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高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题


选修 1-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题
一、选择题 1、双曲线
x
2

?

y k

2

? 1

的离心率 e ? ( 1 , 2 ) ,则 k 的取值范围是( ) C. ( ? 1 2 , 0 ) D. ( ? 6 0 , ? 1

2 )
1 2

4

A. ( ? ? , 0 )

B. ( ? 3 , 0 )

2、中心在原点,焦点在坐标为(0,± 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 5 圆方程为(
2x 25 C. x
2 2

,则椭

)
? 2y 75
2 2

A.

?1

B.

2x 75
2

2

? ?

2y 25 y
2

2

?1 ?1

?

y

?1
x
2

D.

x

25

75

75

25

3、斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2
2

4

+y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( C.
4 10 5

)

B.

4 5 5

D.

8 10 5

4、抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横 坐标是 x3,则恒有( ) C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 ) D. 非充分非必要条件 )

A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 5、 k
? 5是 方 程 x
2

k ? 5

?

y

2

6 ? k

? 1 的曲线为椭圆时的(

A.充分条件

B.必要条件

C.充分必要条件

6、动点 P 到点 M (1, 0 ) 及点 N ( 3 , 0 ) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线
2

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )
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7、若抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A
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(7? ,
2

1 4 ) B
2

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( 1 4? ,

1 4 ) C

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(7? 2 ,

1 4 )D

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(? 7 ? 2 ,

14 )

8、如果 x ? ky A
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? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(



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? 0 , ?? ?

B

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?0 , 2 ?

C

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?1, ?? ?

D

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?0 ,1 ?
?
2

9、过双曲线的一个焦点 F 2 作垂直于实轴的弦 P Q , F 1 是另一焦点,若∠ PF 1 Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A
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2 ?1

B

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2

C

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2 ?1

D

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2 ? 2
2 2

10、以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是( A
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y ? 3x 或 y ? ?3x
2

2

B

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y ? 3x

2

C

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y

2

? ?9 x 或 y ? 3x

2

D

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y ? ?3x 或 y
2

2

? 9x

二、填空题

11、若抛物线 y ? 2 p x 的焦点与双曲线
2

x

2

? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值等于
2

3

12、直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那 么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 13、双曲线的离心率 e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 14、已知两点 M(1, )、N(-4,-
4 5 5 4


x
2

),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,②x2+y2=3,③

+y2=1,④

x

2



2

2

y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 15.、 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上, D 两点在抛物线 y2=x 上, C、 则正方形 ABCD 的面积为_________. 三、解答题 16、 过点(1, 0)的直线 l 与中心在原点, 焦点在 x 轴上且离心率为
2 2

的椭圆 C 相交于 A、 两点, B 直线 y=

1 2

x

过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程.

17、已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 2 1 3 ,另一双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆半长 轴比双曲线的半实轴大 4,椭圆离心率与双曲线的离心率之比为 3:7,求椭圆方程和双曲线方程。

18、已知曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )的离心率

e ?

2 3 3

,直线 l 过 A(a,0) 、B(0,-b)两点,原点 O 到

l 的距离是

3 2

.

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM
? ON ? ? 23

,求直线 m 的方程.

19、已知点 B(-1,0) ,C(1,0) 是平面上一动点,且满足 | PC ,P (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程;

| ? | BC | ? PB ? CB .

(2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论.

20、已知动点 P 与双曲线

x

2

?

y

2

?1

2

3

的两个焦点 F 1 、 F 2 的距离之和为定值,且

cos ? F1 PF 2

的最小值为

?

1 9



(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D ( 0 ,3 ) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM
? ? DN

,求实数 ? 的取值范围.

21、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大 值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|= 圆的方程.
4 10 3

,试求椭

选修 1-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题
命题人:田光利 答案 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 D 审题人:王珂

1、考查双曲线的标准方程及离心率的表示 2、考查椭圆的标准方程的求法、弦的中点坐标与弦的斜率的关系 3、考查椭圆的几何性质 4、考查直线与抛物线的关系 5、考查椭圆的标准方程及充要条件的概念 6、考查双曲线的定义 7、考查抛物线的几何性质 8、考查椭圆的标准方程 9、双曲线的通径及离心率的求法 10、考查抛物线的标准方程的求法 11、4.考查抛物线、双曲线焦点的求法 12、
x
2

?

y

2

5

4

=1。考查学生用待定系数法求圆锥曲线的方程

13、3∶1。考查双曲线的几何性质 14、②③④。考查化归的数学思想 15、18 或 50。考查弦长公式及两平行直线间的距离公式 16、考查学生的运算能力、椭圆标准方程、直线与椭圆的关系。 解:由 e=
c a ? 2 2

,得

a

2

? b a
2

2

?

1 2

,从而 a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 2 ( y1 ? y 2 ) .

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-
1 2

x0 2 y0
1 2

,
B

y 1 y= x 2

又(x0,y0)在直线 y= 于是-
x0 2 y0

x 上,y0=

x0,

=-1,kAB=-1,
F2 o F1 A x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? ? ?x ?b 则? ? ? ?y ? ? x ? b ?1 ? 2 2 ? ?x? ? 1 解得 ? ?y? ? 1 ? b

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 l 的方程为 y=-x+1.
8x 9
2

9 16

,a

2

?

9 8

.

?

16 9

y

2

=1

17、考查椭圆、双曲线的标准方程,几何性质,待定系数法等。 解:设焦点在 x 轴上的椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,双曲线方程为

x m

2 2

?

y n

2 2

? 1 ,由已知得

? ?c ? c ? 13 13 ? ? ? a ? m ? 4 ? ?a ? 7 ? c ?c ?m ? 3 : ? 3: 7 ? ?a m ?

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1, 双 曲 线 方 程 为

x 9

?

y

2

? 1, 若

49

36

4

焦点在 y 轴上,同样可得方程为

x

2

?

y

2

? 1

,y

2

?

x

2

? 1



49

36

9

4

18、考查双曲线的标准方程的求法、直线与双曲线的关系及运算能力 解: (Ⅰ)依题意, l 方程 为
3 2

x a

?

y ?b
ab c ?

? 1, 即 bx ? ay ? ab ? 0 ,
3 2
2

由原点 O 到 l 的距离
? b ? 1, a ? 3

,得
a

ab
2

?
2

又e

?

c a

?

2 3 3

?b

故所求双曲线方程为

x

2

? y

?1

3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x 1 , y 1 ) 、

( x 2 , y 2 )是方程组

? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ? 3

的解

消去 y,得 (1 ? 3 k 2 ) x 2 ? 6 kx ? 6 ? 0
2


? x2 ? 6k 3k
2

依设, 1 ? 3 k ? 0 , 由根与系数关系,知 x 1

?1

, x1 x 2 ?

6 3k
2

?1

OM ? ON ? ( x 1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x 1 x 2 ? ( kx 1 ? 1)( kx 2 ? 1)

= (1 ? k 2 ) x 1 x 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 1 = 6 (1 ?
3k
2

k ) ?1

2

?

6k 3k
2

2

?1

?1

=
3k

6
2

?1

?1

? OM ? ON ? ? 23


3k

6
2

?1

? 1 =-23,k=±

1 2

当 k=±

1 2

时,方程①有两个不等的实数根
? 1 2 x ? 1, 或 y ? ? 1 2 x ?1

故直线 l 方程为 y

19、考查曲线方程的求法、直线与抛物线的关系及运算能力 解: (1)设 P ( x , y ) 代入
( 2 ) 将 A ( m , 2 ) 代入 y 设直线 AD 的方程为 由 y 1 ? 2 可得 y 2 ? 同理可设直线 4 k
2

| PC | ? | BC | ? PB ? CB 得

( x ? 1) ? y

2

2

? 1 ? x , 化简得 y

2

? 4 x.

? 4 x 得 m ? 1, ? 点 A 的坐标为 y ? 2 ? k ( x ? 1 ) 代入 y ? 2 ,? D ( 1 k 4 ? 4k 4 k
2 2

(1, 2 ).
2

? 4 x, 得 y

?

4 k

y?

8 k

? 4 ? 0,

4 k
2

? 1,

4 k

? 2 ).
2

AE : y ? 2 ? ?

( x ? 1 ), 代入 y

? 4 x得 E (4 k

2

? 1, ? 4 k ? 2 ).

则直线 DE 方程为 : y ? 4 k ? 2 ?

k ? 4k

(x ? 4k

2

? 1 ), 化简得

k ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0, 即y ? 2 ? ? k k
2

2

?1

( x ? 5 ), 过定点 ( 5 , ? 2 ).

20、考查椭圆的标准方程的求法、向量与圆锥曲线的关系及运算能力 解: (1)由已知可得: ∴ ∴
a
2

c ?

5


2

a

2

? a

2

? (2c)
2

2

? ?

1 9

2a

? 9

,

b

2

? a

2

?c

? 4
2

所求的椭圆方程为

x

?

y

2

?1.

9

4

(2) 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得

(4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 由判别式
? ? ( 54 k )
2


2

? 4 ? ( 4 ? 9 k ) ? 45 ? 0

,得 k 2

?

5 9

.

再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有
DM ? ( x 1 , y 1 ? 3 ) ? ? DN ? ? ( x 2 , y 2 ? 3 ) ? ( ? x 2 , ? ( y 2 ? 3 ))

,得

? x1 ? ? x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

另一方面有

x1 ? x 2 ? ?

54 k 4 ? 9k
2

, x1 x 2

?

45 4 ? 9k
2



将 x 1 ? ? x 2 代入②式并消去 x 2 可得
324 ? 5 (1 ? ? )
2

?

4 k
2

? 9

,由前面知,
81 5

0 ?

4 k
2

?

36 5



9 ?

324 ? 5 (1 ? ? )
2

?

,解得

1 5

? ? ? 5

.
? 1 5 或? ? 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? 所以
1 5 ? ? ? 5

,

为所求。

21、考查椭圆的性质、弦长公式、待定系数法 解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x a
2 2

?

y

2

?1

① ② ③

4

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
1 2

(x1+x2)=
a m 4? a
2 2

a m 4 ? a ?
2

2

,y0=-x0+m= ,

4m 4 ? a
2

.

代入 y=x,得

4m 4? a
2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 又|M1M2|=
2 ( x1 ? x 2 )
2

4a

2 2

4 ? a

,

? 4 x1 x 2 ?

4 10 3

,
x
2

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

?

y

2

5

4

=1.


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