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2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义高效测评新人教A版选修2-2资料


2016-2017 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义高效测评 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知复数 z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线 x-3y+4=0 上,则复数 z2=a+2i 对应 的点在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

解析: 复数 z1=2-ai 对应的点为(2,-a),它在直线 x-3y+4=0 上,故 2+3a+4 =0,解得 a=-2,于是复数 z2=-2+2i,它对应点的点在第二象限,故选 B. 答案: B 2.已知 0<a<2,复数 z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( A.(1, 3) C.(1,3) 解析: |z|= a +1, ∵0<a<2, ∴1<a +1<5,∴|z|∈(1, 5). 答案: B → → → 3.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对 应的复数为( A.1-2i C.3+4i ) B.-1+2i D.-3-4i
2 2

)

B.(1, 5) D.(1,5)

→ → 解析: 由题意知AB=(2,1),CB=(-1,-3). →

CA=CB+BA=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4),
→ ∴CA对应的复数为-3-4i. 答案: D 4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面内对应点的轨迹是( A.一条直线 C.圆 解析: 设 z=x+yi, ∵|z-i|=|3+4i|,
1

→ →

)

B.两条直线 D.椭圆

∴ x +?y-1? =5. 则 x +(y-1) =25, ∴复数 z 对应点的轨迹是圆. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.复平面内长方形 ABCD 的四个顶点中,点 A,B,C 所对应的复数分别是 2+3i,3+2i, -2-3i,则 D 点对应的复数为________. → → 解析: 由题意可知 A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),设 D(x,y),则AD=BC,即(x-2,
? ?x=-3, y-3)=(-5,-5),解得? ?y=-2. ?
2 2

2

2

故 D 点对应的复数为-3-2i.

答案: -3-2i 6.复数 z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,则实数 a 的取值范围是________. 解析: ∵|z1|= a +4,|z2|= 5, ∴ a +4< 5,∴-1<a<1. 答案: (-1,1) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为 1).
2 2

解析: 如题图所示,点 A 的坐标为(4,3), 则点 A 对应的复数为 4+3i. 同理可知点 B,C,F,G,H,O 对应的复数分别为: 3-3i,-3+2i,-2,5i,-5i,0. 8.已知 m∈R,复数 z= (1)z∈R? (2)z 是纯虚数? (3)z 对应的点位于复平面第二象限? (4)z 对应的点在直线 x+y+3=0 上? 解析: 复数 z=a+bi(a,b∈R),当且仅当 b=0 时,z∈R;当且仅当 a=0 且 b≠0

m?m+2? 2 +(m +2m-3)i.则当 m 为何值时, m-1

2

时,z 为纯虚数;当 a<0,b>0 时,z 对应的点位于复平面的第二象限;复数 z 对应的点的 坐标是直线方程的解,则这个点就在这条直线上. (1)由 m +2m-3=0 且 m-1≠0,得 m=-3.故当 m=-3 时,z∈R.
2

m?m+2? ? ? =0, (2)由? m-1 ?m2+2m-3≠0, ?
解得 m=0,或 m=-2. 故当 m=0,或 m=-2 时,z 为纯虚数.

m?m+2? ? ? <0, (3)由? m-1 ? ?m2+2m-3>0,

解得 m<-3.

故当 m<-3 时,z 对应的点位于复平面的第二象限. (4)由

m?m+2? 2 +(m +2m-3)+3=0, m-1

解得 m=0 或 m=-2. 故当 m=0 或 m=-2 时,z 对应的点在直线 x+y+3=0 上. ? 尖子生题库 ?? 1 3 9.(10 分)已知复数 z1= 3+i,z2=- + i. 2 2 (1)求|z1|及|z2|并比较大小; (2)设 z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的轨迹是什么图形? 解析: (1)|z1|=| 3+i|= ? 3? +1 =2, |z2|=
2 2

☆☆☆

?-1?2+? 3?2=1, ? 2? ? ? ? ? ?2?

∴|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知 1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义就是复数 z 对应的点到原点的距离, 所以|z|≥1 表示|z|=1 所表示的圆外部所有点组成的集合,|z|≤2 表示|z|=2 所 表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以 O 为圆 心,以 1 和 2 为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示.

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