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成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理工类)


数学一诊试题(理科)
一、选择题: 1.已知集合 A ? {?2,3} , B ? {x x ? x} ,则 A ? B ? (A) {?2} (B) {3}

3} (C) {?2,

(D) ?

2.若复数 z 满足 z (1 ? 2i) ? 5 ( i 为虚数单位),则复数 z 为 (A)
<

br />1 2 ? i 5 5
5

(B) 1 ? 2i
?? 5 ? 4 2 所得的结果为 1

(C) 1 ? 2i

(D)

1 2 ? i 5 5

3.计算 log (A) 1

(B)

5 2

(C)

7 2

(D) 4

4.在等差数列 {an } 中, a8 ? 15 ,则 a1 ? a7 ? a9 ? a15 ? (A) 15 (B)30 (C)45 5.已知 m, n 是两条不同的直线, ? 为平面,则下列命题正确的是 (A)若 m / /? , n / /? ,则 m / / n (B)若 m ? ? , n ? ? , 则 m ? n (C)若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n (D)若 m 与 ? 相交, n 与 ? 相交,则 m, n 一定不相交 6.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? , ? 的顶点与坐标原点重合,始边 与 x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于 A , B 两点.若点
B O A

(D)60

3 4 4 3 A , B 的坐标分别为 ( , ) 和 (? , ) ,则 cos(? ? ? ) 的值为 5 5 5 5 24 24 7 (A) ? (B) ? (C) 0 (D) 25 25 25

7.世界华商大会的某分会场有 A, B, C 三个展台,将甲,乙,丙,丁共 4 名“双语”志愿者 分配到这三个展台,每个展台至少 1 人,其中甲、乙两人被分到同一展台的不同分法的种 数有 (A)12 种 (B)10 种 (C)8 种 (D)6 种

8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如 图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积为 (A) 120cm (C) 100cm
3

(B) 80cm

3

3

(D) 60cm

3

? ? ? 9.如图①,利用斜二测画法得到水平放置的 ?ABC 的直观图 ?A?B?C? ,其中 A B //y 轴,
' B?C?//x? 轴.若 A' B' ? B'C ' ? 3 , ?A?B?C? 的面积为 S ' , 设 ?ABC 的面积为 S , 记 S ? kS ,

执行如图②的框图,则输出 T 的值为

A'

(A)12

(B)10

(C)9

(D)6

B'

C'

图①

图②
2 10.已知 f ( x ) ? ?2 2 x ? 1 ? 1 和 g ( x) ? x ? 2 x ? m ( m ? R )是定义在 R 上的两个函

数,则下列命题正确的是 (A)关于 x 的方程 f ( x) ? k ? 0 恰有四个不相等实数根的充要条件是 k ? (?1, 0) (B)关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 恰有四个不相等实数根的充要条件为 m ? [0,1] (C)当 m ? 1时,对 ?x1 ? [?1, 0] , ?x2 ? [?1, 0] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 (D)若 ?x1 ? [?1,1] , ?x2 ? [?1,1] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? (?1, ??) 二、填空题: 11.若 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 1 是定义在 R 上的偶函数,则实数 a ?
2

. .

12.已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a6 x ,则 a0 ? a1 ? ??? ? a6 ?
6 2 6

13.设 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a x 的两个极值点,若 x1 ? 2 ? x2 ,则实数 a 的取值
3 2 2

范围是 14.已知 ? ? [?

.

? ?

1 , ] ,则 cos 2? ? 的概率为 2 2 2

.

15.设 ?O 为不等边 ?ABC 的外接圆, P ?ABC 内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c , 是 ?ABC 所在平面上的一点,且满足 PA ? PB ?

??? ? ??? ?

? ??? ? b ? c ??? ?2 c ??? , PA ? PC ? PA ( P 与 A 不重合) b b

Q 为 ?ABC 所在平面外一点, QA ? QB ? QC .有下列命题:
①若 QA ? QP , ?BAC ? 90? ,则点 Q 在平面 ABC 上的射影恰在直线 AP 上; ②若 QA ? QP ,则 QP ? PB ? QP ? PC ; ③若 QA ? QP , ?BAC ? 90? ,则

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

BP AB ; ? CP AC

④若 QA ? QP , 则 P 在 ?ABC 内部的概率为 的面积). 其中不正确的命题有 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3 cos

S?ABC ( S ?ABC 、S ? O 分别表示 ?ABC 与 ? O S? O

(写出所有不正确命题的序号).

x x x ,cos 2 ), b ? (2sin , 2) ,设函数 f ( x) ? a ? b . 4 4 4

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 f (2 B ? )= 3 ? 1, a ? 3,

? 3

b ? 3 3 ,求 A 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ?
n ?1

? 2 , n ? N* .

Sn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

18.(本小题满分 12 分)
某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅能持续 5 个月的时间.上市初期价格呈现上 涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的 模拟函数可供选择:① f ( x) ? p ? q ;② f ( x) ? px ? qx ? 7 ;③ f ( x) ? log q ( x ? p) ,其
x 2

中 p, q 均为常数且 q ? 1 .(注: x 表示上市时间, f ( x) 表示价格,记 x ? 0 表示 4 月 1 号,

x ? 1 表示 5 月 1 号, ? ? ? ,以此类推, x ? ? 0,5? .)
(Ⅰ)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势,请你选择, 并简要说明理由; (Ⅱ)对于(Ⅰ)中所选的函数 f ( x) ,若 f (2) ? 11, f (3) ? 10, 记 g ( x) ?

f ( x) ? 2 x ? 13 , x ?1

经过多年的统计发现:当函数 g ( x) 取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显.请你预测 明年拓展外销市场的时间是几月 1 号?

19.(本小题满分 12 分)

1 DC , F 为 EC 的中点. 现 3 将 ?DAE 沿 AE 翻折到 ?PAE 的位置,如图(2),且平面 PAE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证:平面 PAF ? 平面 PBE ; (Ⅱ)求直线 PF 与平面 PBC 所成角的正弦值.
如图(1),四边形 ABCD 为等腰梯形, AE ? DC , AB ? AE ?
A B P

A C E F

B C

D

E

20.(本小题满分 13 分) 我国采用的 PM2.5 的标准为:日均值在 35 微克/立方米以下的空气质量为一级;在 35 微克 /立方米~ 75 微克/立方米之间的空气质量为二级;75 微克/立方米以上的空气质量为超标. 某城市环保部门随机抽取该市 m 天的 PM2.5 的日均值,发现其茎叶图和频率分布直方图都 受到不同程度的破坏,可见部分如下图所示.

请据此解答如下问题: (Ⅰ)求 m 的值,并分别计算频率分布直方图中的 ? 75,95 ? 和 ?95,115? 这两个矩形的高; (Ⅱ)通过频率分布直方图估计这 m 天的 PM2.5 日监测数据的中位数 ( 结果保留分数形 式); (Ⅲ)从这 m 天的 PM2.5 日监均值中随机抽取 2 天,记 X 表示抽到 PM2.5 超标的天数, 求 X 的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) , g ( x) ? x ?

1 2 x , a?R . 2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x ? ? 0, ?? ? ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的最小值; (Ⅲ) 设 p( x) ? f ( x ? 1) ,a ? 0 .若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为曲线 y ? p( x) 上的两个不同点, 满足 ? ? x1 ? x2 , ? x3 ? ( x1 , x2 ) 使得曲线 y ? p( x) 在 x3 处的切线与直线 AB 平行,求证:

x3 ?

x1 ? x2 . 2


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