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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(79)


加试模拟训练题(79) (附详细答案) 1 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。 A D H F B G C J I E 2. 数列 y1,y2,y3,…满足条件 y1=1,对于 k>0, 证明:数列 y1,y2,y3,…能取遍每个正整数并且恰

好一次. 3.设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙开始在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一; 若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动, 那么这只青蛙从 A 点出发跳动到停止为止,可能出现的不同跳法共有多少种? 4.求 ?y ? N? , 都能使 x 7 ? 12 y ? 1 成立的最大的 x ? N? . y ? ? 加试模拟训练题(79) A 1 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E, BE 与 AC 相交于 F, 延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。 证 如图,连接 BD 交 AC 于 H, H 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过点 C F 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 B 对△BCD 用塞瓦定理,可得 G CG BH DE ① ? ? ?1 C GB HD EC 因为 AH 是∠BAD 的角平分线, BH AB 由角平分线定理知 。 ? I HD AD CG AB DE 代入①式得 ② ? ? ?1 GB AD EC CG CI DE AD 因为 CI∥AB,CJ∥AD,则 , 。 ? ? GB AB EC CJ CI AB AD 代入②式得 ? ? ? 1. AB AD CJ 从而 CI=CJ。又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ, 所以△ACI≌△ACJ,故∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC. 2. 数列 y1,y2,y3,…满足条件 y1=1,对于 k>0, D E J 证明:数列 y1,y2,y3,…能取遍每个正整数并且恰好一次. 【题说】第二十五届(1993 年)加拿大数学奥林匹克题 5. 【证】用二进制表示.设 n=(amam-1…a1a0)2 其中 am=1,ai=0 或 1,i=0,1,…,m-1. 我们用归纳法证明 yn=(bmbm-1…b1b0)2 其中 bm=1,b2≡ai+ai+1(mod2) ,i=0,1,…,m-1. (1)n=1 时,显然. (2)假设对于小于 n 的正整数结论成立.对于 n=(am…a1a0)2, 其中 b0=0≡a1+a0(mod2) . (ii)若 a1=1,a0=0,则 其中 b0=1≡a0+a1(mod2) . (iii)若 a1=0,a0=1,则 其中 b0=1≡a0+a1(mod2) . (iv)若 a1=a0=1,则 其中 b0=0≡a0+a1(mod2) . 因此,命题对任意正整数 n 也成立. 反之,对任意数(bm…b1b0)2,可以唯一确定 n=(amam-1…a1a0)如 下: am=bm=1,ai≡bi-ai+1(mod2) 所以,yn→n 是 N+→N+的一一对应. 3.设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙开始在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一; 若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5

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