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2014年江苏省苏州市高考数学一模试卷


2014 年江苏省苏州市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. 1. (5 分) (2014?苏州一模) 已知集合 A={x|x<2}, B={﹣1, 0, 2, 3}, 则 A∩B= 2.(5 分)(2014?苏州一模)已知 i 为虚数单位,计算(1+2i)(1﹣i)

= 3. (5 分) (2014?苏州一模) 若函数 ( f x) =sin (x+θ) ( 对称,则 θ= . ) 的图象关于直线
2

. .

4.(5 分)(2014?苏州一模)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5=5,S9=27,则 S7= . 5.(5 分)(2014?苏州一模)若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为 取值范围是[﹣1,4]. .

6.(5 分)(2014?苏州一模)运行如图所示程序框图,若输入值 x∈[﹣2,2],则输出值 y 的

7.(5 分)(2014?苏州一模)已知 tanx= .



,则

8.(5 分)(2014?苏州一模)函数 y=ex﹣lnx 的值域为



9. (5 分) (2014?苏州一模) 已知两个单位向量 , 的夹角为 60° , =t + (1﹣t) . 若 ? =0, 则 t= . . ,则不等式 f(x ﹣x+1)
2

10.(5 分)(2014?苏州一模)已知 m∈{﹣1,0,1},n∈{﹣1,1},若随机选取 m,n,则直 线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限的概率是 11. (5 分) (2014?苏州一模)已知 <12 的解集是
2 2 2


2

12.(5 分)(2014?苏州一模)在直角坐标系 xOy 中,已知 A(﹣1,0),B(0,1),则满 足 PA ﹣PB =4 且在圆 x +y =4 上的点 P 的个数为 . 13( .5 分) (2015?青浦区一模) 已知正实数 x, y 满足 xy+2x+y=4, 则 x+y 的最小值为
第 1 页(共 22 页)



14.(5 分)(2014?苏州一模)若 范围是 .

(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15( .14 分) (2014?新昌县二模) 在△ ABC 中, 设角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 (1)求角 A 的大小; (2)若 ,b=4,求边 c 的大小. 16.(14 分)(2014?苏州一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥ 平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥ 平面 MDB; (2)PD⊥ BC. .

17.(14 分)(2014?苏州一模)甲、乙两地相距 1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不得超过 80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变 成本是速度平方的 倍,固定成本为 a 元. (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶? 18.(16 分)(2014?苏州一模)如图,已知椭圆 的右顶点为 A(2,

0),点 P(2e, )在椭圆上(e 为椭圆的离心率). (1)求椭圆的方程; (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 ,且 ,求实数 λ 的值.

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19.(16 分)(2014?苏州一模)设数列{an}满足 an+1=2an+n ﹣4n+1. (1)若 a1=3,求证:存在 f(n)=an +bn+c(a,b,c 为常数),使数列{an+f(n)}是等比数 列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式. 20.(16 分)(2014?苏州一模)已知 a,b 为常数,a≠0,函数 (1)若 a=2,b=1,求 f(x)在(0,+∞)内的极值; (2)① 若 a>0,b>0,求证:f(x)在区间[1,2]上是增函数; ② 若 f(2)<0,f(﹣2)<e 的平面区域的面积.
﹣2

2

2



,且 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(a,b)形成

三.附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 21.(10 分)(2014?苏州一模)如图,MN 为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依次交 于 A,B,C,D,E,求证:AB?CD=BC?DE.

B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 22.(10 分)(2014?启东市模拟)已知 a,b∈R,若 M= 2x﹣y=3 变换为自身,求实数 a,b,并求 M 的逆矩阵. C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 0 分) 23. (2014?苏州一模)在极坐标系中,求点 M 的极坐标,并求 MN 的长. D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 0 分) 24.(2014?苏州一模)已知 x,y,z 均为正数.求证:
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所对应的变换 TM 把直线 L:

关于直线

的对称点 N



【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(10 分)(2014?苏州一模)如图,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,正四棱锥 P﹣ABCD 的 侧棱长与底边长都为 (1)求证:MN⊥ AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值. ,点 M,N 分别在 PA,BD 上,且 .

26.(10 分)(2014?苏州一模)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 八个顶点中任取四个点,当四点共面时,ξ=0,当四点不共面时,ξ 的值为四点组成的四面体的 体积. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ).

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2014 年江苏省苏州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. 1. (5 分) (2014?苏州一模)已知集合 A={x|x<2},B={﹣1,0,2,3},则 A∩B= 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 由 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解:∵ A={x|x<2},B={﹣1,0,2,3}, ∴ A∩B={﹣1,0}. 故答案为:{﹣1,0} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

{﹣1,0}



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2.(5 分)(2014?苏州一模)已知 i 为虚数单位,计算(1+2i)(1﹣i) = 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 直接由复数代数形式的乘法运算化简. 解:(1+2i)(1﹣i) =(1+2i)(1﹣2i+i ) =(1+2i)(﹣2i)=﹣2i﹣4i =4﹣2i. 故答案为:4﹣2i. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题.
2 2 2

4﹣2i .

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3. (5 分) (2014?苏州一模) 若函数 f (x) =sin (x+θ) ( 对称,则 θ= .

) 的图象关于直线

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的图象.

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三角函数的图像与性质. 利用正弦函数的对称性知 +θ=kπ+ ,k∈Z,而 0<θ< 对称, ,于是可求得 θ 的值.

解:∵ 函数 f(x)=sin(x+θ)的图象关于直线 x= ∴ +θ=kπ+ ,k∈Z,

∴ θ=kπ+ 又 0<θ<

,k∈Z, ,
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∴ θ=

, . (k∈Z)是关键,考查理解与运算能力,属于中

故答案为: 点评:

本题考查正弦函数的对称性,求得 θ=kπ+ 档题.

4. (5 分) (2014?苏州一模) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 已知 S5=5, S9=27, 则 S7= 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解:∵ 数列{an}是等差数列,S5=5,S9=27,

14



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解得



∴ S7= 故答案为:14. 点评:

=﹣7+21=14.

本题考查了等差数列的前 n 项和公式,属于基础题. π .

5.(5 分)(2014?苏州一模)若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为 考点: 专题: 分析: 解答: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 空间位置关系与距离.

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首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长,然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出 即可. 解:∵ 圆锥的底面半径为 1,高为 2, ∴ 母线长为: , = π,

∴ 圆锥的侧面积为:πrl=π×1× 故答案为: 点评: 关键. π.

本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的

6.(5 分)(2014?苏州一模)运行如图所示程序框图,若输入值 x∈[﹣2,2],则输出值 y 的取 值范围是[﹣1,4].

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考点: 专题: 分析:

程序框图.

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算法和程序框图. 根据程序框图知:算法的功能是求 y= 可得答案. 的值,求分段函数的值域

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 y= 当﹣2≤x<0 时,函数为减函数,∴ 0<y≤4; 当 0≤x≤2 时,函数 y=x(x﹣2),∴ ﹣1≤y≤0. 综上 y 的取值范围是[﹣1,4]. 故答案为:[﹣1,4]. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图, 分段函数求值域的方法是先在不同的段上值域, 再求并集. 的值,

7.(5 分)(2014?苏州一模)已知 ﹣7 .



,则 tanx=

考点: 专题: 分析: 解答:

两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数. 三角函数的求值.

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利用两角和和差的正弦公式,展开进行整理即可得到结论. 解:∵ , ,





两式相比得


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即 4sinx+4cosx=3sinx﹣3cosx, ∴ sinx=﹣7cosx, ∴ tanx=﹣7, 故答案为:﹣7 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用,要求熟练掌握相应的三角公式. [2,+∞) .

8.(5 分)(2014?苏州一模)函数 y=ex﹣lnx 的值域为 考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性;函数的值域. 导数的综合应用.

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本题考查了函数的单调性,函数的值域,利用导数来判断函数的单调性. 解:定义域为(0,+∞), y′>0, 所以函数在区间 (0 , ) 上单调递减, 在区间 ( 所以函数的值域为[2,+∞). 故答案为:[2,+∞). ) 上单调递增, 所以 ( f x) ≥ , = ,当 时 y′<0,当 时,

点评:

利用导函数的正负性判断函数的单调性,是常考的一种题型,注意要考虑函数的定义域.

9. (5 分) (2014?苏州一模) 已知两个单位向量 , 的夹角为 60° , =t + (1﹣t) . 若 ? =0, 则 t= 2 . 平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 平面向量及应用. 由于 ? =0,对式子 =t +(1﹣t) 两边与 作数量积可得 经过化简即可得出. 解答: 解:∵ ∴ tcos60° +1﹣t=0,∴ 1 故答案为 2. 点评: 熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键. , ,∴ =0, =0,

考点: 专题: 分析:

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=0,解得 t=2.

10.(5 分)(2014?苏州一模)已知 m∈{﹣1,0,1},n∈{﹣1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限的概率是 .

考点: 专题: 分析:

古典概型及其概率计算公式. 概率与统计.

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根据古典概型的概率公式求出相应事件的个数,即可得到结论.

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解答:

解:由 mx+ny+1=0 得 y=



要使直线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限,



或者









∴ n=﹣1,m=1 或 n=1,m=0 共有 2 个结果. ∵ m∈{﹣1,0,1},n∈{﹣1,1}, ∴ m,n 的选择共有 3× 2=6 个结果, 则根据古典概率的概率公式得所求的概率 P= 故答案为: 点评: 本题主要考查古典概型的概率的计算, 根据直线不经过第二象限, 分别求出对应斜率和截距的 关系是解决本题的关键,比较基础. ,

11. (5 分) (2014?苏州一模)已知 <12 的解集是 考点: 专题: 分析: 解答: 解:∵ (﹣1,2) .

,则不等式 f(x ﹣x+1)

2

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用.

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由题意可得函数 f(x)为奇函数,函数 f(x)在 R 上是增函数.令 x +x=12,求得 x=3 或 x= ﹣4(舍去).故由不等式 f(x ﹣x+1)<12,可得 x ﹣x+1<3,由此求得 x 的范围. ,则函数 f(x)为奇函数,
2 2

2

再根据 f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(0)=0,可得函数 f(x)在 R 上是增函数. 令 x +x=12,求得 x=3 或 x=﹣4(舍去). ∴ 由不等式 f(x ﹣x+1)<12,可得 x ﹣x+1<3,即 (x+1)(x﹣2)<0, 解得﹣1<x<2, 故答案为:(﹣1,2). 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用,属于基础题.
2 2 2

12.(5 分)(2014?苏州一模)在直角坐标系 xOy 中,已知 A(﹣1,0),B(0,1),则满足 PA ﹣PB =4 且在圆 x +y =4 上的点 P 的个数为 考点: 专题: 轨迹方程.
2 2 2 2

2



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综合题;直线与圆.
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分析: 解答:

设出 P 点的坐标,由已知等式求出 P 点的轨迹方程,和圆的方程联立求解 P 点的坐标,则答 案可求. 解:设 P(x,y), ∵ A(﹣1,0),B(0,1), 由 PA ﹣PB =4,得(x+1) +y ﹣x ﹣(y﹣1) =4. 整理得:x+y=2. 联立 ,解得: 或 .
2 2 2 2 2 2

∴ P 点坐标为(0,2)或(2,0). 即满足条件的 P 点的个数为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,考查了方程组的解法,是中档题. .

13( .5 分) (2015?青浦区一模) 已知正实数 x, y 满足 xy+2x+y=4, 则 x+y 的最小值为 考点: 专题: 分析: 解答: 基本不等式.

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不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式即可得出. 解:∵ 正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4, ∴ ∴ x+y=x+ 当且仅当 x= ∴ x+y 的最小值为 (0<x<2). = 时取等号. . =(x+1)+ ﹣3 ﹣3= ﹣3,

点评:

故答案为: . 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

14.(5 分)(2014?苏州一模)若

(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值

范围是

(﹣∞,﹣ )



考点: 专题: 分析:

函数恒成立问题.

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函数的性质及应用. 设 f(x)= ,m≠0,可求得 f′(x)= ,依题意,要使 f(x)<0 恒成立,

需对 m 分 m>0,﹣1<m<0,及 m=﹣1 三类讨论,利用函数的单调性即可求得答案. 解答: 解:∵ 设 f(x)= ,m≠0,

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则 f′(x)=

=



∵ x≥4,要使 f(x)<0 恒成立,需分 3 种情况: ① 若 m>0 或 m<﹣1, f′ ( x) >0, f ( x) 是增函数, f (4) = <0; 解得:m<﹣1; ∴ m<﹣1; ② 若﹣1<m<0,f′(x)<0,f(x)是减函数,f(4)= <0 , <0, 且 =m

解得:﹣1<m<﹣ ,或﹣ <m<0; ∴ ﹣1<m<﹣ 或﹣ <m<0; ③ 若 m=﹣1,f(x)= =﹣1<0.

综上所述,m 的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪ (﹣ ,0) 故答案为:(﹣∞,﹣ ))∪ (﹣ ,0). 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查构造函数思想与分类讨论思想的综合运用,考查导数法判定 函数的单调性,属于难题. 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2014?新昌县二模) 在△ ABC 中, 设角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 (1)求角 A 的大小; (2)若 考点: 专题: 分析: ,b=4,求边 c 的大小. 余弦定理;正弦定理. .

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三角函数的求值;解三角形. (1)利用正弦定理化简已知等式,再利用内角和定理及诱导公式变形,根据 sinC 不为 0 求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)由 a,b,cosA 的值,利用余弦定理求出 c 的值即可.

解答:

解:(1)利用正弦定理化简 acosC+ c=b,得:sinAcosC+ sinC=sinB, ∵ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴ sinAcosC+ sinC=sinAcosC+cosAsinC,即 sinC=cosAsinC, ∵ sinC≠0,
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∴ cosA= , ∵ A 为三角形内角, ∴ A= ; ,b=4,cosA= ,
2 2 2 2 2

(2)∵ a=

∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,15=16+c ﹣4c,即 c ﹣4c+1=0, 解得:c= 点评: =2± .

此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理是解本题的关键.

16. (14 分) (2014?苏州一模) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 四边形 ABCD 是矩形, 平面 PCD⊥ 平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥ 平面 MDB; (2)PD⊥ BC.

考点: 专题: 分析:

直线与平面平行的判定. 空间位置关系与距离.

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(1)连接 AC,交 BD 与点 O,连接 OM,先证明出 MO∥ PA,进而根据线面平行的判定定理 证明出 PA∥ 平面 MDB. (2)先证明出 BC⊥ 平面 PCD,进而根据线面垂直的性质证明出 BC⊥ PD.

解答:

证明:(1)连接 AC,交 BD 与点 O,连接 OM, ∵ M 为 PC 的中点,O 为 AC 的中点, ∴ MO∥ PA, ∵ MO?平面 MDB,PA?平面 MDB, ∴ PA∥ 平面 MDB. (2)∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD,BC⊥ CD, ∴ BC⊥ 平面 PCD, ∵ PD?平面 PCD, ∴ BC⊥ PD.

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点评:

本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定.判定的关键是先找到到线线平行,线线 垂直.

17.(14 分)(2014?苏州一模)甲、乙两地相距 1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不得超过 80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变 成本是速度平方的 倍,固定成本为 a 元. (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶? 考点: 专题: 分析: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 导数的综合应用. (1)求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间,根据货车每小时的运输成本(以元为单位) 由可变部分和固定部分组成,可得全程运输成本,及函数的定义域; (2)利用基本不等式可得,然后分类讨论. 解答: 解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为 y= ,即 y=1000( ) ≥1000 , ),定义域为(0,80], , 当且仅当 , 即 v=2 时,

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(2) 依题意知 a,v 都为正数, 故有 1000( 等号成立, ① 若2 ② 若2 ≤80,即 0<a≤1600 时,则当 v=2

时,时,全程运输成本 y 最小. )<0.

>80,即 a>1600 时,则当 v∈(0,80]时,有 y′=1000(

∴ 函数在 v∈(0,80]上单调递减,也即当 v=80 时,全程运输成本 y 最小, 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 0<a≤1600 时行驶速度应为 v=2 1600 时行驶速度应为 v=80 千米/时. 点评: 本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,考查导数知识,解题的关键是构建函数 模型,利用基本不等式求最值. 时千米/时;当 a>

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18.(16 分)(2014?苏州一模)如图,已知椭圆

的右顶点为 A(2,

0),点 P(2e, )在椭圆上(e 为椭圆的离心率). (1)求椭圆的方程; (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 ,且 ,求实数 λ 的值.

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题.

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圆锥曲线中的最值与范围问题.

(1)由已知条件推导出 a=2,

,由此能求出椭圆的方程.

(2)设直线 OC 的斜率为 k,则直线 OC 方程为 y=kx,直线 AB 方程为 y=k(x﹣2),分别 代入椭圆方程 x +4y =4,由 解答: 解:(1)∵ 椭圆 的右顶点为 A(2,0),∴ a=2,
2 2

=0,求出 k=

,再由

=

,能求出实数 λ 的值.

∵ 点 P(2e, )在椭圆上,


2


2 2 2

∵ a =4, ∴ b =1,c =3, ∴ 椭圆的方程为
2 2

,a =b +c ,



(2)设直线 OC 的斜率为 k,则直线 OC 方程为 y=kx, 代入椭圆方程
2 2

,即 x +4y =4, ,

2

2

得(1+4k )x =4,∴

第 14 页(共 22 页)

∴ C(



),
2 2

又直线 AB 方程为 y=k(x﹣2),代入椭圆方程 x +4y =4, 得(1+4k )x ﹣16k x+16k ﹣4=0, ∵ xA=2,∴ xB= ,
2 2 2 2



=0,



+

=0,



,∵ C 在第一象限,∴ k>0,∴ k=





=(

),

=(2﹣

,0 ﹣

)= (



),

由 ∴ k= 点评:

= ,∴

,得 .



本题考查椭圆方程的求法,考查实数的值的求法,解题时要认真审题,仔细运算,注意推理 论证能力的培养.

19.(16 分)(2014?苏州一模)设数列{an}满足 an+1=2an+n ﹣4n+1. (1)若 a1=3,求证:存在 f(n)=an +bn+c(a,b,c 为常数),使数列{an+f(n)}是等比数 列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式. 考点: 专题: 分析: 等比数列的性质;等比关系的确定. 等差数列与等比数列. (1)设 an+1 +a(n+1) +b(n+1)+c=2(an+an +bn+c),即 an+1=2an+an +(b﹣2a)n+c﹣ a﹣b,
2 2 2 2 2

2

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由已知得

,求得 a、b、c 的值,可得存在 f(n)=n ﹣2n,从而求得 an 的解

析式. (2)由条件可得 an+1+(n+1) ﹣2(n+1)=2(an+n ﹣2n),求得 an 的解析式,可得 bn 的 解析式,再根据{bn}是等差数列,求得 a1=1 和 bn.
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2 2

解答:

解:(1)∵ 数列{an}满足 an+1=2an+n ﹣4n+1,
2 2

2

设 an+1 +a(n+1) +b(n+1)+c=2(an+an +bn+c),即 an+1=2an+an +(b﹣2a)n+c﹣a﹣b,

2



,即



∵ a1+1﹣2=2,∴ 存在 f(n)=n ﹣2n,使数列{an+f(n)}是等比数列, ∴ an+n ﹣2n=2× 2
n 2 2 n﹣1

2


2

∴ an=2 ﹣n +2n. 即 an+1+(n+1) ﹣2(n+1)=2(an+n ﹣2n), ∴ (an+n ﹣2n)=(a1﹣1)?2 ∴ bn=
2 n﹣1 2 2

(2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,数列{an}满足 an+1=2an+n ﹣4n+1, ,an=﹣n +2n+(a1﹣1)?2 .
2 n﹣1



点评:

再根据{bn}是等差数列,∴ a1=1,bn=﹣2n+3. 本题主要考查等差数列的定义和性质,等比关系的确定,属于中档题.

20.(16 分)(2014?苏州一模)已知 a,b 为常数,a≠0,函数 (1)若 a=2,b=1,求 f(x)在(0,+∞)内的极值; (2)① 若 a>0,b>0,求证:f(x)在区间[1,2]上是增函数; ② 若 f(2)<0,f(﹣2)<e 的平面区域的面积. 考点: 专题: 分析:
﹣2



,且 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(a,b)形成

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用.

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(1)若 a=2,b=1,求出函数的导数,根据函数极值和导数之间的关系即可求 f(x)在(0, +∞)内的极值; (2)① 若 a>0,b>0,根据函数单调性和导数之间的关系,即可证明 f(x)在区间[1,2] 上是增函数; ② 若 f(2)<0,f(﹣2)<e ,且 f(x)在区间[1,2]上是增函数,建立不等式关系,利用 数形结合即可求出由所有点(a,b)形成的平面区域的面积.
﹣2

解答:

解:(1)若 a=2,b=1,则 f(x)=(2+ )e ,

x

则 f′(x)=(x+1)(2x﹣1)



由 f′(x)>0,得 x> ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0,得 0<x< ,此时函数单调递减, 则当 x= 时,f(x)取得极小值,f( )=4
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(2)f′(x)=(ax +bx﹣b) 设 g(x)=ax +bx﹣b,
2

2



① 证明:若 a>0,b>0,则二次函数 g(x)的图象开口向上,对称轴 x=﹣ =a>0, ∴ g(x)>0,对一切 x∈[1,2]恒成立, 又 ,∴ f(x)>0 恒成立.即 f(x)在区间[1,2]上是增函数;
﹣2

<0,且 g(1)

② 若 f(2)<0,f(﹣2)<e





,即

,(?),

∵ f(x)在区间[1,2]上是增函数, ∴ f′(x)≥0 对 x∈[1,2]恒成立,即 ,(??),

在(?),(??)的条件下,b<0,且 1<

≤2,

且 g(

)=

恒成立,

综上求由所有点(a,b)满足的约束条件为



则不等式组对应的平面区域为△ OAB,其中 A( 则形成的平面区域的面积 S=S△ OAC﹣S△ OBC= 即△ OAB 的面积为 .

),B( .

),C(1,0),

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点评:

本题主要考查函数极值的求解,函数单调性的应用,以及线性规划的基本应用,综合性较强, 要求熟练掌握导数的应用.

三.附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 21.(10 分)(2014?苏州一模)如图,MN 为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依次交 于 A,B,C,D,E,求证:AB?CD=BC?DE.

考点: 专题: 分析: 解答:

与圆有关的比例线段. 直线与圆.

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由 A, M, D, N 四点共圆, 得到 AC?CD=MC?CN; 由 M, B, N, E 四点共圆, 得到 BC?CE=MC?CN, 由此能够证明 AB?CD=BC?DE. 解:∴ A,M,D,N 四点共圆, 所以 AC?CD=MC?CN ∵ M,B,N,E 四点共圆, ∴ BC?CE=MC?CN, ∴ AC?CD=BC?CE, 即(AB+BC)?CD=BC?(CD+DE), ∴ AB?CD=BC?DE.

点评:

本题考查四点共圆的性质的应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相交弦定理的合理运 用.

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B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 22.(10 分)(2014?启东市模拟)已知 a,b∈R,若 M= 2x﹣y=3 变换为自身,求实数 a,b,并求 M 的逆矩阵. 考点: 专题: 分析: 逆变换与逆矩阵. 计算题;选作题. 首先分析题目已知 所对应的变换 TM 把直线 L:2x﹣y=3 变换为自身,故可根
1

所对应的变换 TM 把直线 L:

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据变换的性质列出一组方程式求解出 a,b 即可得到矩阵 M,再根据 MM =E,求得 M 的逆 矩阵即可. 解答: 解:设 P(x,y)为直线 2x﹣y=3 上任意一点其在 M 的作用下变为(x',y') 则 代入 2x﹣y=3 得:﹣(b+2)x+(2a﹣3)y=3 其与 2x﹣y=3 完全一样. 故得

则矩阵

又因为 MM =E

1

则 点评: 此题主要考查矩阵变换的问题,其中涉及到逆矩阵的求法,题中是用一般方法求解,也可根 据取特殊值法求解,具体题目具体分析找到最简便的方法. C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 0 分) 23.(2014?苏州一模)在极坐标系中,求点 M 的极坐标,并求 MN 的长. 考点: 专题: 分析: 解答: 简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程. 把极坐标方程化为直角坐标方程,把点的极坐标化为直角坐标,求得点 N 的直角坐标,可得 线段 MN 的长,再把点 N 的直角坐标化为极坐标. 解:在直角坐标系中,点 M( ,1),直线即 y=x, ), = =2 . 可得点 M 关于直线的对称点 N 的直角坐标为(1, ∴ 线段 MN 的长为 点评: 关于直线 的对称点 N

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本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,用点的极坐标刻画点的位置,求出点 N 的 直角坐标,是解题的关键,属于基础题.

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D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 0 分) 24.(2014?苏州一模)已知 x,y,z 均为正数.求证: .

考点: 专题: 分析:

不等式的证明.

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常规题型;压轴题;综合法. 分别对 , , 进行化简分析,得出与 的关系,然后三个式子

左右分别相加除以 2 即可得到结论. 解答: 证明:因为 x,y,z 都是为正数, 所以 同理可得 ② ③ ①

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, 得: 点评: 本题考查不等式的证明,涉及基本不等式的应用,属于中档题.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(10 分)(2014?苏州一模)如图,在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,正四棱锥 P﹣ABCD 的 侧棱长与底边长都为 (1)求证:MN⊥ AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值. ,点 M,N 分别在 PA,BD 上,且 .

考点:

直线与平面所成的角.

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专题: 分析:

综合题;空间位置关系与距离;空间角. (1)求出 =(﹣1,1,﹣2), =(﹣3,﹣3,0),证明 ? =3﹣3+0=0,可得 ⊥ ,

即可证明 MN⊥ AD; (2)求出平面 PAD 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求 MN 与平面 PAD 所成角的正 弦值. 解答: (1)证明:由题意,A(3,0,0),D(0,﹣3,0),M(1,0,2),N(0,1,0), 则 =(﹣1,1,﹣2), ∴ ∴ ? ⊥ =3﹣3+0=0, , =(﹣3,﹣3,0).

∴ MN⊥ AD; (2)解:∵ P(0,0,3),A(3,0,0),D(0,﹣3,0), ∴ =(3,0,﹣3), =(﹣3,﹣3,0),

设平面 PAD 的法向量为 =(x,y,z),则



∴ 可取 =(1,﹣1,1), ∵ =(﹣1,1,﹣2),

∴ MN 与平面 PAD 所成角的正弦值为| 点评:

|=|

|=



本题考查线线垂直,考查线面角,考查向量知识的运用,正确求出平面的法向量是关键.

26.(10 分)(2014?苏州一模)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 八个顶点中任取四个点,当四点共面时,ξ=0,当四点不共面时,ξ 的值为四点组成的四面体的 体积. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 考点: 专题: 分析: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 综合题;概率与统计. (1)求出从正方体的八个顶点中任取四个点,共有 种情况,即可由概率公式求得概率. (2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况:① 四点在相对面且异面的对角线上;② 四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,求出相应的概率,从而求出随机变 量的分布列与数学期望.
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=70 种情况,当四点共面时,共有 12

解答:

解:(1)从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点,共有 情况,当四点共面时,共有 12 种情况, ∴ P(ξ=0)= = .

=70 种

(2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况: ① 四点在相对面且异面的对角线上,体积为 1﹣4× = ,这样的取法共有 2 种; ② 四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为 ,这样的取法共有 70﹣ 12﹣2=56 种. ∴ ξ 的分布列为 ξ P 0

数学期望 E(ξ)= 点评:



本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,求概率是关键.

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