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求数列通项公式与数列求和(有答案)5


数列的通项公式与求和
1.

1 数列{an }的前n项为Sn , 且a1 ? 1,an ?1 ? Sn (n ? 1, 2,3,?) 3 (1)求a2 , a3 , a4的值及数列{an }的通项公式. (2)求a2 ? a4 ? ? ? a2 n
n?2 S n (n ? 1, 2,?).证明 : n

2.

/>
数列{an }的前n项和记为S n ,已知a1 ? 1,an ?1 ?

Sn }是等比数列; n (2) S n ?1 ? 4an (1)数列{
3

1 已知数列{an }的前n项为Sn,Sn ? (an ? 1)(n ? N * ) 3 (1)求a1 , a2 ; (2)求证 : 数列{an }是等比数列.
1 1 已知数列{an }满足a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , 求an . 2 n ?n 2 n 已知数列{an }满足, a1 ? , an ?1 ? an , 求an . 3 n ?1 5 1 1 已知数列{an }中, a1 ? , an ?1 ? an ? ( ) n ?1 ,求an . 6 3 2

4.

5. 6 7

已知数列{an }满足 : an ?

an?1 ,a1 ? 1, 求数列{an }的通项公式. 3 ? an?1 ? 1


8

{an } 的前 n 项和 S 等比数列

=2



2 2 2 2 a ? a ? a ? ? ? a 1 2 3 n -1,则

9

5 n (10 ? 1) 求和:5,55,555,5555,…, 9 ,…;

10

1 1 1 ? ? ? ? 求和: 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

1?
11 求和:

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

12 设

{an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13

? an ? ? ? b { a } { b } S n n (Ⅰ)求 , 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 n .

答案
练习 1 答案:

1 4 16 a2 ? , a3 ? , a4 ? 3 9 27 ?1    n ? 1 ? an ? ? 1 4 n ? 2 ( )  n ? 2 ? ?3 3

3 4 2n [( ) ? 1] 7 3

练习 2 证明: (1) 注意到: a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得: S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)

由(1)知, {S(n)/n}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。 所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)=S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得: S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n

练习 3 答案: 1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减: 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以{an}为等比数列!

练习 4

累加法,答案:

an ?

3 1 ? 2 n

练习 5

累乘法,答案: an ?

2 3n 1 2
n

练习 6

待定系数法,答案: an ? 3( ) ? 2( )

1 3

n

练习 7

倒数法,答案: an ?

1 3n ? 2

练习 8

4n ? 1 公式法,答案: 3
n个 ? ? ? n个 ? ? ? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99 ? 9) Sn ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 9

练习 9 答案:

5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n 9 81 9 .
n 练习 10 ,列项相消法,答案 3n ? 1

练习 11,,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)

练习 12 (错位相减法)

答案:解: (Ⅰ)设

?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

n?1 a ? 1 ? (n ?1 d ) ? n 2,? b1 ? 2n?1 . ( Ⅱ ) n ?q 解 得 d ?2 , q?2 . 所 以 n

an 2n ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n?1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 bn 2 2 2 2 2 2 2 2 . ,① ,②
Sn ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? ? 2 2n?2 ? 2n?1 ? 2 2 2 2 2 2 ,

②-①得

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 2n ? 3 1 2 ? 6 ? n ?1 1? 2 2 . 1?


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