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1.2充分与必要条件1


1.2

充分条件 与必要条件

复习回顾:

1、命题:可以判断真假的陈述句,可写成:若p则q 2、四种命题及相互关系: 原命题 逆命题 互逆 若 p则 q 若 q则 p 互 否 否命题 若﹁p则﹁q 互逆

互 否
逆否命题 若﹁q则﹁p

注:两个命题互为逆否命题

,它们有相同的真假性。

练习: 判断下列命题是真命题还是假命题?
(1)若x>a2+b2,则x>2ab。 (2)若ab=0,则a=0。 (1)为真命题。 (2)为假命题。

新课

p?q 如果命题“若p则q”为真,则记作 (或 )。

q?p

如果命题“若p则q”为假,则记作p

q

定义:如果

p ? q ,则说p是q的充分条件,

q是p的必要条件.

例1、 下列“若p,则q”形式的命题中, 哪些命题中的p是q的充分条件? (1) 若 x=1,则x2-4x+3=0; (2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3) 若x为无理数,则x2为无理数 .
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.

例2、 下列“若p,则q”形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件? (1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的 面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc.
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

思考:已知p:整数a是6的倍数,

q:整数a是2和3的倍数,
那么p是q的什么条件? 定义:

如果既有 p ? q ,又有q ? p ,就记作 p ? q
称:是的充分必要条件,简称充要条件。
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件, p与q互为充要条件(也可以说成“p与q等价”)

从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
若p?q,而q ? p,则p是q的 充分不必要 若p ? q,而q?p,则p是q的 必要不充分 条件 条件

若p ? q,而q?p,则p是q的 既不充分也不必要 条件 若p ?q,则p是q的 充要 条件。

例3 、 判断下列问题中,p是q成立的什么条件?

p (1) x2>1 (2) |x-2|<4 (3) xy≠0 (1)、(2) (3)p p q,q p

q x<-1 -x2+4x+5>0 x≠0或y≠0 p

q,q

从集合角度理解:
① p ? q,相当于P ? Q ,即 或 P、Q ② p ? q,相当于P=Q ,即 P、Q P Q

判别技巧1: 小范围推出大范围

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q} 1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件
2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件
1)
B

2)
A

A

B

3)若A ? B且B ? A,则称p是q的既充分也不必要条件 不 4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A B A =B

3 )

4 )

判别技巧:
1。小范围推出大范围

2。否定一个命题只要举出一个反例即可。
3。将命题转化为等价的逆否命题 后再判断。

练习: 判断下列命题中前者是后者的什么条件?

(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d。 (2)ax2+ax+1>0的解集为R,则0<a<4。 (3)若a2>b2,则a>b。
(1) p q, q p

前者是后者的充分不必要条件。 p 前者是后者的必要不充分条件。

(2) p (3) p

q ,q q ,q

p 前者是后者的既不充分也不必要条件。

1:填写“充分不必要,必要不充分,充要, 既不充分又不必要。

既不充分又不 必要 1)sinA>sinB是A>B的___________ 条件。

2)在ΔABC中,sinA>sinB是 A>B的 ________条件。
充要条件

2.a>b成立的充分不必要的条件是( D ) A. ac>bc B. a/c>b/c C. a+c>b+c D. ac2>bc2 3.关于x的不等式:|x|+|x-1|>m的
解集为R的充要条件是( C ) (A)m<0 (C)m<1 (B)m≤0 (D)m≤1

注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清 ① A 是 B 的充分条件与 A 是 B 的充分非必要条件之间 的区别与联系; ② A 是 B 的必要条件与 A 是 B 的必要非充分条件之间 的区别与联系 3、判断的技巧 ①向定语看齐,顺向为充(原命题真) 逆向为必(逆命题为真)

例5:
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根 为-1的充要条件是a-b+c=0. 【解题回顾】充要条件的证明一般分两步: 证充分性即证A =>B, 证必要性即证B=>A

点明结论
书本P11 例4

小结
定 义:

如果已知p

q,则说p是q的充分条件,

q是p的必要条件。 判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧: ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 q和q p的真假。

作业:课本P 12

③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

A 组 2、 3 。


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