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2.1.2 指数函数及其性质 课件(人教A版必修1)


2.1

指数函数

2.1.2 指数函数及其性质

第1课时 指数函数的概念、图象及性质

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算 机画出指数函数图象. 2.初步掌握指数函数的有关性质. 3.在解决简单实际问题的过程中,体会

指数函数是 一类重要的函数模型.

研 习 新 知

? 新知视界
? 1.函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自 变量,函数的定义域是R. ? 2.指数函数 y =ax(a>0 且a≠1) 的图象和性质用下表 表示:

0<a<1

a>1

图 象

0<a<1 定义域 值域 R (0,+∞)

a>1 R (0,+∞)

(1)过定点(0,1),即x=0时, (1)过定点(0,1),即x=0时, y=1 y=1 性 质 (2)当x>0时,0<y<1;当 x<0时,y>1 (3)在R上是减函数 (2)当x>0时,y>1;当x<0 时,0<y<1 (3)在R上是增函数

? 3.底数a对图象的影响:在同一坐标系中,当a>1时, a越大,y轴右边的图象越靠近y轴,即底数越大, x>0时,函数值增长越快;当0<a<1时,a越小,y轴 左边的图象越靠近y轴,即底数越小,x<0,函数值 减小越快.

? 思考感悟 ? 1 .为什么在指数函数 y =ax 中规定底数 a 大于零 且不等1? ? 提示: (1) 如果 a = 0 ,当 x>0 时, ax 恒等于 0 ;当 x≤0时,ax无意义.

1 (2)如果 a<0,例如 y=(- 4) ,这时对于 x= , x= 4
x

1 ,…,在实数范围内函数值不存在. 2 (3)如果 a= 1, y= 1x= 1,是一个常量. 为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a≠1. 2.函数 y=f(x)与 y=f(-x) 关于 y 轴对称,y= 1 x a 与 y=( ) (a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称.
x

a

? 自我检测
? ? ? ? ? ? 1.下列一定是指数函数的是( ) A.形如y=ax的函数 B.y=xa(a>0,且a≠1) C.y=(|a|+2)x D.y=(a-2)ax 解析:∵y=(|a|+2)x符合指数函数的定义, ∴y=(|a|+2)x是指数函数. 答案:C

? ? ? ? ? ? ?

2.指数函数y=ax与y=bx的图象如右图1,则( A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 图1 解析:结合指数函数的图象知b>1,0<a<1. 答案:C

)

? ? ? ?

3.函数y=πx的值域是( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.R D.(-∞,0) 答案:A

? 4.函数y=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围 是________. ? 解析:∵y=(a-1)x在R上递减, ? ∴0<a-1<1,∴1<a<2. ? 答案:(1,2) ? 5 . 已 知 指 数 函 数 f(x) 的 图 象 过 点 (3,8) ,求 f(6) 的 值. ? 解: 设 f(x) = ax ,则 a3 = 8 , ∴ a = 2 , ∴ f(x) = 2x , ∴f(6)=26=64.

互 动 课 堂

? 典例导悟
? 类型一 指数函数的概念 ? [例1] 指出下列函数哪些是指数函数: ? (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y =4x2;(6)y=xx;(7)y=(2a-1)x(a>,且a≠1). ? [分析] 根据指数函数的定义进行判断.

? [解] (1)(7)为指数函数. ? (2)不是指数函数. ? (3) 是- 1 与指数函数 4x 的乘积,所以不是指数函 数. ? (4)中底数-4<0,所以不是指数函数. ? (5)中指数不是自变量x,所以不是指数函数. ? (6)中底数x不是常数,不符合指数函数的定义,所 以不是指数函数.

? 变式体验1 若y=(a-3)·(a-2)x是指数函数,求a 的值.

解: 由 y = (a - 3)·(a - 2)x 是指数函数,得 ?a-3 =1 ? ?a-2>0 ?a-2 ≠1 ?

,∴a =4.

类型二 [例 2]

指数函数的图象问题 1 已知函数 y=( )|x+1|. 3

(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值.

[分析 ]

先化去绝对值符号, 将函数写成分

1 |x| 段函数的形式,再作图象,也可作出 y= ( ) 3 1 |x+ 1| 的图象后平移,得 y= ( ) 的图象,进而得单 3 调区间与最值.

[解]

(1)方法 1:由函数解析式可得 ?x≥- 1? ? x<- 1?

? 1 x+1 1 |x+1| ??3? y= ( ) =? 3 x+ 1 ? ?3

其图象由两部分组成: 向左平移 1个单位 1 x 1 一部分是: y = ( ) (x≥ 0) ―---―--------→ y = ( )x + 3 3
1

(x≥- 1);

另一部分是: y= 3x(x<0) 向左平移 1个单位 ――-----------→y= 3x+1(x<- 1). 如图 2 :

图2

1 |x| 方法 2:① y= ( ) 可知函数是偶函数,其图象 3 1x 关于 y 轴对称,故先作出 y=( ) 的图象保留 x≥0 3 1 的部分,当 x<0 时,其图象是将 y= ( )x(x≥ 0)图象 3 1 关于 y 轴对折,从而得出 y= ( )|x|的图象. 3

1 |x| 1 |x ②将 y=( ) 向左平移 1 个单位,即可得 y=( ) 3 3
+1|

的图象,如图 3 所示.

图3

? (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1, +∞)上是减函数. ? (3)由图象知当x=-1时,有最大值1,无最小值. ? [点评] (1)指数型函数的作图一般从最基本的指数 函数入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.

? (2)带有绝对值的图象作图,一般分为两种情况, 一种是去掉绝对值作图,一种是不去绝对值,如y =f(|x|)可依据函数是偶函数,先作出y=f(x)(x≥0)的 图象,x<0时的图象只需将y=f(x)(x≥0)图象关于y轴 对称过去即可,又如y=|f(x)|的图象,可作出y=f(x) 的图象,保留x轴上方图象,将下方图象关于x轴对 称过去即可得y=|f(x)|的图象.

变式体验 2 如图 4 所示的曲线是指数函数 y=ax 4 3 1 的图象,已知 a∈{ 2, , , },则相应于曲线 C1, 3 10 5 C2,C3,C4 的 a 值依次是________.

图4

解析:根据图象直观可知:C1,C2 的底数小于 1,C3, C4 的底数大于 1,又当指数函数的底数小于 1 时,图象下 降,且底数越小,在 y 轴右侧图象越靠近 x 轴,∴C1,C2 3 1 对应的底数分别为 , ,当指数函数的底数大于 1 时, 10 5 图象上升且底数越大在 y 轴右侧的图象越靠近 y 轴, ∴C3, 4 C4 对应的底数分别为 2, ,∴相应于曲线 C1,C2,C3, 3 3 1 4 C4 的 a 值应该依次填: , , 2, . 10 5 3

3 1 4 答案: , , 2, 10 5 3

类型三

指数函数的定义域与值域

[例 3] (1)函数 y= 1- 3x的定义域是 ________; 1 (2)求函数 y= ( ) x- 2的定义域和值域. 3

[解]

(1)由 1-3x≥0,得 3x≤1=30.

因为函数 y=3x 在实数集上是增函数, 所以 x≤0,故函数 y= 1-3x的定义域为(- ∞,0].

(2)由 x- 2≥0,得 x≥2, 所以此函数的定义域为[2,+∞ ). 1 当 x∈ [2,+∞ )时, x-2 ≥0,又 0< <1. 3 1 10 由指数函数的性质知, y= ( ) x-2 ≤( ) = 1, 3 3 且 y>0,故此函数的值域为(0,1].

? [点评] 本题中的函数都不是指数函数,但都与指 数函数有关.根据指数函数的定义域为R,值域为 (0,+∞),结合前一章求函数定义域和值域的方法, 可以求解一些简单函数的定义域和值域.在求解中 要注意正确运用指数函数的单调性.在求值域问题 时,既要考虑指数函数的单调性,还应注意指数函 数的值域为(0,+∞).

变式体验 3 (1)已知函数 y= ax-1的定义域是 (-∞,0],则实数 a 的取值范围为________; 1 x (2) 函 数 f(x) = ( ) - 1 , x ∈ [ - 1,2] 的 值 域 为 3 ________.

解析:(1)由 ax- 1≥ 0,得 ax≥ 1= a0,因为 x∈(- ∞, 0],由指数函数的性质知 0<a<1. 1x (2)函数 y= ( ) 在区间 [-1,2]上是减函数, 3 1 2 1 x 1 -1 1 1x 所以 ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) ,即 ≤ ( ) ≤ 3. 3 3 3 9 3 1 8 于是 - 1≤f(x)≤ 3- 1,即- ≤f(x)≤ 2. 9 9

8 答案:(1)0<a<1 (2)[- ,2] 9

? 类型四 比较大小 ? [例4] 比较下列各组数的大小:

? [分析] 因为是两个指数幂比较大小,故解答本题 可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数, 将两数进行比较.

1x 1 (2)考察函数 y=( ) .∵0< <1, π π 1x ∴函数 y=( ) 在(-∞,+∞)上是减函数. π 1 -π 1 0 又-π<0,∴( ) >( ) =1. π π

(3)先考察函数 y= 0.8x.∵0<0.8<1, ∴函数 y=0.8x 在 (-∞ ,+∞ )上是减函数. 又- 2<0,∴ 0.8-2>0.80=1. 5x 再考察函数 y=( ) . 4 5 5 ∵ >1, ∴函数 y= ( )x 在(-∞, +∞)上是增函数. 4 4

? [点评] 比较幂的大小的常用方法: ? (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数 不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指 数函数图象的变化规律来判断.(3)对于底数不同, 且指数也不同的幂的大小比较,则应通过中间值来 比较.

? 变式体验 4 已知 a = 0.80.7 , b = 0.80.9 , c = 1.20.8 , 则a、b、c的大小关系是( ) ? A.a>b>c B.b>a>c ? C.c>b>a D.c>a>b ? 解析:∵y=0.8x是减函数,∴a=0.80.7>0.80.9=b, 且a=0.80.7<0.80=1.又c=1.20.8>1,∴c>a>b.故选D. ? 答案:D

?
?

思悟升华

1 .指数函数是形式化的概念,形如 y = ax(a>0 , 且 a≠1) 的函数被称为指数函数,这里 x 是自变量, 要判断一个函数是否是指数函数,需抓住三点:① 底数大于零且不等于1;②幂指数有单一的自变量x; ③系数为1,且没有其他的项. ? 2 . 当 底 数 a 大 小 不 定 时 , 必 须 分 “ a>1” 和 “0<a<1”两种情况讨论.

?

3 .当a>1时, a的值越大,y 轴右边的图象越靠 近y轴,当0<a<1时,a的值越小,y轴左边的图象越 靠近y轴. ? 4 .指数函数 y = ax(a>0 且 a≠1) 的定义域是 R ,其 值域是(0,+∞). ? 关于指数型函数 y = af(x) + b 的定义域可结合求函 数定义域的方法,通过解不等式或不等式组来解决; 求其值域可采用换元法,既要考虑指数函数的单调 性,还应注意指数函数的值域是(0,+∞).

? 5.比较幂值的大小常常化为同底数的幂,根据指 数函数的单调性比较大小.如果不能化为同底数的 幂,则要借助幂值的范围利用中间值过渡(常选1作 中间值).

课时作业(15)


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