过程可能出现的 3 个阶段.即碰撞前阶段、碰撞阶 段和碰撞后阶段。根据题意,恰当选取各阶段的研究对象。对于碰撞前阶 段和撞后阶段,应按照动力学的常规方法处理;而对于碰撞阶段,应根据 碰撞的特征、假设和基本定理、恢复因数公式等进行特殊的分析和计算。 (2)撞前阶段。分析撞前阶段有关物体的受力情况和运动精况,按动力 学常规方法计算物体碰撞开始瞬时的力学要素(如:物体的角速度,质心的 速度,碰撞接触点的速度等)。 (3)碰撞阶段的力学分析。 (a)首先应明确是研究碰撞的哪一个阶段:变形阶段,恢复阶段,还是 碰撞的全过程。 (b)对碰撞物体进行受力分析和运动分析。首先要分清平常力和碰撞 力,并忽赂碰撞过程中物体的位移和平常力的冲量,还要分清内碰撞冲量 和外碰撞冲量,只考虑外碰碰撞冲量。 (c)把有关力学要索(如:碰撞冲量,物体的角速度及其质心速度和碰 撞接触处的的速度等)画在研究对象上,最好能分别画出碰撞开始和结束两 瞬时的力学要素图。 (4)建立碰撞阶段的力学方程。
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四、重点与难点
1.重点 (1)碰撞现象的特点。 (2)恢复因数的物理意义和计算。 (3)碰撞阶段的基本定理及其应用。 (4)撞击中心。 2.难点 (1)正确划分包含碰撞的动力学问题的不同阶段,一般可能出现撞前阶 段,碰撞阶段和撞后阶段。 (2)刚体平面运动的碰攫方程及其应用。

典型例题举例
例 1:恢复系数测定法:质量分别为 m 和 mz 的小球用等长的绳子挂起来, 将其中一球拉过偏角 ? ,然后无初速度地释放,它撞击另一球,使它产生 的最大偏角为 ? ,设 ? 与 ? 已由实验测出,求恢复因数 k。

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例 2:匀质细杆 AB 的质量是 m ,对质心 C 的回转半径是 ? c ,由水平位置无 初速释放,下落高度 h 后扦上的 D 点碰在桌子边缘上,点 D 到质心 C 的距离 是 d ,如图(a)所示,假定是完全塑性碰撞, k ? 0 ,求碰撞结束瞬时质心 c 的速度 u c ,杆的角速度 ? 及碰撞冲量 I D 。

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练习题
1、如图一所示,用打桩机打入质量为 50 kg 的桩柱,打桩机的质量为 450 kg ,由高度 h= 2m 处落下,其初始速度为零。如恢复因数 k=0,经过一 次锤击后,桩柱深入 1 cm ,试求桩柱进入土地时的平均阻力。

图一

图二

图三

2、如图二所示,带有几个齿轮的凸轮绕水平的轴 O 转动,并使桩锤运 动。设在凸轮与桩锤碰撞前桩锤是静止的,凸轮的角速度为 ? 。若凸轮对轮
O 的转动惯量为 J o ,锤的质量为 m ,并且碰撞是非弹性的,碰撞点到轴的距

离为 r , 求碰撞后凸轮的角速度、 锤的速度和碰撞时凸轮与锤间的碰撞冲量。 3、一均质杆的质量为 m1 ,长为 l ,其上端固定在圆柱铰链 O 上,如图 三所示。杆由水平位置落下,其初始速度为零。杆在铅直位置处撞到一质 量为 m2 的重物,使后者沿着粗糙的水平面滑动,动摩擦因数为 f ,如碰撞 是非弹性的,求重物移动的路程。 4、球 1 速度 v =6 m /s,方向与静止球 2 相切,如图四所示,两球半径 相同、 质量相等, 不计摩擦。 碰撞的恢复因数 k=0.6, 求碰撞后两球的速度。

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/ 图四 提示

5、小球 A 的质量 mA =0.5 kg ,悬线长 l =1.2 m ,自图五(a)所示水平位 置 无 初 速 释 放 , 当 悬 线 转 到 图 五 (b) 所 示 铅 直 位 置 时 , 小 球 A 与 质 量
mB =1.5 kg 的静止物块 B 发生弹性碰撞。碰撞结束后悬线可摆回到与铅直线

成偏角 ? ? 15o 的位置,而物块 B 沿水平面向前移动了距离 s=1.1 m 而停止。 试求小球与物块碰撞的恢复因数,以及物块与水平面间的摩擦因数。

图五(a)

图四(b)

提示

6、如图六所示,在测定碰撞恢复因数的仪器中,有一均质质杆可绕水 平轴 O 转动,杆长为 l ,质量为 m1 。杆上带有用试验材料所制的样块,质量 力 m 。杆受重力作用由水平位置落下,其初角速度为零.在铅直位置时与 障碍物相碰。如碰撞后杆回到与铅直线成 ? 角处,求恢复因数 k 。又问:在 碰撞时欲使轴承不受附加压力,样块到转动轴的距离应为多大? 7、如图七所示,质量为 m 、长为 l 的均质杆 AB,水平地自由下落一段 距离 h 后与支座 D 碰撞( BD ? )。假定碰撞是塑性的,求碰撞后的角速度 ? 和碰撞冲量 I 。
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l 4

图六

图七

8、图八所一均质圆柱体,质量为 m ,半径为 r ,沿水平面作无滑动的 滚动。原来质心以 vc 等速运动,突然圆柱与一高为 h ( h <r)的凸台碰撞。设 碰撞是塑性的,求圆柱体碰撞后质心的速度 vc? 、柱体的角速度和碰撞冲量。

图八

提示

9、均质细杆 AB 置于光滑的水平面上,围绕其重心 C 以角速度 ?0 转动, 如图九所示。如突然将点 B 固定(作为转轴),问杆将以多大的角速度围绕 点 B 转动?

图九

图十

提示

10、 如图十所示, 质量为 m1 的物块 A 置于光滑水平面上, 它与质量为 m2 、 长为 l 的均质杆 AB 相铰接。系统初始静止,AB 铅垂, m1 ? 2m2 。今有一冲量 为 I 的水平碰撞力作用于杆的 B 端,求碰撞结束时,物块 A 的速度。
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