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2014高中数学 第一章 第一节集合同步学案 新人教A版必修1


集合
学习过程 知识点 1:集合与元素的理解 (1)一般地,研究对象统称为元素,常用 a,b,c …表示, 一些元素组成的总体叫集合, 常用 A,B,C…表示,也简称集,如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A,如果 a

不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a ? A。 (2)注意凡是看得见、摸得着、想得到的任何

事物都可以作为组成 集合的对象。 (3)集合是一个整体已经暗含所有、全部、全体的意思,因此一些对象一旦组成了集合, 那么这个集合就是这些对象的全体, 而非个别对象, 例如{x|x>0}就是指所有大于 0 的实数。 (4)集合与元素之间的关系是整体与个体的关系这种写法是错误的{1}∈{1、2、3}。 知识点 2:集合中元素的三个特性 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合 ,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:{a,b,c}与 { b,a,c}是同一个集合。 知识点 3:集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号 内表示集合的方法。一般有这样 几种不同的写法{1,2,3,4},{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n,…} (2)描述法:{x|x∈p(x)},其中一对大括号是必须的,x 是代表元素,他说明这个集合是 点集还是数集等,p(x)是代表元素满足的性质。 竖线不可省。 (3)自然语言:如{2,4,6,8}用自然语言叙述为:大于等于 2 且小于等于 8 的偶数组成 的集合。 (4)集合的图形表示法:1、韦恩(Venn)图,用平面上封闭曲线的内部表示集合 2、数轴法,如下表示集合{x|-4<x<2},实点表示能取到该值,空点表示取不到。

知识点 4:集合的运算 1、子集、真子集:如果集合 A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B 或 B ? A . 符号语言:若 x∈A 则 x∈B 图形语言:如图 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q,或 Q 不包含 P.记作: P ? Q ; 若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子 集. A ? B 或 B ? A .注意任何一个集合都是他本身的子集,不含任何元素的集合叫做空 n 集Ф ,规定空集是任何集合的子集。牢记以下四个结论:n 个元素的集合有 2 个子集;n 个 n n n 元素的集合有 2 -1 个真子集;n 个元素的集合有 2 -1 个非空子集;n 个元素的集合有 2 -2 个非空真子集。 2、并集:一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们 所有的元素并在一起所组成的集合,叫

1

做 A,B 的并集.记作 A∪B(读作"A 并 B") , 符号语言:A∪B={x|x∈A,或 x∈B} .Veen 图: 如: {1,2,3,6}∪{1,2,5 ,10}={1,2,3,5,6,10} . 又如:A={a,b,c ,d,e},B={c,d,e,f}.则 A∪B={a,b,c,d,e,f} 注意 1、A∪B 是所有属于 A 和 B 的元素放在一起,并且满足互异性。2、A∪B 仍然是个集合。 A∪B 共有以下五种图示:

3、交集:一般 的所有属于 A 且属于 B 的元素 组成的集合叫做 A 与 B 的交集。记作:A ∩B 读作:A 交 B,符号语言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}Veen 图: A∪B 共有以下五种图示:

4、补集:若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素构成 的集合,叫做 A 在 U 中的补集, 记作 CU A ,读作:A 在 U 中的补集 CU A ={x|x ? A}

学习结论 1、 凡 是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的元素。 2、 集合的三个特性:确定性、互异性、无序性。 3、 集合的表示方法:列举法、描述法、自然语言;图形表示法:数轴法、Veen 图 约定俗成的特定集合:非负整数集(或自然数集) ,记作 N;;整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z;有理数集,记作 Q;实数集,记作 R,不能随意延伸,造作。 4、 关于 子集、真子集、非空真子集、个数的四 个结论。

2

5、 熟练掌握子交并补的三种语言表示,即文字语言、符合语言、图形语言。 典型例题 例题 1、已知集合 A ? ? x

1 1? ? ? ? , B ? ?x 2m ? 1 ? x ? m ? 1, m ? R?,且 B ? A ,求 ? x ? 2 7?

m 的取值范围.
解析: A ? ?x | ?2 ? x ? 5? ∵B? A 当 2m ? 1 ? m ? 1 即 m ? 2 时, B ? ? ? A 当 2m ? 1 ? m ? 1 即 m ? 2 时, B ? ?3? ? A 当 2m ? 1 ? m ? 1 即 m ? 2 时, ? 综上得 m ? ?

??2 ? 2m ? 1 1 1 ? ? ? m ? 4 ,∴ ? ? m ? 2 2 2 ?m ? 1 ? 5

1 2

2 例题 2、已知 A ? 集合 x 2 ? x ? 3 , 集合 B ? x kx ? 2x ? 6k ? 0 ,实数集 R .

?

?

?

?

(1) 若 A ? B ,求实数 k 的值; (2) 若 B ? R ? R ,求实数 k 的取值范围.
2 解 析 : (1) 由 A ? B 知 不 等 式 kx ? 2 x ? 6k ? 0 的 解 集 是 x 2 ? x ? 3 , 所 以

?

?

? 2 ?? k ? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ,且 x1 ? 2, x2 ? 3 是 方 程 kx ? 2 x ? 6k ? 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 得 ? ? 6k ? 2 ? 3 ? 6 ?k ?
2 k ? 0. ? k ? ? . 5
2 (2)由 B ? R ? R 知不等式 kx ? 2 x ? 6k ? 0 的解集是 R, 显 然 k ? 0,

?k ? 0 6 ,解之得 k ? . ?B?R ? R ?? 2 6 ?? ? 2 ? 4k ? 6k ? 0
1 ? a, (a ? R). 2? x 1 1 1 ? a( x ? 2) ax ? (2a ? 1) ?a? ?a?0? ?0? ? 0. 解析: 2? x x?2 x?2 x?2 1 ? 0. ? 原不等式的解集为 ?x x ? 2?; (1)当 a ? 0 时, 原不等式 ? 2? x 1 x ? (2 ? ) a ? 0. 这时 2 ? 1 ? 2, ? 原不等式的解集为 (2) 当 a ? 0 时, 原不等式 ? a x?2
例题 3、解关于 x 的不等式:
3

1 ? ? ? x 2 ? ? x ? 2? ; a ? ?
1 x ? (2 ? ) a ? 0. 这时 2 ? 1 ? 2, ? 原不等式的解集为 (3) 当 a ? 0 时, 原不等式 ? a x?2

1? ? ? x | x ? 2, 或x ? 2 ? ? . a? ?
例题 4、 已知集合 求实数 的取值范 围。 解: 少有一个负根。 , 中至少含有一个负数, 即方程 至 , , 若 ,

当方程有两个负根时,





当方程有一个负根与一个正根时,

当方程有一个负根与一个零根时, 或 或

从而实数 的取值范围为 方法 2 , 中至少含有一个负数

取全集 当 A 中的元素全是非负数时,





所以当

时的实数 a 的取值范围为

4

从而当

时的实数 a 的取值范围为

5


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