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2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题01 集合与常用逻辑用语 (含解析)


第 一 章

集合与常用逻辑用语
集合的基本运算

【背一背重点知识】 1.集合的基本概念 指定的某些对象的全体称为一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. a 是集合 A 的元素记作: a ? A (1) 集合的性质

a 不是集合 A 的元素记作: a ? A
无序性 互异性

r />确定性

(2) 集合的表示:列举法、描述法、韦恩图法、区间法 (3) 常见的数集:N( 自然数集 ) 、 N 或 N ? ( 正整数集 ) 、Z( 整数集 ) 、Q( 有理数 集 ) R( 实数集 ) 2.集合与集合的关系:交集,并集,补集
*

A? B ?

? x x ? A且x ? B?

A? B ?

? x x ? A或x ? B?

CU A ? ?x | x ? A且x ?U ?
3.真子集:集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? ?B 【讲一讲提高技能】 1. 必备技能:集合的表 示,集合的概念,集合的运算. 2. 典型例题:
2 例 1.设集合 M ? {x | x ? x ? 6 ? 0} , N ? {x |1 ? x ? 3} ,则 M ? N ? (



A. [1, 2) 【答案】A

B. [1, 2]

C. (2,3]

D. [2,3]

【分析】 :通过数轴表示可求两个集合的公共部分.

例 2.集合 P ? ? x

? x ?1 ? ? 0?, Q ? x y ? 4 ? x 2 ,则 P ? Q ? ( ) ? x?3 ?
1

?

?

A. (1 , 2] C. (??,?3) ? (1,??) 【答案】A

B. [1 , 2] D. [1 , 2)

【练一练提升能力】
2 1. 已知集合已知集合 A ? ??2,0, 2? , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?



A. ? 【答案】B

B. ?2?

C. ?0?

D. ??2?

【分析】 :分别求出集合 A 和集合 B,最后求交集. 【解析】 :由题意知 A ? ??2,0,2?, B ? ?2, ? 1? ,因此 A ? B ? ??2,0,2? ? ?2, ?1?= ?2? 2. 设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,3,5? ,集合 B ? ?3, 4? ,则 ? CU A ? ? B =( A. ?3? 【答案】D 【解析】由题 ? CU A ? ? B ? ?2,4? ??3,4? ? ?4? ,选 D. B. ?3, 4? C. ?2,3, 4? D. ?4? )

利用关系或条件求解参数范围问题

【背一背重点知识】 1. A ? B且B ? A ? A ? B 2. A ? B ? A ? A ? B

A? B ? A ? B ? A

【讲一讲提高技能】
2

1.必备技能:借助数轴,将集合间的相互关系在数轴上表示出来,先作出不变的集合,再在 数轴上将变动的集合作出,使之满足条件. 2.典型例题: 例 1.集合 A ? x x ? 2 ? 0? , B ? x x ? a? , 若 A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是(

?

?



- 2? A. ?- ?,
【答案】B

? ?? B. ?- 2,

2? C. ?- ?,

? ?? D. ?2,

【解析】由题意得, A ? x x ? ?2? , B ? x x ? a? , 要使得 A ? B ? A ,即 A ? B ,则

?

?

a ? ?2 ,故选 B.
2 例 2 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x m ? 2 ? x ? m ? 2, m ? R .

?

?

?

?

(Ⅰ)若 A ? B ? A ,求实数 m 的取值; (Ⅱ)若 A ? B ? x 0 ? x ? 3 ,求实数 m 的取值范围. 【答案】 :(Ⅰ) m ? 1 ;(Ⅱ) 1 ? m ? 2

?

?

【练一练提升能力】 1. 已知集合 A ? x ?1 ? x ? 1 , B ? x ?1 ? x ? a ,且 ? A ? B? ? ? A ? B? ,则实数 a ? ( )

?

?

?

?

A .0
【答案】 B

B .1

C .2

D. 3

【解析】由(A∪B)? (A∩B)易得 A∪B=A∩B,则 A=B,∴a=1
3

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1, a ? R} . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 ;

(Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) A ? ?CU B? ? ?x | ?1 ? x ? 2? ; (Ⅱ) ? 1 ? a ? 1

考点:集合的交运算;子集;补集;

利用逻辑联结词探求参数问题

【背一背重点知识】 1.命题的四种形式与相互关系 原命题:若 P 则 Q ; 若 ?Q 则 ? P 2.命题的条件与结论间的属性:
4

逆命题:若 Q 则 P

否命题: 若 ? P 则 ?Q

逆否命题:

若 P ? Q ,则 P 是 Q 的 充分条件 , Q 是 P 的 必要条件 . 3.全称量词与存在量词 全称量词:所有的,一切,全部, 都,任意一个, 每一个等; 存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等; 全称命题 P : ?x ? M , p( x) 特称命题 P : ?x ? M , p ? x ? 【讲一讲提高技能】 1 必备技能:四种命题以及相互关系;充分条件与必要条件的理解;全称命题与特称命题. 2 典型例题: 例 1.在 △ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c . 若 a ? 1, A ? 30? , 则“ B ? 60 ”
?

否定为 ?p : ?x ? M , ?p( x) 否定为 ?p : ?x ? M , ?p ? x ? .

是“ b ? 3 ”的 A.充分不必要条件 件. 【答案】A B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

2 2 2 例 2:已知两个关于 x 的一元二次方程 mx ? 4 x ? 4 ? 0 和 x ? 4mx ? 4m ? 4m ? 5 ? 0 ,

求两方程的根都是整数的充要条件. 【答案】 m ? 1 试题分析:由两方程都有实数解得到 ?

? ?1 ? 0 ,得到 m 的取值范围,由方程的根为整数可 ?? 2 ? 0

结合根与系数的关系可知两根和, 两根之积为整数, 从而得到 m 的限定条件, 从而求得 m 的 值

5

试题解析:∵ mx2 ? 4 x ? 4 ? 0 是一元二次方程,∴ m ≠0. 又另一方程为 x 2 ? 4mx ? 4m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,且两方程都要有实根,
2 ? ??1 ? (?4) ? 16m ? 0 ? 5 ? ∴? 解得 m ? ? ? ,1? . 2 2 ? 4 ? ? ?? 2 ? 16m ? 4(4m ? 4m ? 5) ? 0

∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,

?4 ?m ? Z ? ∴ ? 4m ? Z ∴ m 为 4 的约数. ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? Z ? ?
又∵ m ? ? ?

? 5 ? ,1? ,∴ m =-1 或 1. ? 4 ?
2

当 m =-1 时,第一个方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 的根不是整数; 而当 m =1 时,两方程的根均为整数, ∴两方程的根均为整数的充要条件是 m =1. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【练一练提升能力】

? x ?1 ? 2 ? 1.命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 (其中 a ? 0 ),命题 q :实数 x 满足 ? x ? 3 . ? 0 ?x?2 ?
2 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取 值范围. 【答案】(Ⅰ) ? 2,3? ; (Ⅱ) ?1, 2?

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 p : a ? x ? 3a 则 ?p : x ? a或x ? 3a ,

q : 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2或x ? 3 ,
? p 是 ? q 的充分不必要条件,则 ?p ? ?q, 且?q ?? ?p


?0 ? a ? 2 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 ?1, 2? . ? ? 3a ? 3
2

2.已知 a ? R ,命题 p : ?x ? ?1,2?,x -a ? 0 ,命题 q : ?x ? R,x2 ? 2ax ? 2-a ? 0 . (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.. 【答案】 (1) a ? 1 (2) a ? 1 或 ?2 ? a ? 1 .

(一) 选择题(12*5=60 分) 1. 已知 a , b 为实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

7

【答案】C 【解析】? a, b 是实数,? “ a ? 0 且 b ? 0 ” ? “ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ” ; “a ?b ? 0且

ab ? 0 ”则 ab ? 0 得 a 与 b 同号,又 a ? b ? 0 ,所以必有“ a ? 0 且 b ? 0 ” ,?“ a ? 0
且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ” 的充要条件,故选 C.
2 2.已知集合 A ? 3, a ,集合 B ? ?0, b,1 ? a? ,且 A ? B ? ?1 ? ,则 A ? B ? (

?

?

)

A . ?0,1,3?
【 答案】 C

B . ?1, 2, 4?

C . ?0,1,2,3?

D . ?0,1,2,3,4?

2 3. 设集合 M ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 N ? ? x ( ) x ? 4? ,则 M ? N =(

?

?

? ?

1 2

? ?



A. x x ? ?2 C. x x ? ?1 【答案】A 【解析】

? ?

?

B. x x ? ?1 D. x x ? ?2

? ?

? ?

?

试题分析: M ? x ?2 ? x ? ?1 , N ? x x ? ?2 ,故 M ? N ? x x ? ?2 ,选 A.
2 .4.已知 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 , q : ?x ? ? 0, ?? ? , sin x ? 1 ,则下列命题为真命题

?

?

?

?

?

?

的是(

) B. ? ?p ? ? q C. p ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ?

A. p ? ? ?q ? 【答案】A

5.命题“ ?x ??1,2? , x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是(
2



A .a ? 4
【答案】 C

B .a ? 4

C .a ? 5

D .a ? 5

8

【解析】原命题等价于“ a ? x 对于任意 x ??1, 2? 恒成立”,其充要条件是 a ? 4 ,所以 C
2

正确. 6.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 ? ? ?1,3,5? , ? ? ?2,5? ,则 Venn 图中阴影部分表示的 集合是( )

【答案】B 【解析】Venn 图中阴影部分表示的集合是 ?CU ? ? ? M ? ?1,3,4? ??1,3,5? ? ?1,3? ,故选 B 7.已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A ,则 m ? (

?

?



A . 0或 3
【答案】 B

B . 0或3

C . 1或 3

D . 1或3

【解析】 由 A? B ? A得B ? A, 有m? A , 所以有 m ?

m或m ? 3 ,即 m ? 3 或 m ? 1 或

m ? 0 ,又由集合中元素互异性知 m ? 1 ,故选 B .
8.已知 x 为实数 ,条件 p : x ? x ,条件 q :
2

1 ? 2 ,则 p 是 q 的( x



A.充要条件 C.充分不必要条件 【答案】B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.以下说法错误的是

(

)

A .命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”.
B .“ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C .若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题.
D .若命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 则 x2 ? x ? 1 ? 0 .
【答案】 C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p, q 至少有一个 为假命题即可. 10. “

a 2 ? b2 ? ?2 ”是“ a ? 0 且 b ? 0 ”的( ab

)

9

A .必要不充分条件
充分也不必要 【答案】A

B .充要条件

C .充分不必要条件

D .既不

? a ? b ? ? 0 ? ab ? 0 ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ,则选 A. a 2 ? b2 【解析】 ?2? ? ? ab ab ?b ? 0 ?b ? 0
2

11. 已 知 命 题

p : ?? ? R , 使

f ( x? )

? s ?i n为 ( 偶 x 函 )数 ; 命 题
( )

q : ?x ? R,cos 2 x ? 4sin x ? 3 ? 0 ,则下列命题中为真命题的是
A. p ? q 【答案】C 【解析】当 ? ? k? ? B. (?p) ? q C. p ? (?q )

D. (?p) ? (?q)

?
2

时,函数 f ( x ) 是偶函数,故命题 p 是真命

2 题; cos 2 x ? 4sin x ? 3 ? ?2sin x ? 4sin x ? 2 ? ?2(sin x ?1)2 ? 0 ,故命题 q 是假命题,

故选 C. 12.已知命题 p1 : 函数y ? 2x ? 2? x 在R上为增函数 , p2 : 函数y ? 2x ? 2? x 在 R 上为减函 数,则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题的是 ( )

A . q1 , q3

B . q2 , q3

C . q1 , q4

D . q2 , q4
【答案】 C 【解析】 因为 p1 为真命题, p2 为假命题, 因此 p1 ? p2 、 p1 ? ? ?p2 ? 为真, 其余为假命题. (二) 填空题(4*5=20 分) 13.若命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.
2

【答案】 ? ?3,0?

10

14..已知集合 A ? ______.

??0,1? , ?1,1? , ? ?1,2?? , B ? ?? x, y ? x ? y ? 1 ? 0, x, y ? Z ? ,则 A ? B =

【答案】 ?x | x ? ?1 ? 【解析】因为 A ? ? x |

? ? ? ?

x ? 1 ?1? ? ? ? ? ? 3? ? ? x | ?1 ? x ? 2? , B ? ? x | log 2 x> 0? ? ? x | x> 1? , 9 ?3? ? ?

所以 A ? B ? ?x | x ? ?1 ?. 15. 已知 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要 条件.现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是充 分条件;④ ? p 是 ?s 的必要条件而不是充分条件;⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是____ ____. 【答案】①②④ 【解析】由题意知,

∴ s ? q ,①正确; p ? r ? s ? q , ∴ p ? q ,但 q ?? p ,②正确;同理判断③⑤不 正确,④正确. 16.下列说法中 ①命题“ 若x ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为“ 若x2 ? 1, 则x ? 1”
2

②“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的充分不必要条件 ③对于常数 m, n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示的曲线是双曲线”的充要条件
2 2

④“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件

11

其中说法正确的有 【答案】②③

(写出所有真命题的编号) .

17. 下列命题中真命题为



(1)命题“ ?x ? 0, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? 0, x2 ? x ? 0 ” (2)在三角形 ABC 中,A>B,则 sin A ? sin B . (3)已知数列{ an },则“ an , an?1 , an?2 成等比数列”是“ an?12 ? an an?2 ”的充要条件 (4)已知函数 f ? x ? ? lg x ? 【答案】 (2)

1 ,则函数 f ? x ? 的最小值为 2 lg x

12


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