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(精校版)2016年北京文数高考试题文档版(含答案)


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2016 年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无 效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。
(1)已知集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3或x>5} ,则 A ? B ? (A) {x|2<x <5} (B) {x|x<4或x > 5} (2)复数
1 ? 2i = 2?i

(C) {x|2<x <3}

(D) {x|x<2或x > 5}

(A)i(B)1+i(C) ?i (D) 1 ? i (3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为

(A)8 (B)9

(C)27 (D)36 (4)下列函数中,在区间 ( ?1,1) 上为减函数的是 (A) y ?
1 (B) y ? cos x (C) y ? ln( x ? 1) (D) y ? 2? x 1? x

(5)圆(x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为 (A)1 (B)2 (C) 2 (D)2 2

(6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为 (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

8 25

(D)

9 25

(7)已知 A(2,5) ,B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x?y 的最大值为 (A)?1 (B)3 (C)7 (D)8

(8) 某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛 成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 1.92 a 3 1.82 75 4 1.80 60 5 1.78 63 6 1.76 72 7 1.74 70 8 1.72 a? 1 9 1.68 b 10 1.60 65

立定跳远 (单位: 米) 1.96 30 秒跳绳 (单位: 次) 63

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人, 则 (A)2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (C)8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (B)5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (D)9 号学生进入 30 秒跳绳决赛

第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
(9)已知向量 a=(1, 3), b ? ( 3,1) ,则 a 与 b 夹角的大小为_________. (10)函数 f ( x) ?

x ( x ? 2) 的最大值为_________. x ?1

(11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

(12) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0) 的一条渐近线为 2x+y=0, 一个焦点为 ( 5 ,0) , 则 a=_______; a 2 b2
2? b ,a= 3 c,则 =_________. 3 c

b=_____________. (13)在△ABC 中, ?A ?

(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售出 13 种商品,第三天售 出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品有 4 种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题(共 6 题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15) (本小题 13 分) 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= an+ bn,求数列{cn}的前 n 项和.

(16) (本小题 13 分) 已知函数 f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π . (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间.

(17) (本小题 13 分) 某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米 的部分按 10 元/立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如

下频率分布直方图:

(I)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,w 至少定为 多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费.

(18) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD, AB∥DC, DC ? AC

(I)求证: DC ? 平面PAC ; (II)求证: 平面PAB ? 平面PAC ; (III)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面CEF ?说明理由.

(19) (本小题 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点. a 2 b2

(I)求椭圆 C 的方程及离心率; (II)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证: 四边形 ABNM 的面积为定值.

(20) (本小题 13 分) 设函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c.
3 2

(I)求曲线 y ? f ? x ? . 在点 0, f ? 0? 处的切线方程; (II)设 a ? b ? 4 ,若函数 f ? x ? 有三个不同零点,求 c 的取值范围;
2 (III)求证: a ? 3b>0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要而不充分条件.

?

?

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

? 6

(10)2 (14)16

(11) 29

3 2

(12)1

2

(13)1

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (I)等比数列 ?bn ? 的公比 q ?

b3 9 ? ? 3, b2 3

所以 b1 ?

b2 ? 1 , b4 ? b3q ? 27 . q

设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a1 ? b1 ? 1 , a14 ? b4 ? 27 , 所以 1 ? 13d ? 27 ,即 d ? 2 . 所以 an ? 2n ? 1( n ? 1 , 2 , 3 , ??? ) . (II)由(I)知, an ? 2n ? 1, bn ? 3n?1 . 因此 cn ? an ? bn ? 2n ?1 ? 3n?1 . 从而数列 ?cn ? 的前 n 项和

Sn ? 1? 3 ????? ? 2n ?1? ?1? 3 ????? 3n?1
n ?1 ? 2n ? 1? 1 ? 3n ? ? 2 1? 3 ? n2 ? 3n ? 1 . 2

(16) (共 13 分)

解: (I)因为 f ? x ? ? 2sin ?x cos ?x ? cos2?x

? sin 2? x ? cos 2? x

?? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? , 4? ?
所以 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 依题意,

? ? ? ,解得 ? ? 1 . ?

2? ? ? . 2? ?

(II)由(I)知 f ? x ? ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
? ?

函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

(k ??) .

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2



3? ? ? x ? k? ? . 8 8

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? (17) (共 14 分)

? ?

3? ?? . , k? ? ? ( k ? ? ) 8 8?

解: (I)由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间 ?0.5,1? , ?1,1.5? , ?1.5, 2? , ? 2, 2.5? , ? 2.5,3? 内的频 率依次为 0.1 , 0.15 , 0.2 , 0.25 , 0.15 . 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 %,用水量不超过 2 立方米的居民占 45 %. 依题意, w 至少定为 3 . (II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表: 组号 分组 频率 1 2 3 4 5 6 7 8

? 2, 4?
0.1

? 4,6?
0.15

? 6,8?
0.2

?8,10?
0.25

?10,12?
0.15

?12,17?
0.05

?17,22?
0.05

? 22, 27?
0.05

根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:

4 ? 0.1 ? 6 ? 0.15 ? 8 ? 0.2 ? 10 ? 0.25 ? 12 ? 0.15 ? 17 ? 0.05 ? 22 ? 0.05 ? 27 ? 0.05 ? 10.5 (元) .

(18) (共 13 分) 解: (I)因为 ? C ? 平面 ?? CD , 所以 ?C ? DC . 又因为 DC ? ?C , 所以 DC ? 平面 ??C . (II)因为 ?? //DC , DC ? ?C , 所以 ?? ? ?C . 因为 ? C ? 平面 ?? CD , 所以 ?C ? ?? . 所以 ?? ? 平面 ??C . 所以平面 ??? ? 平面 ??C . (III)棱 ?? 上存在点 F ,使得 ?? // 平面 C?F .证明如下: 取 ?? 中点 F ,连结 ? F , C ? , CF . 又因为 ? 为 ?? 的中点, 所以 ?F//?? . 又因为 ?? ? 平面 C?F , 所以 ?? // 平面 C?F .

(19) (共 14 分) 解: (I)由题意得, a ? 2 , b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

又 c ? a ?b ? 3 ,
2 2

所以离心率 e ?

c 3 . ? a 2

2 2 (II)设 ? ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 , y0 ? 0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ? 4.

又 ? ? 2,0? , ? ? 0,1? ,所以, 直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 y? ? ?

2 y0 2 y0 ,从而 ?? ? 1 ? y? ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2

直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1. x0

令 y ? 0 ,得 x? ? ?

x0 x0 ,从而 ?? ? 2 ? x? ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1

所以四边形 ???? 的面积

S?

1 ?? ? ?? 2

x ?? 2 y0 ? 1? ? ? 2 ? 0 ??1 ? ? 2? y0 ? 1 ?? x0 ? 2 ?
2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 ? 2 ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 ?

?

2 x0 y0 ? 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 2.
从而四边形 ???? 的面积为定值. (20) (共 13 分)
3 2 2 解: (I)由 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,得 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b .

因为 f ? 0? ? c , f ? ? 0? ? b , 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? bx ? c . (II)当 a ? b ? 4 时, f ? x ? ? x ? 4x ? 4x ? c ,
3 2

?

?

所以 f ? ? x ? ? 3x ? 8x ? 4 .
2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 3x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? ?

2 . 3

f ? x ? 与 f ? ? x ? 在区间 ? ??, ??? 上的情况如下:

x
f ? ? x?

? ??, ?2?
?
?

?2

2? ? ? ?2, ? ? 3? ?

?

2 3

? 2 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?

0

?
?

0
c? 32 27

?
?

f ? x?
所以,当 c ? 0 且 c ?

c

32 2? ? ? 0 时,存在 x1 ? ? ?4, ?2? , x2 ? ? ?2, ? ? , 27 3? ?

? 2 ? x3 ? ? ? , 0 ? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 . ? 3 ?
由 f ? x ? 的单调性知,当且仅当 c ? ? 0,

? ?

32 ? 3 2 ? 时,函数 f ? x ? ? x ? 4x ? 4x ? c 有三个不同零点. 27 ?
2

2 (III)当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 , x ? ? ??, ??? ,

此时函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ??? 上单调递增,所以 f ? x ? 不可能有三个不同零点.
2 当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b 只有一个零点,记作 x0 .

2

当 x ? ? ??, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ? ??, x0 ? 上单调递增; 当 x ? ? x0 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ? x0 , ??? 上单调递增. 所以 f ? x ? 不可能有三个不同零点.
2 综上所述,若函数 f ? x ? 有三个不同零点,则必有 ? ? 4a ? 12b ? 0 . 2 故 a ? 3b ? 0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要条件.
3 2 2 当 a ? b ? 4 , c ? 0 时, a ? 3b ? 0 , f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 x ? x ? x ? 2 ? 只有两个不同 2

2 零点, 所以 a ? 3b ? 0 不是 f ? x ? 有三个不同零点的充分条件. 2 因此 a ? 3b ? 0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要而不充分条件.


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