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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第4章§4.3


§4.3 平面向量的数量积

及平面向量的应用

§ 4.3 平 面 向 量 的 数 量 积 及 平 面 向 量 的 应 用

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.两个向量

的夹角 (1)夹角的定义

定义 范围 非零 向量a, 已知两个______ → → b,作 OA=a, OB=b, 向量夹角θ的范围是 则∠AOB=θ叫作向量a [0°,180°] 当θ= ____________ 与b的夹角(如图). __________ 时,两向量 0°或180° 共线; 当θ=_______ 90° 时,两向 量垂直,记作a⊥b(规定 零向量可与任一向量垂 直).,

(2)射影的定义
|b|cosθ 叫作b在a方向上 设θ是a与b的夹角,则________ |a|cosθ 叫作a在b方向上的射影. 的射影.________ 射影是一个实数,不是线段的长度,也不是向量 θ∈[0°,90°) 时,它是正值;当 .当______________ θ∈(90°,180°] 时,它是负值;当_________ θ=90° _________________ 时,它是0.

思考感悟
1.在△ABC 中,设AB=a, BC= b,则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC 是否正确?





提示:不正确.求两个向量的夹角时,两向量起 点应相同,向量a与b的夹角为π-∠ABC.

2.平面向量的数量积 (1)向量的数量积的定义 |a||b|cosθ 已知两个向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,把 _______ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积 ),记作 a· b,即 a· b= |a||b|cosθ. (2)向量数量积的性质 |a|cosθ ①若 e 是单位向量,则 e· a= a· e= _______. a· b= 0 ; a⊥ b , ②若 a⊥b, 则 ________ 反之, 若 a· b= 0, 则 ______ 记作 a⊥b?a· b= 0. ③ |a|= a· a.

a· b (|a||b|≠0) | a || b | ④cosθ=________________.

⑤对任意两个向量a、b,有|a· b|≤|a||b|,当且仅当 a∥b时等号成立. (3)向量数量积的运算律 给定向量a,b,c和实数λ,有

① a· b= b · a;(交换律) a· (λb) ;(数乘结合律) ②(λa)· b=λ(a· b)=________
a· b+ a· c ③ a· (b+c)=_____________ (分配律).

思考感悟 2.当a≠0时,由a· b=0一定有b=0吗?

提示:不一定.a· b=0有三种情形;①a=0;②b
=0;③a⊥b即a与b的夹角为90°.

3.平面向量数量积的坐标运算 (1)平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x1x2+y1y2 a· b=_______________. 即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和.

(2)向量模的坐标表示 若 A(x1, y1)、 B(x2, y2),则 |AB|=



?x2-x1? +? y2-y1? ___________________________ (两点间距离公式). 2 2 2 2+y2 x 若 a= (x, y),则 |a| =_________, |a|= x + y . (3)两向量夹角的余弦公式 设 a、 b 是非零向量, a= (x1, y1),b=(x2, y2), θ 是 x1x2+y1y2
2 2 2 2 x + y · x + y 1 1 2 2 a 与 b 的夹角,则有 cosθ= _________________.

2

2

(4)两个向量垂直的充要条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x1x2+y1y2=0 a⊥b?_________________. (5)直线的方向向量 把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量, 设直线方程为y=kx+b,则其方向向量为m= (1,k) .设直线方程为Ax+By+C=0,则其 _________ 方向向量为m=__________ (-B,A) ,利用直线的方向向 量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角 等,这给我们处理解析几何问题增加了一条新途 径.

课前热身
1.已知向量 a= (x,6), b= (6,5),若 a⊥ b,则 x 的值 为( ) 36 A.- B.-5 5 C. 5 36 D. 5

解析:选B.∵a⊥b,∴a· b= 0, ∴6x+5×6=0,∴x=-5.

2.(原创题)若a≠0,a· b=0,则满足条件的b的个
数是( )

A.0
C.2

B.1
D.无数个

解析:选D.只要b⊥a即可,故b有无数个.

3.(2010 年高考课标全国卷)a,b 为平面向量,已知 a = (4,3), 2a+b= (3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 ( ) 8 8 A. B.- 65 65 16 C. 65 16 D.- 65

答案:C

4. (2009 年高考江苏卷 )已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b = ________.

答案:3

5. (教材习题改编)已知△ABC 中,|AB|= 2,|BC|= 2,∠ABC= 45° ,则AB· BC= ________.





→ →

答案:-2

考点探究?挑战高考

考点突破 平面向量数量积的运算 向量的数量积是向量之间的一种运算,它是向量 与向量的运算,结果却是一个数量.平面向量的

数量积运算类似于多项式的乘法.

例1

(1)(2010年高考北京卷)若a,b是非零向
)

量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)· (xb- a)是 ( A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数

C.二次函数且是偶函数
D.二次函数但不是偶函数

(2)(2010 年高考湖南卷 )在 Rt△ ABC 中,∠ C= 90° , → → AC= 4,则AB· AC等于 ( ) A.- 16 B.- 8 C. 8 D. 16 (3)(2010 年高考重庆卷 )已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a| = 1, |b|=2,则 |2a-b|= ( ) A. 0 B.2 2 C. 4 D. 8

【思路点拨】

利用向量数量积的定义、性质、
2 2

运算律及模的求法,即可解决.
【解析】 (1)由题设知 f(x)= (b - a )x,因为 |a|≠ |b|, 所以函数 f(x)是一次函数且为奇函数. AC → → → → (2)法一:因为 cos A= ,故AB· AC= |AB||AC|cosA= AB →2 AC = 16,故选 D.

→ → → → → → 法二: AB在AC上的射影为 |AB|cosA=|AC|, 故AB· AC= → → → |AC|· |AB|cosA= AC2=16,故选 D. (3)因为|2a-b|2=(2a- b)2=4a2+b2-4a· b=4a2+b2= 4+4=8,故|2a-b|=2 2,选 B.

【答案】

(1)A

(2)D

(3)B

【名师点评】 (1)求平面向量的数量积,关键在于求 两向量的模和夹角.这就需要充分挖掘题目中的几何 属性,利用几何知识来求解. (2)利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌 握此类问题的处理方法: 2 2 ① |a| =a = a· a; 2 2 2 2 ② |a± b | = (a ± b) =a ± 2a· b+ b ; 若 a= (x, y),则 |a|= x2+ y2.

利用平面向量解决夹角、垂直等问题 1.数量积大于0说明不共线的两向量夹角为锐角

;数量积等于0说明两向量的夹角为直角;数量
积小于0且两向量不共线时,两向量的夹角就是 钝角. 2.找两向量的夹角,在图形中必须使两向量共 起点,可以结合解三角形求角.

3.解决向量垂直问题,常用向量垂直的充要条
件即非零向量a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

例2

(2009年高考江苏卷)设向量a=(4cosα,

sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;

(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tanα· tanβ=16,求证:a∥b. 【思路点拨】 利用两向量垂直时数量积为0的

坐标运算公式可以解第一问,第二问中模的最值
可以转化为三角函数的有界性求解,第三问中利 用两向量平行的充要条件进行转化即可得证.

【解】 (1)因为 a 与 b- 2c 垂直,所以 a· (b - 2c) = 4cosαsinβ - 8cosαcosβ + 4sinαcosβ + 8sin αsinβ = 4sin(α+ β)-8cos(α+ β)= 0,因此 tan(α+ β)= 2. (2) 由 b+ c= (sinβ+ cosβ, 4cosβ-4sinβ), 得 |b+c|= ? sinβ+ cosβ? +?4cosβ- 4sinβ? = 17- 15sin2β≤ 4 2. π 又当 β=- 时, 等号成立, 所以 |b+ c|的最大值为 4 2. 4 4cosα sinα (3)证明:由 tan αtanβ= 16 ,得 = ,所以 a sinβ 4cosβ ∥ b.
2 2

【名师点评】

求解|b+c|时注意到向量b与向量

c的模都不是定值,因而利用坐标法先求和再求
模,此方法较|b+c|2=b2+c2+2b· c要快捷得多.

证明两向量平行时,可以利用两向量平行的充要
条件公式.

变式训练 1

设两个向量 e1、 e2 满足 |e1|=2, |e2|= 1,

π e1 与 e2 的夹角为 ,若向量 2te1+ 7e2 与 e1+ te2 的夹角 3 为钝角,求实数 t 的范围.
解:由向量 2te1+ 7e2 与 e1+ te2 的夹角为钝角, ?2te1+ 7e2? · ? e1+ te2? 得 < 0, |2te1+ 7e2|· |e1+ te2| 即 (2te1+7e2)· (e1+ te2)< 0, 化简即得 2t2+ 15t+7<0,

1 解得-7< t<- , 2 当夹角为 π 时,也有 (2te1+ 7e2)· (e1+ te2)<0, 但此时夹角不是钝角, 2t= λ ? ? 设 2te1+ 7e2= λ(e1+ te2), λ< 0,可求得?7= λt , ? ?λ<0
? 14 ? ∴ λ=- 14, t=- . ∴所求实数 t 的范围是 2 ?

14 14 1 (- 7,- )∪ (- ,- ). 2 2 2

平面向量的应用 向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合

考查知识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双
基覆盖面的考查,特别是通过向量坐标表示的运

算,利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的
同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题 .

(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(- 1,-2), B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角 线的长;
例3

→ → → (2)设实数 t 满足 (AB-tOC)· OC=0,求 t 的值.

【思路点拨】 求解;

(1)根据向量加、减法的几何意义

(2)根据向量数量积的坐标运算,列方程求解.

→ → → 【解】 (1)由题设知AB= (3,5), AC= (- 1,1), 则AB+ → → → AC= (2,6),AB- AC= (4,4). → → → → 所以 |AB+AC|= 2 10, |AB- AC|= 4 2. → → → → 因为两条对角线的长即为 |AB + AC |与 | AB - AC |的大 小,故所求两条对角线的长分别为 4 2, 2 10. → → → (2)由题设知OC= (- 2, - 1), AB- tOC= (3+ 2t,5+ t). → → → 由 (AB- tOC)· OC= 0,得(3+ 2t,5+ t)· (- 2,- 1)=0, 11 从而 5t=- 11,所以 t=- . 5

【名师点评】

利用向量解平面几何、解析几何

问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的

坐标表示的应用.

变式训练 2 (2009 年高考上海卷 )已知△ ABC 的角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m= (a,b),n = (sinB, sinA), p=(b-2,a-2). (1)若 m∥ n,求证:△ ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

解:(1)证明:∵m∥ n,∴ asinA= bsinB, a b 即 a· = b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴ a= b.∴△ ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p= 0,即 a(b- 2)+b(a-2)= 0. ∴ a+ b= ab. 2 2 2 由余弦定理可知, 4= a +b - ab=(a+ b) -3ab, 即 (ab)2-3ab-4=0, ∴ ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴ S= absinC= × 4× sin = 3. 2 2 3

方法感悟
方法技巧 1.要熟练类似(λa+μb) · (sa+tb)=λsa2+(λt+ μs)a· b+μtb2的运算律(λ、μ、s、t∈R).(如例 1(1))

2.解决向量模的问题的关键是利用|a|2=a2,将
模的问题转化为数量积的问题,通过数的精确计 算来解决问题.(如例2)

3.平面向量的数量积的运算法则把平面向量与 实数紧密地联系在一起,使它们之间的相互转化

得以实施.因此,一方面我们要善于把向量的有
关问题通过数量积转化为实数问题,利用实数的

有关知识来解决问题;另一方面,也要善于把实
数问题转化为向量问题,利用向量作工具来解决 相关问题.(如例3)

失误防范
1.零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错;0a =0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0=0≠0;(2)0的方向是 任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我

们只定义了非零向量的垂直关系.
2. a· b=0不能推出a=0或b=0,因为a· b=

0?a⊥b.

3.a· b= a· c(a≠ 0)不能推出 b=c.即消去律不成立. 4.向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中, → → 〈AB, BC〉应为 120° ,而不是 60° . 5.一般地,(a· b)c≠ (b· c)a 即乘法的结合律不成立.因 a· b 是一个数量, 所以 (a· b)c 表示一个与 c 共线的向量, 同理右边 (b· c)a 表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,故一般情况下(a· b)c≠ (b· c) a .

考向瞭望?把脉高考

考情分析
平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一, 考查重点是向量的数量积运算,向量的垂直以及 用向量方法解决简单的几何问题等,既有选择题, 填空题,又有解答题,属中低档题目.近几年试 题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题 的综合题是高考的一个热点,主要考查运算能力 和数形结合思想.

预测2012年高考仍将以向量的数量积运算、向量

的垂直为主要考点,以与三角、平面几何、解析
几何的交汇命题为考向.

规范解答
(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北卷)已知向 量 a=(cos α,sinα),b=(cos β,sinβ), c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值; π (2)设 α= ,且 a⊥(b+c),求 cosβ 的值. 4


【思路点拨】 第(1)问是求向量 b+c 的长度的最大 值,可以先把向量 b+c 的长度表示为变量 β 的函数, π 问题转化为求函数的最大值问题.第(2)问告诉 α= , 4 也就说明向量 a 已知,由 a⊥ (b+c)可以得到关于 β 的 一个方程,从而可以求出 cosβ 的值.

【解】

(1)法一:b+c=(cosβ-1,sinβ),则

|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).3分 ∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2. 当cosβ=-1时,有|b+c|=2, ∴向量b+c的长度的最大值为2.6分

法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.3分
当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2, 所以向量b+c的长度的最大值为2.6分

(2)法一:由已知可得 b+ c= (cosβ-1,sinβ),a· ( b + c) = cos αcosβ+ sin αsinβ- cosα= cos(α- β)- cos α.8 分 ∵ a⊥ (b+ c),∴a·(b+ c)=0,即 cos(α- β)= cos α.10 分 π π π π π 由 α= , 得 cos( - β)= cos , 即 β- = 2kπ± (k∈ Z), 4 4 4 4 4 π ∴ β= 2kπ+ 或 β=2kπ, k∈ Z,于是 cosβ= 0 或 cosβ 2 = 1.12 分

π 2 2 法二: 若 α= , 则 a=( , ). 又由 b=(cosβ, sinβ), 4 2 2 2 2 2 c= (- 1,0), 得 a· (b+ c)= ( , )· (cosβ- 1, sinβ)= 2 2 2 2 2 cosβ+ sinβ- .8 分 2 2 ∵ a⊥ (b+ c),∴a· (b+ c)= 0,即 cosβ+ sinβ=1.10 分 ∴ sinβ= 1- cosβ,平方后化简得 cosβ(cosβ- 1)= 0, 解得 cosβ=0 或 cosβ=1.经检验, cosβ= 0 或 cosβ= 1 即为所求 .12 分

【名师点评】

(1)本题易失误的是:①对向量的

加法、数量积的坐标运算公式掌握不清,不会运 算,导致无从下手;②知道相关知识,知道解决 思路,但运算出现错误,结果不准确;③书写过 程不详细,逻辑性不强,语句不流畅,卷面不整

洁,对而不全;④出现|b+c|=|b|+|c|这种错误.

(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三
角变换和向量运算等基本知识,考查基本运算能 力.此题将平面向量、三角函数、三角变换三部 分知识进行有机的融合,综合性强.学科内知识 融合的问题是近年来高考考查的热点,因为这类

题能很全面地考查考生综合运用知识,分析问题
、解决问题的能力.

(3)一般来说向量与三角融合时,都会给出向量的

坐标,都会进行向量的坐标运算,因此向量的坐
标运算公式是必须要记住且要会使用.涉及向量

平行或垂直,两个坐标关系式也要会熟练地应用
. 此题第(1)问,就是要先通过向量的加法运算求向 量b+c的坐标,第(2)问涉及a⊥(b+c),要利用两 个向量垂直的坐标关系式,再结合三角知识就可

以使问题得到很好的解决.

(4)向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问
题联系起来,特别是与三角函数问题相联系,解

答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积
的坐标运算公式,通过公式,将向量问题转化为 一般的三角函数问题求解.

名师预测
3 3 x x 已知向量 a= (cos x,sin x),b=(cos ,- sin ),c=(1, 2 2 2 2 π π - 1),其中 x∈[- , ]. 2 2 (1)求证: (a+ b)⊥ (a-b); (2)设函数 f(x)= (|a+ c|2- 3)(|b+ c|2- 3), 求 f(x)的最大 值和最小值.

3 x 3 x 解:(1)证明: a+ b= (cos x+cos , sin x- sin ), 2 2 2 2 3 x 3 x a-b=(cos x- cos , sin x+ sin ), 2 2 2 2 3 2 x2 3 2 x2 (a+ b)· (a- b)= (cos x) - (cos ) + (sin x) - (sin ) 2 2 2 2 = 0. ∴ (a+b)⊥ (a- b).

3 3 (2)∵ a+ c= (cos x+1, sin x- 1), 2 2 x x b+ c= (cos + 1,- sin - 1). 2 2 3 3 2 2 |a+ c| -3= (cos x+ 1) + (sin x- 1)2-3 2 2 3 3 = 2cos x-2sin x. 2 2 x x 2 2 |b+ c| -3= (cos + 1) +(- sin - 1)2-3 2 2 x x = 2cos + 2sin . 2 2

∴ f(x)= (|a+ c|2-3)(|b+ c|2- 3) 3 3 x x = (2cos x- 2sin x)(2cos + 2sin ) 2 2 2 2 3 x 3 x 3 x 3 x = 4(cos x· cos + cos x· sin - sin x· cos - sin x· sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 4(cos 2x- sin x)=4(1-2sin x- sin x) = 4(-2sin2x- sin x+ 1), 1 ∴当 sin x=- 时, y 最大值 4 1 1 9 = 4(-2× + + 1)= , 16 4 2 ∴当 sin x= 1 时, y 最小值 =4(- 2× 1- 1+1)=-8.

本部分内容讲解结束
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