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(理科数学)广州市第五中学2012届高二下学期期中考试试题


广州市第五中学 2011-2012 高二下学期期中考试 理科数学
一.选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , B ? ?x | y ? ln(x ? 2)?,则 A ? B 等于( A. ?x|2 ? x<3? B. ?x|2<x ? 3? ) C. ?? ?,1? ? ?2,??

? D. ?1,2? C. )

?x | 1 ? x ? 2?

D. ?x | 1 ? x ? 2?

2. 不等式 ? x 2 ? 3x ? 2 的解集是( A. ?? ?,1? B. (2, ??) )

3. cos(?120o ) 的值为(

A.

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2


4.已知实数 a ? log2 3 , b ? ( ) , c ? log3 0.7 ,则 a , b , c 的大小关系为( A. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a

1 0 3 B. b ? a ? c

5.在等比数列 {an } 中,已知 a1a3a11 ? 8 ,那么 a2a8 =( A.12 B.16 C.4 D.6



6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 表面积为( ) A 72 B 66 C 60 D 30

? x ? y ? 1≥ 0, ? 7.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? x ? 2 y 的 ? x ≤ 0, ?
最小值是( A. 0 B. )

1 2

C.1

D. 2

8.

1 方程 x 3

? x ? 4 的根所在区间为(
B. (1, 2)



A. (0,1)

C. (2,3)

D. (3, 4)

9.对任意非零实数 a、 b ,定义一种运算: a ? b ,

?1? 其结果 y ? a ? b 的值由右图确定,则 ? log 2 8? ? ? ? ? ( ?2?
A.

?2



1 2

B.

3 4
|1? x|

C. 1

D.

5 3

10.若函数 y ? ( ) A. m ? ?1

1 2

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C. m ? 1 D. 0 ? m ? 1



B. ? 1 ? m ? 0

二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) sin ? ? cos ? 11.若 tan ? ? ?2 ,则 = . sin ? ? cos ?
2 2 12.直线 x ? y ? 2 ? 0 截圆 x ? y ? 4 所得的弦长为

x y 13.已知向量 a = ( x ? 2,2), b = ( 2, y ) ,若 a ? b ,则 3 ? 3 的最小值为

?

?

?

?



14. 在 ?ABC 中 , 已 知 a, b, c 分 别 ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 , S 为 ?ABC 的 面 积 , 若

? ? ? ? ? p ? (4, a2 ? b2 ? c2 ) , q ? (1, S ) 满足 p / / q ,则 ?C ?
三.解答题(本题共 6 小题,共 80 分)



15.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ( x ? R ) . (1)求函数 f (x) 的周期和单调减区间;

(2)若 f (

A ? 3 2 ?? ? ,且 A ? ? , ? ? ,求 cos 2 A 和 tan 2 A 的值. ? )? 2 8 5 ?2 ?

16. (本小题满分 12 分) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 图) 。 ( 1 ) 求 被 随 机 抽 取 的 100 名 同 学 中 身 高 不 超 过 120 厘 米 的 人 数 ;

(2)求出频率分布直方图中 a 的值; (3)若要从身高在 [130 ,140) , [140 , 150]两组内的学生中,用分层抽样的方法选取 6 人,再从这 6 个人中任选 2 人参加一项活动,求被选去参加活动的 2 人中至少有 1 人 身高在[140 ,150]内的概率. 17. (本小题满分 14 分) 如图,三角形 ABC 中,AC=BC= F 分别是 EC、BD 的中点。

2 AB ,四边形 ABED 是正方形,平面 ABED⊥底面 ABC,若 G、 2

(1)求证:GF//底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)若正方形 ABED 的边长为 1,求几何体 ADEBC 的体积。 18. (本小题满分 14 分) 某校学生社团心理学研究小组在对学生在一节课中上课注意力集中情况的调查研究中, 发现 其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t ? (0,14] 时,曲线是二

次 函 数 图 象 的 一 部 分 , t ? 12 为 其 对 称 轴 ; 当 t ? [14,40] 时 , 曲 线 是 函 数

y ? loga ?x ? 5? ? 83 ( a ? 0 且 a ? 1 )图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数 p 大于
80 时听课效果最佳.

(1) 试求 p ? f (t ) 的函数关系式; (2) 老师在什么时段内安排重点内容能使得学生听课效果最佳? 请说明理由. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?bn ? 前 n 项和 S n ? 满足 cn ? an bn 。 (1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)若 c n ?

3 2 1 3 n ? n .数列 ?an ?满足 an ? 4 ?(bn ?2) (n ? N ? ) ,数列 ?cn ? 2 2

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4
2

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f (x) 在区间 ?? 2,2? 上的最大值; (2)若函数 f (x) 在区间 ?? 2,1? 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f (x) 在区间 ?? 1,3? 上有零点,求实数 a 的取值范围.

参考答案

二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.

1 3

12. 2 2

13.6

14.

? 4

三.解答题(本题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? 1

? ? 2 2 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 (cos sin 2 x ? sin cos 2 x) 4 4 2 2 ? ? ? ? 2 (cos sin 2 x ? sin cos 2 x) ? 2 sin( 2 x ? ) …………………3 分 4 4 4 2? 2? ? ?? ∴T ? …………………4 分 ? 2 ? ? 3? 3? 7? ? 2k? ,即 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ∵ ? 2k? ? 2 x ? ? 4 4 2 4 2 3? 7? ? k? ? x ? ? k? , 即 8 8 7? ? 3? ? ∴ 函数 f (x) 的减区间为: ? …………………6 分 ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 8 ?8 ?
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 (
(2)由(1)得,

3 A ? 3 2 , ∴sin A ? ? ) ? 2 sin A ? 5 2 8 5 4 3 ?? ? 又∵ A ? ? , ? ? ,∴cos A ? ? ,∴tan A ? ? 5 4 ?2 ?
∴f (

…………………7 分 …………………8 分 …………………10 分 …………………12 分

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ?

7 , 25 2 tan A 24 tan 2 A ? =? 2 7 1 ? tan A

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)被随机抽取的 100 名同学中身高不超过 120 厘米的人数为: 100 ? ?(0.035? 0.005) ? 10?=40 …………………2 分 …………………4 分 (2) (0.005? 0.035? a ? 0.02 ? 0.01) ? 10 ? 1 得 a ? 0.03 由

(3)由题意得,从身高在 [130 ,140)的学生中抽取 4 人,分别记为: a1, a2 , a3 , a4

从身高在 [140 , 150]的学生中抽取 2 人,分别记为: b1 ,b2 分 设“被选去参加活动的 2 人中至少有 1 人身高在[140 ,150]内”为事件 A 基本事件有:

………5

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , a4 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , a1 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , a4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) ,

(a3 , a1 ) , (a3 , a2 ) , (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) ,
(a4 , a1 ) , (a4 , a2 ) , (a4 , a3 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (b1 , a1 ) , (b1 , a2 ) , (b1 , a3 ) , (b1 , a4 ) , (b1 , b2 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b2 , a3 ) , (b2 , a4 ) , (b2 , b1 ) ,共 30 种
事件 A 包含的基本事件有: ……………9 分

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (b1 , a1 ) , (b1 , a2 ) , (b1 , a3 ) , (b1 , a4 ) , (b1 , b2 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b2 , a3 ) , (b2 , a4 ) , (b2 , b1 ) ,共 18 种
所以 P( A) ? ……………11 分 …………………………12 分

m 18 3 ? ? n 30 5

17. (本小题满分 14 分)

(I) 证明:连结 AE, ∵ 四边形 ADEB 为正方形, ∴ AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点,…………………2 分 ∴ GF//AC, 又 AC ? 平面 ABC, GF ? 平面 ABC, ∴ GF//平面 ABC……………………………………4 分 (Ⅱ )∵ 四边形 ADEB 为正方形,∴ EB⊥ AB, 又∵ 平面 ABED⊥ 平面 ABC,平面 ABED ? 平面 ABC= AB, BE ? 平面 ABED

∴ BE⊥ 平面 ABC , 又∵ ? 平面 ABC, AC ∴ BE⊥ AC ………………………………………………7 分 2 2 2 又∵ +CB =AB ,∴ CA AC⊥ BC, ………………………………………………8 分 ∵ BC∩BE=B, ∴ AC⊥ 平面 BCE ……………………………………9 分 (Ⅲ )设正方形 ADEB 的边长为 a 作 AB 的中点 N,连结 CN,因为 AC=BC,∴ CN⊥ AB, …………………………10 分 又平面 ABED⊥ 平面 ABC,平面 ABED ? 平面 ABC= AB, CN ? 平面 ABC, ∴ CN⊥ 平面 ABED,∴ 是四棱锥 C—ABED 的高 CN ∵ 三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴CN ? ∵ C—ABED 是四棱锥, ∴ C—ABED= V ………………11 分 ………………………… 12 分

1 1 AB ? , 2 2

1 1 1 1 S ABED ? CN ? ? 1 ? ? 3 3 2 6

……………………14 分

18. (本小题满分 14 分)
2 解: (1) t ? (0,14] 时,设 p ? f (t ) ? c(t ? 12) ? 82 ( c ? 0 ),将 (14,81) 代入得 c ? ?

1 4

1 t ? (0,14] 时, p ? f (t ) ? ? (t ? 12) 2 ? 82 4

??????????2 分

t ? [14,40] 时,将 (14,81) 代入 y ? loga ?x ? 5? ? 83 ,得 a ?

1 3

???4 分

? 1 2 ?? 4 (t ? 2) ? 82 (0 ? t ? 14) ∴ p ? f (t ) ? ? . ?????????6 分 log 1 (t ? 5) ? 83 (14 ? t ? 40) ? ? 3 1 2 (2) t ? (0,14] 时, ? (t ? 12) ? 82 ? 80 解得 12 ? 2 2 ? t ? 12 ? 2 2 , 4
∴ t ? [12 ? 2 2 ,14] ??????????9 分 ???12 分

t ? [14,40] 时, log1 (t ? 5) ? 83 ? 80 解得 5 ? t ? 32 ,∴ t ? [14,32] ,
3

∴ t ? [12 ? 2 2,32] , 即老师在 t ? [12 ? 2 2,32] 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳. ???14 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知和得,当 n ? 2 时,

3 1 3 1 bn ? S n ? S n ?1 ? ( n 2 ? n) ? ( (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) ? 3n ? 2 2 2 2 2

??2 分

又 b1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ,符合上式。故数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 3n ? 2 。??3 分 又∵ a ? 4
3 n ? (bn ? 2)

,∴ a n ? 4

?

( bn ? 2 ) 3

?4

?

( 3n ? 2 ) ? 2 3

1 ? ( )n , 4

故数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ( ) ,

1 4

n

??????????5 分

(2) c n ? a n bn ? (3n ? 2) ? ( ) ,
n

1 4

1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n , ???????① 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ,??② 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3 ? [( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ①-②得 4 4 4 4 4 4 4 1 1 ( )2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 1 4 ? ? 3? 4 ? (3n ? 2) ? ( )n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 1 2 4 4 4 1? 4 2 12 n ? 8 1 n ?1 ?( ) 。 ∴ Sn ? ? ??????????10 分 3 3 4 S n ? 1?

1 n 4 1 n ?1 1 n 1 n 3n ? 1 ? (3n ? 2)] ∴ c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? ( ) ? [ 4 4 4 4 1 ? ?9 ? ( ) n ?1 (n ? 1) , 4 1 当 n ? 1 时, cn?1 ? cn ;当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,∴ (c n ) max ? c1 ? c 2 ? 。 4 1 2 1 2 1 若 c n ? m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,则 m ? m ? 1 ? 即可, 4 4 4
(3)∵ c n ? (3n ? 2) ? ( ) ,
2 ∴ m ? 4m ? 5 ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 1 。

??????????14 分

20. (本小题满分 14 分)
2 2 解:(1) 当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? 2x ? 4 ? ( x ? 1) ? 3

∴函数 f (x) 在区间 ?? 2,2? 上的最大值 ymax ? f (?2) ? 12 (2) 函数 f (x) 的对称轴为 x ? ?a

??????2 分

①函数 f (x) 在区间 ?? 2,1? 上是单调增函数,则满足 ? a ? ?2 ,∴ a ? 2 ??????4 分 (3)①函数 f (x) 在区间 ?? 1,3? 上有且只有 1 个零点
2 (ⅰ)△ ? 4a ? 16 ? 0 ,∴ a ? ?2

②函数 f (x) 在区间 ?? 2,1? 上是单调减函数,则满足 ? a ? 1 ,∴ a ? ?1 ??????6 分

2 当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的零点为 x ? ?2 ? ?? 1,3? 2 当 a ? ?2 时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的零点为 x ? 2 ? ?? 1,3?

∴ a ? ?2

5 13 或? 2 6 (ⅲ) f (?1) ? f (3) ? 0 ,得 (?2a ? 5) ? (6a ? 13) ? 0 ,
(ⅱ)当零点分别为 ? 1 或 3 时, a 的值分别为 解得 a ?

5 13 或a ? ? 2 6

????????????10 分


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