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河南省太康三高2010届高三第三次月考(数学)


太康三高 2010 届高三第三次月考 数学试题(文理)
说明:本试卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 试题中注明文科做的,理科考生不做;注明理科做的,文科考生不做;未作注明,文理 科考生都做. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) P (A· B) = P(A)· P(B)

如果事件 A、B 相互独立

,那么

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
k k n ?k 率 P n (k ) ? Cn P (1 ? P)

球的表面积公式 S ? 4? R 球的体积公式

2

其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径

4 V ? ? R3 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.如果全集 S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},那么 (CsM ) ? (CsN ) 等 于 A. ? 2. (文科)已知 ? ? ( B.{1,3} C.{4} D.{2,5}

?
2

, ? ) , sin ? ?
B.7

1 A. 7
(理科)复数 A. ? i
2

3 ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4 1 C. ? 7

D. ? 7

1 ? 2i 的虚部是 i
B.-1 C.1 D. i

3.命题“若 x <1,则-1< x <1”的逆否命题是 A.若 x >1,则 x >1 或 x <-1 C.若 x >1 或 x <-1,则 x >1
2 2

B.若-1< x ≤1,则 x <1 D.若 x ≥1 或 x ≤-1,则 x ≥1
2

2

4.设 a , b 是非零实数,若 a < b ,则下列不等式成立的是

A. a 2< b 2

2 B. a b 2< a b

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

D.

b a ? a b

5. (文科)抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为 A.

1 8

B. ?

1 8

C. 8

D. ? 8

(理科)下列四个命题中,不正确 的是 ... A.若函数 f ( x ) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x) ? lim? f ( x)
x?x 0 x?x 0

B.若函数 f ( x ) 、 g ( x) 满足 lim[ f ( x) ? g ( x)] ? 0 ,则 lim f ( x ) ? lim g ( x)
x ?? x ?? x ??

C.函数 f ( x ) =

x?3 的不连续点是 x =3 和 x =-3 x2 ? 9

D. lim
x ?1

x ?1 1 ? x ?1 2

6. (文科)函数 y ? 3x?1 (一 1≤x<0)的反函数是 A. y ? 1 ? log3x ( x ? 0) C. y ? 1 ? log3x (1 ? x ? 3) (理科)函数 y ? 3x
2

B. y ? ?1 ? log3x (1 ? x ? 3) D. y ? ?1 ? log3x ( x ? 0)

?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是
1 3
B. y ? 1 ? log 3 ( ? x ? 1)
x

A. y ? ? 1 ? log 3 ( x ? )
x

1 3

C. y ? ? 1 ? log 3 ( ? x ? 1)
x

1 3

D. y ? 1 ? log 3 ( x ? )
x

1 3

7.已知 m∈R,函数 f ( x) ? x ? mx 在[1,+∞)上是单调增函数,则 m 的最大值是
3

A.0

B.1

C.2 (

D.3 ) D.-10

8.等差数列 ?an ? 中, a4 ? a10 ? a16 ? 30, 则a18 ? 2a14 的值为 A.20 B.-20
2 2

C.

10

9. 过点(1,1)的直线 l 与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相交于 A、B 两点,当弦 AB 的长度最小时, 直线 l 的斜率为 A.2 ( B.-1 ) C.-2 D.1

10.已知 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面;下列命题中,正确的个数是 ①若 a ? ? , a ? ? 则 ? ? ? ; ②若 b ∥ ? , b ∥ ? 则 ? ∥ ? ;

③若 a ? ? , b ? ? 则 a ∥ b ; ④若 a ∥ ? , b ∥ ? 则 a ∥ b . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名 女生,则选派方案共有 A. 108 种
x

B.186 种
x

C. 216 种

D. 270 种

12. 若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 0 有实数解,则实数 a 的取值范围是 A. ?? ?,0? B. (??,0) C. ?0,??? D . (0,??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.(文科)一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查,参加调查的总 人数为 15000 人,其中持各种态度的人数如下表所示: 很喜爱 3000 喜爱 4500 一般 5000 不喜爱 2500

电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取选出 150 人进行更为详细的调 查,为此要进行分层抽样,那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________

2 3) ,又 (理科)设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1、2、3, P(? ? k ) ? ak ? b(k ? 1、、

? 的数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ?
14. ( x ? ) 的展开式中的常数项为
6

. .

1 x

? x ? 0, ? 15.设 x, y 满足约束条件: ? x ? y , 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ?2 x ? y ? 1, ?
16. (文科) 在 ?ABC 中, 已知 b ? 3, c ? 3 3, B ? 300 , 则 ?ABC 的面积 S?ABC ? (理科) 设 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ?) , 若 f( x) ? f ( x)
'

.

. .

是奇函数, 则? =

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值;
2

?

3 ? 2

? ?

(2) (文科)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 的值域; (3) (理科)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员相互没有影响地站在罚球线上投球,其中甲的命中率为 的命中率为

1 ,乙 2

2 ,现在每人都投球三次,且各次投球的结果互不影响.求: 3

(1)甲恰好投进两球的概率; (2) (文科)甲乙两人都恰好投进两球的概率; (3) (理科)甲比乙多投进两球的概率.

19. (本小题满分 12 分) 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AC ? BC ? AA 1 ? 2, ?ACB ? 90?, E、F、G 分 别 为

AC 、 AA 1 、 AB 的中点.
⑴求证: B1C1 ∥平面 EFG ; ⑵求 FG 与 AC1 所成的角; ⑶(理科)求三棱锥 B1 ? EFG 的体积.

20. (本小题满分 12 分)

已知等比数列 ?an ? , Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? a3 ? 5, S4 ? 15 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

5 ? log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; 2 1 3 (3) (理科)比较(2)中 n ? 2( n ? 1, 2,3 ???) 的大小,并说明理由. 2
(2)设 bn ?

21. (本小题满分 12 分) 如图,F1 (?3,0), F2 (3,0) 是双曲线 C 的两个焦点, 直线 x ?

4 是双曲线 C 的右准线. A1、A2 3

为双曲线 C 的两个顶点, 点 P 是双曲线 C 右支上异于 A2 的一动点, 直线 A1 P、A2 P 交双曲 线 C 的右准线分别为 M 、 N 两点.

⑴求双曲线 C 的方程; ⑵求证: F1M ? F2 N 为定值.

22. (本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的

取值范围为 (1,3) ,求: (1) f ( x ) 的解析式; (2) (文科) x ? [2,3] ,求 g ( x) ? f '( x) ? 6(m ? 2) x 的最大值; (3) (理科)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

数学试题参考答案及评分细则
一、选择题(50 分)
题号 答案 1 A 2 (文)A (理)B 3 D 4 C 5 (文)C (理)B 6 (文)B (理)C 7 D 8 D 9 D 10 11 B 12 B

二、填空题(25 分) 13. (文科) (理科) ? 16.

1 14.15 6

15.

9 9 3或 3 2 4

(理科)

? 6

三、解答题(75 分)

17. (1)? a || b ,∴

? ?

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2

2cos 2 x ? sin 2 x ?
? ?

2cos 2 x ? 2sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? sin 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 13
1 2

(6 分)

(2) (文科)? a ? b ? (sin x ? cos x, )

? ? ? 1 1 2 ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? (sin x ? cos x) ? cos x ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4
? ?1 ? s i n ( x 2? 4

?

? ) ,∴ 1 f(x)的值域为 [?

2 2 , ] 2 2

(文 12 分)

(3) (理科) f ( x) ? (a ? b) ? b ?

? ? ?

2 ? sin(2 x ? ) 2 4

∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2
(理 12 分)
2

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2
1 2
2

18. (1)记“甲恰好投进两球”为事件 A,则 P ( A) ? C3 ( )

1 3 ? (6 分) 2 8 1 2 1 2 1 2 2 2 1 (2) (文科)甲、乙两人均恰好投入 2 个球的概率 P ? [C3 ( ) ( )][ C 3 ( ) ( )] ? 2 2 3 3 6
(3) (理科) 记“甲比乙多投进两球”, 其中“恰好甲投进两球且乙未投进”为事件 C1 , “恰

好 甲 投 进 三 球 且 乙 投 进 一 球 ” 为 事 件 C2 , 根 据 提 议 , C1 、 C2 互 斥 ,

1 1 1 1 1 1 2 1 2 ( )( ) ? (理 12 分) P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? ( ) 3 C32 ( ) 2 ( ) ? ( ) 3 C3 3 2 2 2 3 3 24
19. (1) (2) (3) 20. (1)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? a3 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ? 5
2 2

(6 分) (文 12 分) (理 12 分)

S4 ? (a1 ? a3 ) ? a2 ? a4 ? a1q(1 ? q2 ) ? 10
∴ q ? 2, a1 ? 1

则 an ? 2n?1 (2)由(1)可知 bn ?

(文 6 分,理 4 分)

5 5 3 ? log 2 an ? ? (n ? 1) ? n ? 2 2 2 5 所以数列 {bn } 是一个以 为首项,1 为公差的等差数列 2 5 3 n( ? n ? ) n(b1 ? bn ) 2 ? n(n ? 4) ∴ Tn ? (文 12 分,理 8 分) ? 2 2 2 2 1 3 1 3 1 2 (3) (理科)∵ ( n ? 2) ? Tn ? (n ? n ? 4n ? 4) ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 2) 2 2 2 1 1 3 ∴当 n ? 1, 2 时, ( n ? 1)(n ? 2)(n ? 2) ? 0 ,即 Tn ? n ? 2 2 2 1 1 3 当 n ? 3 时, ( n ? 1)(n ? 2)(n ? 2) ? 0 ,即 Tn ? n ? 2 2 2 1 3 1 3 综上可知: n ? 1, 2 时, Tn ? n ? 2 ; n ? 3 时, Tn ? n ? 2 (理 12 分) 2 2
21. ⑴由已知 c ? 3,

a2 4 ? c 3

? a ? 2, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5
所求双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1; 4 5

⑵设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,M,N 的纵坐标分别为 y1 , y 2 .

? A1 (?2,0), A2 (2,0)

? A1 P ? ( x0 ? 2, y0 ), A2 P ? ( x0 ? 2, y0 )

10 2 A1 M ? ( , y1 ), A2 N ? (? , y 2 ) 3 3

? A1 P与A1M 共线
? ( x0 ? 2) y1 ? 10y0 10 y0 ? y1 ? 3 3( x0 ? 2)

同理 y 2 ?

12y0 3( x0 ? 2)

13 5 ? F1 M ? ( , y1 ), F2 N ? (? , y 2 ) 3 3

13 5 ? F1 M ? F2 N ? ( , y1 ) ? (? , y 2 ) 3 3
65 ? y1 y 2 9 2 20 y 0 65 ?? ? 2 9 9( x 0 ? 4) ?? ??
22. (文科) (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 在此 f ( x ) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4 ①

65 ? 9

20 ?

2 5( x0 ? 4) 4 ? ?10 2 9( x 0 ? 4)

f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ② f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

? a ? ?1 ? 由①②③联立得: ?b ? 6 ? c ? ?9 ?
∴ f ( x) ? ? x ? 6x ? 9x
3 2 2

(6 分)

(2) (文科) g ( x) ? ?3( x ?1)( x ? 3) ? 6(m ? 2) x ? ?3( x ? 2mx ? 3) ① ①当 2 ? m ? 3 时, g ( x)max ? g (m) ? ?3(m2 ? 2m2 ? 3) ? 3m2 ? 9 ②当 m<2 时,g(x)在[2,3]上单调递减, g ( x)max ? g (2) ? 12m ? 21 ③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上单调递增, g ( x)max ? g (3) ? 18m ? 36 (文 12 分) (3) (理科)设切点 Q (t , f (t ))

y ? f (t ) ? f , (t )( x ? t ) y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t )

? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0
令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。

需: ?

? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11

故: ?11 ? m ? 16 因此所求实数 m 的求职范围为: (?11,16) (理 12 分)


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