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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(6)(数列2)


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2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(六) 数列 2) ( )
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 小题, 1.已知 an =

n (n ∈ N * ), 则数列 {an } 的最大项是 n + 156
2

A.第 12 项

B.第 13 项
2

C.第 12 项或第 13 项

D.不存在

2.数列 {a n } 的通项公式是 a n = ?2n + 29n + 3, 则{a n } 中最大项的值是

3 1 B.108 C. 108 D.109 8 8 ? 3.设 {a n }( n ∈ N ) 是等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S 5 < S 6 , S 6 = S 7 > S 8 ,则下列结论
A. 107 错误的是 A. d < 0 B. a 7 = 0 C. S 9 > S 5 D. S 6 和S 7 均为S n 的最大值

4.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若a1 > 0 ,并且存在一个大于 2 的自然数 k,使 a k = S k , 则 A. {a n } 递增, S n 有最小值 C. {a n } 递减, S n 有最小值 5.数列{ a n }的通项公式为 an = 2n + 1, 令bn = A. B. {a n } 递增, S n 有最大值 D. {a n } 递减, S n 有最大值

n ?1 2(n + 2)

B.

n ?1 n+2

1 , 则数列{ bn }的前 n 项和为 a1 + a2 + L + an 3 2n + 3 3 2n + 3 C. ? D. ? 2 (n + 1)(n + 2) 4 2(n + 1)(n + 2)

若 6. y = f (x ) 是一次函数, f ( 0) = 1, 且f (1), f ( 4), f (13)成等比数列,则 f(2)+f(4)+…+f(2n) 设 等于 A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 7.已知 {a n } 的前 n 项和 Sn=n2-4n+1,则 a 1 + | a 2 | + L + a 10 的值是 A.65 B.67 C.61 D.56

8. 设数列{ xn}满足 log a xn +1 = 1 + log a xn , x1 + x2 + L + x100 = 100 , x101 + x102 + L + x200 且 则 的值为 A.100a B.101a2 C.101a100 D.100a100 9.已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且 S 2 =10,S 5 =55,则过点 P(n, a n )和 Q(n+2, a n + 2 )(n∈N+)的 直线的一个方向向量的坐标可以是 A. (2,

1 ) 2

B. ? (

1 , ?2 ) 2

C.( ?

1 ,-1)? 2

D.(-1,-1)

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10. 一给定函数 y = f (x ) 的图象在下列图中, 并且对任意 a1 ∈ (0,1) , 由关系式 a n +1 = f ( a n ) 得 到的数列 {a n } 满足 a n +1 > a n ( n ∈ N * ) ,则该函数的图象可能是

, 11.已知数列{ an}满足 an +1 = an ? an ?1 (n≥2) a1 = a, a2 = b 设 S n = a1 + a2 + L + an ,则 下列结论正确的是( ) A. a100 = ? a, S100 = 2b ? a C. a100 = ?b, S100 = b ? a B. a100 = ?b, S100 = 2b ? a D. a100 = ? a, S100 = b ? a

12.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn 且 S1=1,点 (n, S n ) 在曲线 C 上,曲线 C 和直线

x ? y + 1 = 0 ,交于 A、B 两点,且 AB = b ,则这个数列的通项公式是
A. a n = 2n ? 1 题号 答案 1 2 B. a n = 3n ? 2 3 4 5 6 C. a n = 4n ? 3 7 8 9 D. a n = 5n ? 4 10 11 12

小题, 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 13.设 S n = 1 + 2 + 3 + L + n, n ∈ N , 则f ( n) =
?

Sn 的最大值为 (n + 32) S n +1
2

14.已知数列{ an}的各项均为正数,前 n 项和 Sn 满足 6 S n = an + 3an + 2 ,若 a2 , a4 , a9 成等比 数列,则数列{ an}的通项 an= . 15. 已知 a, b, a + b 成等差数列,a, b, ab 成等比数列, 则通项为 a n = 前 n 项和为 16.设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn (n ∈ N * ) ,关于数列 {a n } 有下列四个命题: ①若 {a n } 既是等差数列又是等比数列,则 a n = a n +1 ( n ∈ N ) ;
*

8 的数列 {a n } 的 2an + bn
2

②若 S n = an + bn
2 n

(a, b ∈ R ) ,则 {a n } 是等差数列;

③若 S n = 1 ? ( ?1) ,则 {a n } 是等比数列; ④若 {a n } 是等比数列,则 Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m ( m ∈ N ) 也成等比数列;
*

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其中正确的命题是 小题, 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 解答题( 17. (本小题满分 12 分)

(填上正确的序号) 。

设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn, S 4 = ?62, S 6 = ?75 (1)求通项 an 及前 n 项和 Sn; (2)求数列{ |an|}前 n 项和 Tn。 18. .已知数列{ a n }满足: a1 + 3a 2 + L + ( 2n ? 1) a n = ( 2n ? 3) ? 2
n +1

, 数列{bn } 的前 n 项和

S n = 2n 2 + n ? 2.求数列{a n ? bn }的前n项和Wn
19.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 10 , a n +1 = 9 S n + 10 . ⑴求证: {lg a n } 是等差数列.

? ? 3 1 2 ? ⑵设 Tn 是数列 ? ? 的前 n 项和,求使 Tn > (m ? 5m) 对所有的 n ∈ N 都成 4 ? (lg a n )(lg a n +1 ) ?
立的最大正 整数 m 的值 20.某种商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销,采用每买一个这样的商品赠送一 个小礼品。实验表明:礼品价值 1 元时销售量增加 10%,且在一定范围内礼品价值为 n+1 元时, 比礼品价值为 n 元时(n∈N )的销售增加 10%,请你设计礼品价值以使商品获得最大利润. 21.数列 {a n } 中, a n +1 + a n = 3n ? 54( n ∈ N + ) . (1)若 a1 = ?20, 求{a n } 的通项公式 a n ; (2)设 S n 为{a n }的前n项和, 当a1 > ?27时, 求S n 的最小值.
*

1 1 1 + +…+ ,(n∈N*),设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围,使得对 2 3 n 11 于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log (m-1) m]2 恒成立. 20
22.已知 Sn=1+

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2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学( (数列 ) 数学(六) 数列 2)参考答案 (
一、选择题: 1 题号 C 答案 二、填空题: 13. 2 B 3 C 4 D 5 D 6 A 7 B 8 D 9 B 10 A 11 A 12 C

1 50

14. an = 3n ? 2

15.

2n n +1

16.①②③

三、解答题:

3 2 43 n ? n , an = 3n ? 23 2 2 (2)由 an≤0,n+1≥0 得 n=7 所以 Tn = ?( a1 + a2 + L + a7 ) + ( a8 + a9 + L an ) 3 43 = S n ? 2 S7 = n 2 ? n + 154 2 2 n +1 n n 18.解:当 n ≥ 2时, ( 2n ? 1) ? a n = ( 2n ? 3) ? 2 ? ( 2n ? 5) ? 2 = 2 ( 2n ? 1),
17.解(1)由 S 4 = A ? 4 2 + B ? 4 , S 6 = A ? 6 + B ? 6 得 S n =
2

? a = 2 n ( n ≥ 2) ∴ a n = 2 n ; 而a1 = ?4, 得? n . ?a1 = ?4 当n ≥ 2时, bn = S n ? S n ?1 = 4n ? 1;
而 b1 = 1, 得?

?b1 = 1 . ?bn = 4n ? 1(n ≥ 2)

∴Wn = ?4 + [2 2 × 7 + 2 3 × 11 + L + 2 n (4n ? 1)], 记s = 2 2 × 7 + 2 3 × 11 + 2 4 × 15 + L + 2 n (4n ? 1) ① ∴ 2 s = 2 3 × 7 + 2 4 × 11 + L + 2 n (4n ? 5) + 2 n+1 (4n ? 1) ②, ①-②得 ? s = 28 + 4( 2 3 + 2 4 + L + 2 n ) ? 2 n +1 ( 4n ? 1) = 28 + 32(2 n ?2 ? 1) ? 2 n +1 (4n ? 1) = ?4 + 2 n +1 (5 ? 4n), ∴ s = 4 + 2 n +1 (4n ? 5), 得Wn = 2 n +1 (4n ? 5).
19.解:⑴依题意, a 2 = 9a1 + 10 = 100 ,故 当 n ≥ 2 时, a n = 9 S n ?1 + 10 ① 又 a n +1 = 9 S n + 10 ② a ②―①整理得: n +1 = 10 ,故 {a n } n ∈ N ? 为等比数列, an 且 a n = a1 q n ?1 = 10 n ,∴ lg a n = n

a2 = 10 , a1

∴ lg a n +1 ? lg a n = (n + 1) ? n = 1 ,即 {lg a n } 是等差数列.
⑵由⑴知, Tn = 3(

1 1 1 + +L+ ) 1? 2 2 ? 3 n(n + 1)
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1 1 1 1 1 3 + ? +L+ ? ) = 3? 2 2 3 n n +1 n +1 3 3 1 2 ∴ Tn ≥ ,依题意有 > (m ? 5m) ,解得 ? 1 < m < 6 , 2 2 4 故所求最大正整数 m 的值为 5
= 3(1 ? 20.解:设未赠礼品时的销售量为 a0 个,而赠送礼品价值 n 元时销售量为 an 个,

∴ a n +1 = a n (1 + 10%) = 1.1a n ,
?

∴ a n = 1.1n a 0 ,
n

又设销售利润为数列 {x n }, x0 = 20 , 当 n ∈ N 时, x n = ( 20 ? n) ? 1.1 a 0 , 考察 {x n } 的单调性,

Q xn +1 ? xn = (19 ? n) ?1.1n +1 a 0 ?(20 ? n) ?1.1n a0 =
答:礼品价值为 9 元或 10 元时商品获得最大利润. 21. 解: (1)Q ?

(9 ? n) × 1.1n a0 , 10

∴ x1 < x 2 < L < x9 = x10 > x11 > x12 > L ,∴ 当 n=9 或 10 时, {x n } 最大

?a n +1 + a n = 3n ? 54 , 两式相减得a n + 2 ? a n = 3, ?a n + 2 + a n +1 = 3n ? 51

∴ a1 , a3 , a5 ,L , 与a2 , a4 , a6 ,L 都是d = 3 的等差 数列Q a1 = ?20 ∴ a 2 = ?31, 3n ? 43 n +1 ①当 n 为奇数时, a n = ?20 + ( ? 1) × 3 = ; 2 2 n 3n ? 68 ②当 n 为偶数时, a n = ?31 + ( ? 1) × 3 = ; 2 2 (2)①当 n 为偶数时, S n = ( a1 + a 2 ) + ( a3 + a 4 ) + L + ( a n ?1 + a n )
=(3×1-54)+(3×3-54)+…+[3(n-1)-54]=3[1+3+5+…+(n-1)] ?

n × 54 2

3 2 3 n ? 27 n = (n ? 18)2 ? 243, 4 4 ∴当n = 18时, ( S n ) min = ?243; =
②当 n 为奇数时, S n = a1 + (a2 + a3 ) + L + ( an ?1 + an )

=
∴当n = 17或19时 ( S n ) min

3 2 105 3 3 n ? 27 n + + a1 = (n ? 18) 2 ? 216 + a1 , 4 4 4 4 = a1 ? 216 > ?243;

综上, 当n = 18时( S n ) min = ?243.
22.解:∵Sn=1+

1 1 1 + +…+ (n∈N*) 2 3 n

∴ f (n) = S 2 n +1 ? S n +1 =

1 1 1 + +L+ n+2 n+3 2n + 1
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又f (n + 1) ? f (n) =

1 1 1 1 1 2 + ? = + ? 2n + 2 2n + 3 n + 2 2n + 2 2n + 3 2n + 4 1 1 1 1 =( ? )+( ? )>0 2 n + 2 2n + 4 2n + 3 2n + 4

∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 1 1 9 ∴f(n) min=f(2)= + = 2 + 2 2 + 3 20 ∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式 11 f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立 20 9 11 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20 ?m > 0, m ≠ 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 > 0, m ? 1 ≠ 1 此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0 11 ?9 ? >t? 于是 ? 20 20 ?t > 0 ? 解得 0<t<1 由此得 0<[logm(m-1)]2<1 解得 m>

1+ 5 且 m≠2。 2

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