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吉林省吉林一中2015-2016学年高二上学期11月月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年吉林省吉林一中高二 (上) 11 月月考数学试卷 (文 科)
一.选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1.若 a>b,x>y,下列不等式不正确的是( ) A.a+x>b+y B.y﹣a<x﹣b C.|a|x≥|a|y D. (a﹣b)x>(a﹣b)y 2.若 p 的否命题是命题 q 的逆否命题,则命题 p 是命题 q 的( A.逆命题

B.否命题 C.逆否命题 D.p 与 q 是同一命题 )

3.已知{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于( A.1 B. C.2 D.3



4.如果实数 x,y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为(



A.﹣1 B.﹣2 C.2

D.1

5.已知 F1,F2 为椭圆 则|AF2|+|BF2|=( ) A.2 B.10 C.12

的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,|AB|=8,

D.14
? ?

6.若条件 p:|x+1|≤4,条件 q:2<x<3,则 q 是 p 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 7.已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 A. B. C.2 D.4 的最小值为( )



8.在各项为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 的值为( A.33 B.72 C.84 D.189 9.椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为(
2 2





A.

B.

C.2

D.4

10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.



11.下列命题中为真命题的是( ) 2 A.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题 B.命题“若 x>y,则|x|>y”的逆命题 C.若 k<5,则两椭圆
2 2



有不同的焦点

D.命题“若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围为(0,1)”的逆否命 题 12.给出下列四个命题: ①如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”; 2 2 ③若命题 p:?x≥0,x ﹣x+1<0,则¬p:?x<0,x ﹣x+1≥0; ④设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充分而不必要条 件. 其中为真命题的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13.不等式 的解集是 .

14.若椭圆

的离心率

,则 k 的值为



15.如果椭圆

的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是



16.已知 F1,F2 为椭圆

+

=1 的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且△MF1F2 的内切圆的
2

周长等于 3π,若满足条件的点 M 恰好有 2 个,则 a =



三、解答题: (共计 70 分) 17.已知椭圆 C 的中心 O 为坐标原点,右焦点为 F(1,0) ,A、B 分别是椭圆 C 的左右顶 点,P 是椭圆 C 上的动点. (Ⅰ)若△PAB 面积的最大值为 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 做长轴 AB 的垂线,交椭圆 C 于 M、N 两点,若|MN|=3,求椭圆 C 的离 心率. 18.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 19.在等差数列{an}中,公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,其中左焦点 F(﹣2,0) .

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段的中点 M 在圆 x +y =1 上,求 m 的值. 21.已知函数 f(x)=2x ﹣(a+2)x+a. (Ⅰ)当 a>0 时,求关于 x 的不等式 f(x)>0 解集; (Ⅱ)当 x>1 时,若 f(x)≥﹣1 恒成立,求实数 a 的最大值. 22.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,短轴的两个端点分别为 B1, B2 (1)若△F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 的短轴长为 2, 过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, 且 求直线 l 的方程. ,
2

2015-2016 学年吉林省吉林一中高二 (上)11 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1.若 a>b,x>y,下列不等式不正确的是( ) A.a+x>b+y B.y﹣a<x﹣b C.|a|x≥|a|y D. (a﹣b)x>(a﹣b)y 【考点】不等关系与不等式. 【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识,主要是不要忽略了 a 等于零的情况. 【解答】解:当 a≠0 时,|a|>0,不等式两边同乘以一个大于零的数,不等号方向不变. 当 a=0 时,|a|x=|a|y,故|a|x≥|a|y. 故选 C. 【点评】做此题要考虑全面,特别要注意“零”这个特殊情况. 2.若 p 的否命题是命题 q 的逆否命题,则命题 p 是命题 q 的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.p 与 q 是同一命题 【考点】四种命题. 【专题】计算题;对应思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据四中命题的关系,判断即可. 【解答】解:因为否命题和逆命题互为逆否命题, 故命题 p 是命题 q 的逆命题, 故选:A. 【点评】本题主要考查四种命题及其关系.要注意命题的否定,命题的否命题是不同的概 念.切莫混淆. 3.已知{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于( A.1 B. C.2 D.3 )

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设出等差数列的首项和公差,由 a3=6,S3=12,联立可求公差 d. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a3=6,S3=12,得: 解得:a1=2,d=2. 故选 C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,是基础的会考题型.

4.如果实数 x,y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为(



A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用. 【分析】由题意作出其平面区域,令 z=2x﹣y 并化为 y=2x﹣z,﹣z 相当于直线 y=2x﹣z 的 纵截距,由几何意义可得. 【解答】解:由题意作出其平面区域,

令 z=2x﹣y 并化为 y=2x﹣z,﹣z 相当于直线 y=2x﹣z 的纵截距, 故当 x=0,y=﹣1 时,有最大值, 最大值为 0+1=1; 故选 D. 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

5.已知 F1,F2 为椭圆

的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,|AB|=8,

则|AF2|+|BF2|=( ) A.2 B.10 C.12 D.14 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据已知条件,由椭圆定义知:|AB|+|AF2|+|BF2|=4a,由此能求出结果. 【解答】解:椭圆 中,a=5,

∵F1,F2 为椭圆

的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,

∴由椭圆定义知:|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20, ∵|AB|=8, ∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12. 故选:C. 【点评】本题考查两条线段和的求法,是基础题,解题时要认真审题,要熟练掌握椭圆的简 单性质. 6.若条件 p:|x+1|≤4,条件 q:2<x<3,则 q 是 p 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 【考点】充要条件. 【专题】计算题. ? ? ? 【分析】通过解绝对值不等式化简命题 p,然后求出命题 p,q 的否定,判断出 p? q,但 q ? 推不出 p,根据充要条件的定义得到结论. ? 【解答】解: p:|x+1|>4?x>3 或 x<﹣5, ? q:x≤2 或 x≥3, ? ? ? ? ∴ p? q,但 q 推不出 p ? ? 所以 q 是 p 的必要不充分条件 故选 B 【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,然后在判断前是否 能推出后者成立,后者能否推出前者成立,根据充要条件的定义加以判断.
? ?

7.已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 A. B. C.2 D.4

的最小值为(



【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】由 4=2a+b 可求 ab 的范围,进而可求 的最小值

【解答】解:∵a>0,b>0,且 4=2a+b ∴ab≤2 ∴ ∴ 的最小值为

故选 B 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用,属于基础试题 8.在各项为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 的值为( A.33 B.72 C.84 D.189 )

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】通过解方程 3+3q+3q =21 可知公比 q=2,利用 a3+a4+a5=q ?S3, 进而计算即得结论. 2 【解答】解:依题意,3+3q+3q =21, 解得:q=2 或 q=﹣3(舍) , ∴a2=6,a3=12, 2 ∴a3+a4+a5=q ?S3=4?21=84, 故选:C. 【点评】本题考查等比数列的简单性质,注意解题方法的积累,属于基础题. 9.椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( A. B. C.2 D.4
2 2 2 2



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上,化为 是短轴长的 2 倍,即可得出. 2 2 【解答】解:椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上, ∴ ,
2 2

,可得 a=1,b=

.利用长轴长

∴a=1,b=



∵长轴长是短轴长的 2 倍, ∴ ,

解得 m=4. 故选:D. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题. 10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D. )

【考点】椭圆的应用;数列的应用. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c,由题意可知:a+c=2b,由此可以导出该椭 圆的离心率. 【解答】解:设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c, 则 2a+2c=2×2b, 2 2 2 2 2 2 2 即 a+c=2b?(a+c) =4b =4(a ﹣c ) ,所以 3a ﹣5c =2ac,同除 a , 整理得 5e +2e﹣3=0,∴
2

或 e=﹣1(舍去) ,

故选 B. 【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率,难度不大,只需细心运算就行. 11.下列命题中为真命题的是( ) 2 A.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题 B.命题“若 x>y,则|x|>y”的逆命题 C.若 k<5,则两椭圆
2 2



有不同的焦点

D.命题“若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围为(0,1)”的逆否命 题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;数学模型法;简易逻辑. 2 【分析】A.原命题的否命题为“若 x≤1,则 x ≤1”,即可判断出真假; B.原命题的逆命题为“若|x|>y,则 x>y”,取 x=﹣3,y=2,即可判断出真假. C.k<5,则两椭圆有相同的焦点(±2,0) . D.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则
2 2

,解得 0<k<1,即可判断出原命

题的真假,进而判断出其逆否命题的真假性. 2 2 【解答】解:A.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题为“若 x≤1,则 x ≤1”,是假命题; B.“若 x>y,则|x|>y”的逆命题为“若|x|>y,则 x>y”,不正确,例如取 x=﹣3,y=2. C.k<5,则两椭圆
2 2



有相同的焦点(±2,0) ,因此不正确. ,解得 0<k<1,因此 k 的取值范

D.“若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则

围为(0,1)”,是真命题,其逆否命题也为真命题. 故选:D. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 12.给出下列四个命题: ①如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”; 2 2 ③若命题 p:?x≥0,x ﹣x+1<0,则¬p:?x<0,x ﹣x+1≥0; ④设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充分而不必要条 件. 其中为真命题的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】①如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题 p 是假命题,q 一定是真命 题,即可判断出正误; ②原命题的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”,即可判断出正误;

③利用“非命题”的定义即可判断出正误; ④设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”?q>1?“数列{an}是递增数列”,即可判断 出正误. 【解答】解:①如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题 p 是假命题,q 一定是 真命题,正确; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”,是假命题; ③若命题 p:?x≥0,x ﹣x+1<0,则¬p:?x<0,x ﹣x+1≥0,正确; ④设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”,可得 q>1,因此“数列{an}是递增数列”, 反之也成立,因此设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充 要条件,不正确. 其中为真命题的个数是 2. 故选:C. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13.不等式 的解集是 (﹣1,2] .
2 2

【考点】其他不等式的解法. 【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】不等式即 【解答】解:不等式 ≤0,即 ,即 ≤0,即 ,由此求得 x 的范围. ,

求得﹣1<x≤2, 故不等式的解集为 (﹣1,2], 故答案为: (﹣1,2]. 【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题.

14.若椭圆

的离心率

,则 k 的值为 0 或



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;分类讨论;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况求得 a ,c 的值,结合 【解答】解:当椭圆焦点在 x 轴上时,a =k+8,b =9, 2 2 2 则 c =a ﹣b =k﹣1, 由 ,得 ,
2 2 2 2

列式求得 k 值.



,解得:k=


2 2

当椭圆焦点在 y 轴上时,a =9,b =k+8,

则 c =a ﹣b =1﹣k, 由 ,得 ,

2

2

2



,解得:k=0. . .

综上,k=0 或 故答案为:0 或

【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题.

15. 如果椭圆

的弦被点 (4, 2) 平分, 则这条弦所在的直线方程是 x+2y﹣8=0



【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】若设弦的端点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,代入椭圆方程得 9x1 +36y1 =36×9①, 2 2 9x2 +36y2 =36×9②;作差①﹣②,并由中点坐标公式,可得直线斜率 k,从而求出弦所在 的直线方程. 【解答】解:设弦的端点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 代入椭圆方程,得 9x1 +36y1 =36×9①, 2 2 9x2 +36y2 =36×9②; ①﹣②得 9(x1+x2) (x1﹣x2)+36(y1+y2) (y1﹣y2)=0; 由中点坐标 代入上式,得 36(x1﹣x2)+72(y1﹣y2)=0, ∴直线斜率为 k= =﹣ , =4, =2,
2 2 2 2

所求弦的直线方程为:y﹣2=﹣ (x﹣4) , 即 x+2y﹣8=0. 故答案为:x+2y﹣8=0. 【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式,通过作差的方法,求得直线斜率 k 的应用 模型,属于基础题目.

16.已知 F1,F2 为椭圆

+

=1 的左、右焦点,M 为椭圆上一点,且△MF1F2 的内切圆的
2

周长等于 3π,若满足条件的点 M 恰好有 2 个,则 a = 25 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设△MF1F2 的内切圆的半径等于 r,由圆的周长求得 r 的值,由椭圆的定义可得: 2 |MF1|+|MF2|=2a,然后利用△MF1F2 的面积相等列式求得 a . 【解答】解:设△MF1F2 的内切圆的半径等于 r,则由题意可得:2πr=3π,∴r= . 由椭圆的定义可得:|MF1|+|MF2|=2a, 又 c =a ﹣b =a ﹣16,∴c=
2 2 2 2



∵满足条件的点 M 恰好有 2 个,∴M 是椭圆的短轴顶点,即|yM|=4, △MF1F2 的面积等于 2c?|yM|=4 . .

又△MF1F2 的面积等于 (|MF1|+|MF2|+2c)r=(a+c)r= 由
2

=4



解得:a =25. 故答案为:25. 【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单性质的应用,利用等积法是解题的关键, 是中档题. 三、解答题: (共计 70 分) 17.已知椭圆 C 的中心 O 为坐标原点,右焦点为 F(1,0) ,A、B 分别是椭圆 C 的左右顶 点,P 是椭圆 C 上的动点. (Ⅰ)若△PAB 面积的最大值为 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 做长轴 AB 的垂线,交椭圆 C 于 M、N 两点,若|MN|=3,求椭圆 C 的离 心率. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由题意设椭圆方程为 (a>b>0) ,由已知可得 a ﹣b =1,
2 2

,联立求得 a,b 的值,则椭圆方程可求;
2 2

(Ⅱ)由题意设椭圆方程为

(a>b>0) ,利用椭圆的通径长结合 a ﹣b =1 求得 a,

b 的值,再由隐含条件求出 c,则椭圆的离心率可求. 【解答】解: (Ⅰ)由题意设椭圆方程为 (a>b>0) ,

则有 a ﹣b =1, 解得 ,b=1, ;

2

2



∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意设椭圆方程为
2 2 2

(a>b>0) ,

则有

,又 a ﹣b =1,∴2a ﹣3a﹣2=0,

解得:a=2 或 a=﹣ (舍) . ∴b =a ﹣1=3,c =a ﹣b =4﹣3=1,则 c=1. ∴椭圆 C 的离心率 .
2 2 2 2 2

【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆方程的求法,是中档题. 18.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】 (I)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1,知 2a2=a1+ (a3﹣1)=a3,由此能求出数列{an}的通项公式. . (Ⅱ)由 bn=2n﹣1+an,知
2 n﹣1

(2n﹣1+2

n﹣1



=[1+3+5+…+(2n﹣1)]+(1+2+2 +…+2 ) ,由等差数列和等比数列的求和公式能求出 Sn. 【解答】解: (I)设等比数列{an}的公比为 q, ∵a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1, ∴2a2=a1+(a3﹣1)=a3, ∴ =2,
n﹣1



=2

, (n∈N ) .

*

(Ⅱ)∵bn=2n﹣1+an, ∴ =[1+3+5+…+(2n﹣1)]+(1+2+2 +…+2 = =n +2 ﹣1.
2 n 2 n﹣1

(2n﹣1+2 )

n﹣1



+

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用,解题时要认真审题,仔细 解答,熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用. 19.在等差数列{an}中,公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】函数思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (II)利用“裂项求和”即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)依题意得:a2=a1+d=a1+2,a4=a1+3d=a1+6, ∵a2 是 a1 与 a4 的等比中项, ∴ 解得 a1=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n,即 an=2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n, ∴ =n(n+1) , ∴ = = . +…+ ,

∴Tn= = = .

∴数列

的前 n 项和为 Tn=



【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,其中左焦点 F(﹣2,0) .

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段的中点 M 在圆 x +y =1 上,求 m 的值. 【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【专题】计算题;综合题.

【分析】 (1)由题意,得

由此能够得到椭圆 C 的方程.

(2) 设点 A、 B 的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , 线段 AB 的中点为 M (x0, y0) , 由
2 2

消 y 得,3x +4mx+2m ﹣8=0,再由根的判断式结合题设条件能够得到 m 的值.

【解答】解: (1)由题意,得

解得

∴椭圆 C 的方程为



(2)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M(x0,y0) , 由
2

消 y 得,3x +4mx+2m ﹣8=0,

2

2

△=96﹣8m >0,∴﹣2 ∴ =﹣ . ,

<m<2



∵点 M(x0,y0)在圆 x +y =1 上,∴

2

2

,∴



【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件. 21.已知函数 f(x)=2x ﹣(a+2)x+a. (Ⅰ)当 a>0 时,求关于 x 的不等式 f(x)>0 解集; (Ⅱ)当 x>1 时,若 f(x)≥﹣1 恒成立,求实数 a 的最大值. 【考点】二次函数的性质;函数恒成立问题. 【专题】综合题;函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)先因式分解,再分类讨论即可求出不等式的解集, (2)转化为有
2 2

恒成立,根据基本不等式即可求出最值.

【解答】解: (Ⅰ)∵2x ﹣(a+2)x+a=2(x﹣ ) (x﹣1)

∴(x﹣ ) (x﹣1)>0 ①当 0<a<2 时, >1,不等式的解集为 ②当 a=2 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1} ③当 a>2 时,不等式的解集为 (Ⅱ)∵f(x)≥﹣1,∴2x ﹣(a+2)x+a≥﹣1 又∵x>1∴有 ∵ 当且仅当 时等号成立 恒成立 …(8 分) …(10 分)
2

…(6 分)

∴ ,a 的最大值是 …(12 分) 【点评】本题考查了不等式的解集问题,利用基本不等式求最值问题,对于恒成立问题常转 化为最值问题或分离参数后再求最值,关键是分类讨论. 22.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,短轴的两个端点分别为 B1, B2 (1)若△F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 的短轴长为 2, 过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, 且 ,

求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;直线的一般式方程;椭圆的标准 方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由△F1B1B2 为等边三角形可得 a=2b,又 c=1,集合 a =b +c 可求 a ,b ,则椭 圆 C 的方程可求; (2)由给出的椭圆 C 的短轴长为 2,结合 c=1 求出椭圆方程,分过点 F2 的直线 l 的斜率存 在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交 点的横坐标的和,把 l 的方程可求. 【解答】解: (1)设椭圆 C 的方程为 . 转化为数量积等于 0,代入坐标后可求直线的斜率,则直线
2 2 2 2 2

根据题意知

,解得



故椭圆 C 的方程为
2


2 2

(2)由 2b=2,得 b=1,所以 a =b +c =2,得椭圆 C 的方程为



当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=1,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) .
2 2 2 2



,得(2k +1)x ﹣4k x+2(k ﹣1)=0.

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 ,

因为

,所以

,即

=

=

=

,解得

,即 k=



故直线 l 的方程为 或 . 【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了数量积的坐标运算,考查了直线和圆锥曲线的 关系,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了根与系数关系,属有一 定难度题目.


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