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山东省济南第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试 数学(理)


济南一中 2015—2016 学年度第 2 学期期中考试

高二数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,满分 150 分.考试限 定用时 120 分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定 的位置.

第Ⅰ卷(选择题
注意事项: 1. 第Ⅰ卷共 15 题

,每小题 5 分,共 75 分.

共 75 分)

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选择其他答案标号.只能涂在答题纸上, 答在试卷上无效. 一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z ? A. 1 ? 2i 2. 曲线 y ? A.

3?i ( i 为虚数单位)的共轭复数等于 1? i
B. 1 ? 2i C. 1 ? 3i )
?





D. ?1 ? 3i

1 2 3 x ? 2 x 在点 (1, ? ) 处的切线的倾斜角为( 2 2
B . 45
?

?1

C . ? 45
2

D . 135

?

3. 用反证法证明命题: 若系数都为整数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有有理根, 那么

a, b, c 中至少有一个是偶数。下列假设中正确的是(
A . 假设 a, b, c 都是偶数 C . 假设 a, b, c 中至多有一个偶数



B . 假设 a, b, c 都不是偶数 D . 假设 a, b, c 中至多有两个偶数 )

4. 5 名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( A. 3
5

B. 5
a

3

C.

3 A5

D.

3 C5

5. 若 A. 6

?

1

1? ? ? 2 x ? ? dx ? 3 ? ln 2 ,则 a 的值是( x? ?
B. 4 C. )



3

D.

2

z2 ? 2z 6. 已知复数 z ? 1 ? i ,则 的模是( z ?1
A. 2 i B. 2

C.
1

?2

D.

4

7. 用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2

n ?1

? 2n ? 1

(n∈N*)的过程中,第二步假设当 )

n ? k ? k ? N ? ? 时等式成立,则 n ? k ? 1 时应得到 (
A. 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 2 k k ?2

? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1
k ?1

B. 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 C. 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 k ?1

? 2k ?1 ? 1 ? 2k ?1

? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1

D. 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2

k ?1

? 2k ? 2k ? 1 ? 2k
1 的函数是 x

8. 下列函数中,导数是

A. ln kx

B. ln( x ? k )

C. ln

k x

D. ln

x?k x2

9. 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为 正三角形的什么位置?( A. 正三角形的顶点
8

) C.正三角形各边的中点 ) D.无法确定

B.正三角形的中心

?x 1 ? 10. 在 ? ? ? 的展开式中的常数项是( ?2 3 x?

A. 28 B. ?28 C. 7 D. ? 7 11. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是

A.
5

B.
3

C. ) D. ?100

D.

12. (1 ? 2 x) (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( A. 120 B. ?120 C. 100

13. 函数 y ? ? x3 ? 2ax ? a 在 ? ?1,0? 内有极小值,则实数 a 的取值范围为( A. (0, 3 )



2

B.

(0,3)

C. (??,3)

D.

(0, +?)

14. 把 6 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么不同的分派方案 共有多少种 A. 252 ( B. 70 ) C. 50 D. 56

2

15. 设三次函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,函数

y

y ? x ? f ?( x ) 的图象的一部分如图所示,则
A. f ( x ) 极大值为 f ( 2) ,极小值为 f (? 2) B. f ( x ) 极大值为 f (? 2) ,极小值为 f ( 2) C. f ( x ) 极大值为 f (3) ,极小值为 f ( ?3) D. f ( x ) 极大值为 f ( ?3) ,极小值为 f (3)

? 2
-3 0

3

x

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 75 分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分. 16. 设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点位于第 17. 函数 y ? x ? sin x , x ? ? 象限

?? ? , ? ? 的最大值是 ?2 ?

18. 由数字 1,2,3, ??9 组成的三位数中, 各位数字按严格递增 (如“156”)或严格递减 (如 “421”)顺序排列的数的个数是 19. 由曲线 y ? x 及直线 y ? 2 x 所围成的图形的面积是
3

20. 用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2

n ?1

?

1 ? a n?2 ? a ? 1? ,在验证 n ? 1 成立时,左边计算 1? a

所得的项是_____

___

21.



? x ? 2?

5

=a5 x 5 ? a4 x 4 ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0

,

则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 =

____

_____.(用数字作答) 22. 若 f ( n) 为 n2 ? 1(n ? N * ) 的各位数字之和,如 142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 ,则 f (14) ?17, 记 f1 (n) ? f (n), f 2 (n) ? f ( f1 (n)),?, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)), k ? N * , 则 f2016 (8) = 三、解答题:本大题共3小题, 共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 23. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x .
2

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

3

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? , 的最大值和最小值. ? 4 4?

? 3 1? ? ?

24. (本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD中,底面是以 O 为中心的菱形, PO ? 底面 ABCD , AB ? 2 ,

?BAD ?

?
3

, M 为 BC 上一点,且 BM ?

1 , MP ? AP . 2

(Ⅰ)求 PO 的长; (Ⅱ)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值.

25. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,其中 a ? 0 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1 ,f (1) ? 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a ? 2b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性;

4

2015-2016 学年高二下学期期中考试
数学理科答案
一、选择题 1 2 3 A D B 二、填空题 16、四 18、 168 20、 1 ? a ? a 22、
2

4 A

5 D

6 B

7 D

8 A

9 B

10 C

11 D

12 B

13 A

14 C

15 C

17、

π

19、 2 21、 31

8

三、解答题 23. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

2 ? 2x ? 2x ? 3

………………………….2 分

4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 3 2x ? 3
3 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; ………………………………….3 分 2 1 1 当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 .………………………………….4 分 2 2
当? 从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

…………………….5 分

在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ? 单调减少. 2? ? 3 1? ? ? ? 1? ? ?

…………………….6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . ……………….8 分 4 4 2 4 又

1

3 9 ? 3? , f ? ? ? ? ln ? 2 16 ? 4? ? 3? ? 4? ?1? ?4?

7 1 ?1? f ? ? ? ln ? 2 16 ?4?

……………….9 分

而 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 .…………….11 分 2 16 2 16 7 2 2? 6 ?
?1? 1 7
…………….13分

所以 f ( x) 在区间 ? , 的最大值为 f ? ? ? ? ln . ? 2 ? 4 ? 16 ? 4 4? ?

? 3 1?

5

24. (本题满分 13 分)解: (Ⅰ)连接 AC,BD,∵底面是以 O 为中心的菱形, PO ? 底 面 ABCD , 故 AC ? BD=O ,且 AC⊥BD,以 O 为坐标原点,OA,OB,OP 方向为

x, y , z 轴正方向建立空间坐标系 O﹣xyz,

………………………………………………….2 分

? AB ? 2, ?BAD ?

?
3

,? OA ? AB ? cos( ?BAD ) ?

1 2

3,

1 OB ? AB ? sin( ?BAD) ? 1 , 2

………………………………………………….3 分

∴O(0,0,0) ,A( 3 ,0,0) ,B(0,1,0) ,C(﹣ 3 ,0,0) ,

1 1 3 1 , BC =(﹣ 3 ,﹣1,0) ,又∵BM= ,∴ BM = BC = OB =(0,1,0) (? , ? , 0) 2 4 4 4
则 OM = OB + BM = (?

3 3 , , , 0) 4 4

………………………………………………….4 分

(0, 0, a) 设P ,则 AP = ? 3, 0, a , MP = (
? MP ? AP
解得 a ? ∴ AP ? MP =

??? ?

?

?

3 3 , ? , a) , 4 4
…………………………………………….5 分

3 ? a2 ? 0 , 4

3 3 ,即 PO 的长为 . 2 2

………………………………………….6 分

说明:第一问用几何法做可酌情给分。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AP =(﹣ 3 ,0,

3 ) , 2

3 3 3 3 ,﹣ , ) , CP =( 3 ,0, ) , ……………………………….7 分 4 4 2 2 ?? ? 设平面 APM 的法向量 m ? ? x, y, z ? ,平面 PMC 的法向量为 n ? ? a, b, c ? ,

MP =(

? 3 ? 3x ? z?0 ? ? ?m ? AP ? 0 ? 2 由? ,得 ? , 3 3 3 ? m ? MP ? 0 ? ? x? y? z?0 ? 4 2 ? 4
6

令 x ? 1 ,则 m ? (1,

??

5 3 , 2) , 3

………………………………….9 分

? ? ? ?n ? CP ? 0 ? 由? ,得 ? ? ? ?n ? MP ? 0 ? ? ? 令 a ? 1 ,则 n ? 1, ?

3 c?0 2 , 3 3 3 a? a? c?0 4 4 2 3a ?
3, ?2 ,

?

?

…………………………………11 分

∵平面 APM 的法向量 m 和平面 PMC 的法向量 n 夹角 θ 满足:

?? ? 15 m?n 1? 5 ? 4 ?? cos ? ? ?? ? ? 5 | m |?| n | 40 ? 8 3
故 sin ? ? 1 ? cos
2

…………………………………12 分

? ?

10 5

…………………………………13 分

25. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x 的定义域为 ? 0, ?? ? , 2
…………………………… 1 分 ………………………… 3 分

f '( x) ?

1 ?ax 2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? x x

由题意得 f '(1) ? 2 , 即 ?a ? 2 ? 1 ? 2 ,所以 a ? ?3 又因为 f (1) ? ?

1 1 1? ? ? ?3 ? 2 ? ? ,所以把点 ?1, ? ? 带入 y ? 2 x ? b , 2 2 2? ?
……………………… 5 分 ………………………… 6 分

5 2 所以 a ? 2b ? 2
得b ? ? (Ⅱ) 当 a ? 0 时, f '( x) ? 由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ?

?2 x ? 1 x

1 1 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 2 1 1 (0, ) ( , +? ) 所以函数 f ( x) 在 上单调递增,在 上单调递减 2 2
当 a ? 0 时,令 h ? x ? ? ?ax2 ? 2x ?1 ,由于 ? ? 4 ? 4a ? 4(1 ? a) (1) 当 a ? ?1 时, ? ? 0,f ' ? x ? ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
7

…………………… 8 分

………………………… 10 分

(2)当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 0 由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 或x? a a

由 f '( x) ? 0 得

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ?x? a a
?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ), ( , ??) 上单调递增, a a
…………………………… 12 分

所以函数 f ( x) 在 (0,

在 (

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 上单调递减 , ) a a
1 2

(0, ) ( , +? ) 综上可得,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 上单调递增,在 上单调递减
当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,

1 2

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ), ( , ??) 上单调递增,在 a a



?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 上单调递减, , ) a a
…………………………… 14 分

当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

8


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