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江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三数学上学期学情调研考试(12月)试题


菁华高级中学 2014 届高三上学期学情调研考试数学试题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上.

1 1.已知全集 U ? ? ,2,3,4? ,集合 P ? ?1, 2,3? , Q ? ?2,3? ,则 P I (? Q)

= U
2.已知复数 z 的实部为 1 ,虚部为 ?2 ,则

▲ ▲ .

.

1 ? 3i ( i 为虚数单位)的模为 z

3.某学校为了解该校 1200 名男生的百米成绩(单位:秒) ,随 机选择了 50 名学生进行调查.下图是这 50 名学生百米成绩的 频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这 1200 名学生中 成绩在 [13,15] (单位:秒)内的人数大约是 ▲ .

4.已知 4 张卡片(大小,形状都相同)上分别写有 1 , 2 , 3 , 4 , 从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是 3 的概率 为 ▲ . ▲ .

5.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ?

6.已知向量 OA ? ? 0,1? , OB ? ( m, m ? 1), OC ? (1,3) , 若 AB // AC ,则实数 m =

uur

uur u

uuu r

uur uuu u r



.

7.已知数列 {a n } 成等差数列,其前 n 项和为 S n ,若

a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为



.

8.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线, 现给出下列四个命题: ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ④若 m // n, n ? ? ,? // ? , 则 m ? ? . 其中,所有真命题的序号是 ▲ .

1

9. 已 知 函 数 f ( x) , g ( x) 满 足 f ( 1 ? )

, 2 f ?(1) ? 1 , g (1) ? 1 , g ?(1) ? 1 , 则 函 数 ▲ .

F ( x) ? ( f ( x) ? 1) ? g ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程为
10. 在 ?ABC 中 , b ? 2, B ? ▲ .

?
3

, sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B , 则 ?ABC 的 面 积 为

x2 y 2 2 2 2 11.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x ? y ? b ,若 C 上存在点 P ,使得过点 a b

P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范
围是 ▲ .

12.设 m ? ? 2,1? , n ? ? sin ? , cos ? ? ,其中 ? ? ? 0,

u r

r

? ?

??

? 为过点 A ?1, 4 ? 的直线 l 的倾斜角,若当 2?
▲ .

u r r 2 2 2 m ? n 最大时,直线 l 恰好与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 相切,则 r ?
13.已知函数 f ( x) ?

x 1 1 ? ? ? a( x ? 0) 恰有两个不同的零点,则实数 a 的取值范 4 16 x x ? 1 4x
.
2

围是



14.已知对于任意的实数 a ? [3, ??) ,恒有“当 x ?[a,3a] 时,都存在 y ? [a, a ] 满足方程

log a x ? log a y ? c ”,则实数 c 的取值构成的集合为



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 已 知 角 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的 内 角 , a, b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量

u r r u r r A A A m ? (2 3 sin , cos 2 ) , n ? (cos , ?2) , m ? n . 2 2 2
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6, cos B ?

6 ,求 b 的长. 3

16.(本小题满分 14 分)
2

如图,在四面体 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD , E 是 AB 的中点. (1)求证: AB ? 平面 CDE ; (2)设 G 为 ?ADC 的重心, F 是线段 AE 上一点,且 AF ? 2FE . 求证: FG // 平面 CDE .

17.(本小题满分 14 分) 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点处, AB ? AC , A 到线段 BC 的距离 AO ? 40 , ?ABO ?

2? (参考数据: 2? 2 3 ). 今计划建一个生活垃 tan ? 7 7 3

圾中转站 P ,为方便运输, P 准备建在线段 AO (不含端点)上. (1) 设 PO ? x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示为 x 的函数,并求

S 的最小值;
(2) 设 ?PBO ? ? (0 ? ? ?

2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 表示为 的函数,并 ? y ) 7

确定当 ? 取何值时,可使 y 最小?

18.(本小题满分 16 分)

3

如图, A, B 是椭圆 C : 线 l 的方程为 x ? 4 . (1)求椭圆方程;

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,椭圆 C 的离心率为 ,右准 2 a b 2

(2)设 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点,直线 AM 交 l 于点 P ,以 MP 为直径的圆记为

e K.
①若 M 恰好是椭圆 C 的上顶点,求 e K 截直线 PB 所得的弦长; ②设 e K 与直线 MB 交于点 Q ,试证明:直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,并求该定 点的坐标.

19.(本小题满分 16 分)
4

已 知 数 列 ? an ? 是 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的

n? N* , 都 有

a1b 1 ? a b 2 a b3 ? ??? ? anbn ? n ? 2n ?3 . 2 ? 3
(1)若 ?bn ? 的首项为 4,公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n ; (2)若 a1 ? 8 . ①求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项 的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分)
5

已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax ,其中 a ? R, x ? R .
3 2

(1) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围; (3) 已知 b ? ?1 ,如果存在 a ? ( ??, ?1] ,使得函数 h( x) ? f ( x) ? f ? ( x) ( x ? [? 1,b ]) 在 x ? ?1 处取得最小值,试求 b 的最大值.

6

数学附加试题 (总分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 在 直 角 三 角 形

ABC



,

AD



BC









,

?BAC ? 90? , DE ? AB, DF ? AC , E , F 分别为垂足,求证:

BE AB 3 . ? CF AC 3

B. (选修 4—2:矩阵与变换) 已知曲线 C : xy ? 1,现将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45 ,求所得曲线 C ? 的方程.
?

7

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 (3,

?
3

) ,半径为 r ? 3 ,试写出圆 C 的极坐标方程.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 x, y, z 为正数,求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz xz xy x y z

8

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 2 2 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 底 面 A B C D 底 面 A B C D 梯 , 为 形 ,

AB // DC

,

AB ? BC

,

PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2EB .
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

23.已知数列 {cn } 满足 cn ? (1 ? ) (n ? N ) ,试证明:
n *

1 n

(1)当 n ? 2 时,有 cn ? 2 ; (2) cn ? 3 .

9


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