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2014-2015学年贵州省遵义市习水五中高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年贵州省遵义市习水五中高一(下)期末数学试卷
一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知函数 f(x)= ﹣log2 ,则在下列区间中,函数 f(x)有零点的是( A. (0,1)
2 x



B. (1,2)

C. (2,4) )

/>D. (4,+∞)

2.若集合 M={x|x <1},N={x|y= A. N B. M

},则 M∩N=( C. ?

D. {x|0<x<1}

3.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0.则方程 f(x)=0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4.要得到 A. 向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 的图象,需要将函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D. 向右平移 个单位 个单位 )

5. 设

= (2, 1) ,

= (0, 1) , O 为坐标原点, 动点 P (x, y) 满足 0≤ ) B. ﹣
2

?

≤1, 0≤

?

≤1,

则 x﹣y 的最小值是( A.

C.

D. ﹣

6.设集合 S={x|x>2},T={x|x ﹣x﹣12≤0},则 S∩T=( ) A. [3,+∞) B. [4,+∞) C. (2,3]

D. (2,4]

7.若函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,0] B. [0,+∞) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞) 8.函数 f(x)=x +sinx+1(x∈R) ,若 f(a)=2,则 f(﹣a)的值为( A. 3 B. 0 C. ﹣1 9.下列四个函数中,在区间(0, )上为减函数的是( )
3

) D . ﹣2

A. y=x( )

x

B. y=﹣( )

x

C. y=xlog2

x

D. y=x

10.设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 M>0,使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数 x 都 成立,则称 f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数: ①f(x)=2x, 2 ②f(x)=x +1, ③f(x)=sinx+cosx, ④f(x)= ,

⑤f(x)是定义在实数集上的奇函数,且对一切的 x1,x2 均有|f(x1)﹣f(x2)|≤2|x1﹣x2|. 其中是“倍约束函数”的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在△ABC 中, 示) . 12.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,则 a 的取值 范围是 . = , = .若点 D 满足 =2 ,则 = (用 b,c 表

13.已知向量

满足|2 +3 |=1,则 ? 最大值为



14.非零向量 则实数 k 的值是



为不共线向量 .

, 满足 =2



, =k

+

,若 与 共线,

15.已知函数 f(x)= 是 .

有 3 个零点,则实数 a 的取值范围

三、解答题(75 分) 2 * 16. 已知数列{dn}满足 dn=n, 等比数列{an}为递增数列, 且 a5 =a10, 2 (an+an+2) =5an+1, n∈N . (Ⅰ)求 an; n * (Ⅱ)令 cn=1﹣(﹣1) an,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N )的解集为 M,求所有 dk+ak (k∈M)的和. 17. 如图, 已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长是 2, D、 E 是 CC1、 BC 的中点, AE=DE (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 表面积.

18.有三个生活小区,分别位于 A,B,C 三点处,且 , .今计划 合建一个变电站,为同时方便三个小区,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处,建立坐标 系如图,且 .

(Ⅰ)若希望变电站 P 到三个小区的距离和最小,点 P 应位于何处? (Ⅱ)若希望点 P 到三个小区的最远距离为最小,点 P 应位于何处?

19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 A=45°, (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 a=5,求△ABC 的面积.



20.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; (2)求证:{

(n∈N )

*

+ }是等比数列,并求{an}的通项公式 an;
n

(3)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)? <Tn+
*

?an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1) λ

n

对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

21.已知点 P(﹣2,﹣3) ,圆 C: (x﹣4) +(y﹣2) =9,过 P 点作圆 C 的两条切线,切 点分别为 A、B (1)求过 P、A、B 三点的外接圆的方程; (2)求直线 AB 的方程.

2

2

2014-2015 学年贵州省遵义市习水五中高一(下)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知函数 f(x)= ﹣log2 ,则在下列区间中,函数 f(x)有零点的是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4)
x



D. (4,+∞)

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:分别计算 f(2)>0,f(4)<0,根据零点存在定理可得. 解答: 解:因为 f(2)=3﹣log22=2>0,f(4)= ﹣log24=﹣ <0, 所以 f(x)在(2,4)上有零点, 故选 C. 点评:本题考查了函数零点存在性定理,属于基础题. 2.若集合 M={x|x <1},N={x|y= A. N B. M
2

},则 M∩N=( C. ?

) D. {x|0<x<1}

考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:先化简 M,N 再求 M∩N 解答: 解:M={x|﹣1<x<1},N={x|x>0}, M∩N={x|0<x<1}, 故选 D 点评:本题考查了数列的列举法表示,集合的基本运算,属于基础题. 3.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0.则方程 f(x)=0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 考点:根的存在性及根的个数判断;函数的周期性. 专题:计算题;压轴题. 分析:根据题意,由 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,可得 f(﹣ 2)=0,重复利用函数的周期性,看在区间(0,6)内,还能推出哪些数的函数值等于 0. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且周期是 3,f(2)=0,∴f(﹣2)=0, ∴f(5)=f(2)=0,f(1)=f(﹣2)=0,f(4)=f(1)=0. 即在区间(0,6)内,

f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0, 故答案:B 点评:本题考查函数的奇偶性、根的存在性及个数判断.

4.要得到 A. 向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

的图象,需要将函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D. 向右平移 个单位 个单位



考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:由左加右减上加下减的原则可确定函数 y=sin2x 到 行平移变换,推出结果. 解答: 解:将函数 y=sin2x 向右平移 就是 的图象; 个单位,即可得到 的图象, 的路线,进

故选 D. 点评:本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意 x 的系数.

5. 设

= (2, 1) ,

= (0, 1) , O 为坐标原点, 动点 P (x, y) 满足 0≤ ) B. ﹣ C.

?

≤1, 0≤

?

≤1,

则 x﹣y 的最小值是( A.

D. ﹣

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用;不等式. 分析: ,进行数量积的运算从而可得到 ,画出该不等式组所

表示的平面区域,设 z=x﹣y,从而有 y=x﹣z,将该式看成在 y 轴上的截距为﹣z 的直线, 从而根据图形找到使﹣z 取最大值,即使 z 取最小值的点,将该点坐标带入 z=x﹣y 便得到 z 的最小值. 解答: 解: ∴ ; , ;

该不等式组表示的平面区域为下图阴影部分所示: 设 z=x﹣y,即 y=x﹣z; ∴当直线 y=x﹣z 的截距﹣z 最大时,z 最小;

由 ∴ ∴z= ;

得阴影部分最左边的点为( ;

) ,当 y=x﹣z 过该点时 z 最小;

即 x﹣y 的最小值为 故选 D.



点评:考查数量积的坐标运算, 根据点的坐标求向量的坐标, 能找出不等式组表示的平面区 域,利用线性规划的知识求最值的方法. 6.设集合 S={x|x>2},T={x|x ﹣x﹣12≤0},则 S∩T=( ) A. [3,+∞) B. [4,+∞) C. (2,3] 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 T 中不等式的解集确定出 T,找出 S 与 T 的交集即可. 解答: 解:由 T 中不等式变形得: (x﹣4) (x+3)≤0, 解得:﹣3≤x≤4,即 T=[﹣3,4], ∵S=(2,+∞) , ∴S∩T=(2,4], 故选:D. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 7.若函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,0] B. [0,+∞) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞) 考点:函数的零点. 专题:计算题;函数的性质及应用.
2

D. (2,4]

分析:函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点化为求 m=﹣log2x 的值域. 解答: 解:∵函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点, ∴m+log2x=0 在 x≥1 时有解; ∴m=﹣log2x≤﹣log21=0, 故选:A. 点评:本题考查了函数的零点与方程的根的关系及方程与函数的转化,属于基础题. 8.函数 f(x)=x +sinx+1(x∈R) ,若 f(a)=2,则 f(﹣a)的值为( A. 3 B. 0 C. ﹣1 考点:函数奇偶性的性质. 分析:把 α 和﹣α 分别代入函数式,可得出答案. 解答: 解:∵由 f(a)=2 3 3 ∴f(a)=a +sina+1=2,a +sina=1, 3 3 则 f(﹣a)=(﹣a) +sin(﹣a)+1=﹣(a +sina)+1=﹣1+1=0. 故选 B 点评:本题主要考查函数奇偶性的运用.属基础题.
3

) D . ﹣2

9.下列四个函数中,在区间(0, )上为减函数的是(



A. y=x( )

x

B. y=﹣( )

x

C. y=xlog2

x

D. y=x

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:A,C 求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,B,D 利用指数函数和幂函数的 单调性的性质进行判断. 解答: 解:A.y=x( ) 求导得 y′=( ) ﹣x( ) ?ln2=( ) (1﹣xln2) ,对于 x∈ (0, ) ,y′>0, 故 y=x( ) 在区间(0, )上为增函数, B.y=﹣( ) 在(0, )上是增函数, C.函数的导数 y′=log2 + ∵0<x< , ∴0<ex< e<1,此时 y′<0, 即在区间(0, )上为减函数,满足条件.
x x x x x x x

=log2 +

x

=log2 +log2 =log2 ,

x

e

ex

D.y=x

在(0, )上为增函数,

故选:C 点评:本题主要考查函数单调性的判断, 要求熟练掌握掌握常见函数的单调性, 对应复杂函 数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键. 10.设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 M>0,使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数 x 都 成立,则称 f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数: ①f(x)=2x, 2 ②f(x)=x +1, ③f(x)=sinx+cosx, ④f(x)= ,

⑤f(x)是定义在实数集上的奇函数,且对一切的 x1,x2 均有|f(x1)﹣f(x2)|≤2|x1﹣x2|. 其中是“倍约束函数”的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点:函数与方程的综合运用;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题:新定义. 分析:本题考查阅读题意的能力,根据“倍约束函数”,的定义进行判定:对①f(x)=2x, 易知存在 K=2 符合题意;②由基本不等式,易得 出结论对;④中求出 ≥2 恒成立;③令 x=0 时即可得

的值域,可得结论;⑤通过取 x2=0,如此可得到正确结论.

解答: 解:∵对任意 x∈R,存在正数 M,都有|f(x)|≤M|x|成立 ∴对任意 x∈R,存在正数 K,都有 M≥ ∴对于①f(x)=2x,易知存在 M=2 符合题意; 对于②, = =|x|+ ≥2,故不存在满足条件的 M 值,故②错误; 成立

对于③,f(x)=sinx+cosx,由于 x=0 时,|f(x)|≤M|x|不成立,故③错误; 对于④ , = ≤ 恒成立,故④正确;

对于⑤,当 x1=x,x2=0 时,由|f(x1)﹣f(x2)|≤2|x1﹣x2|得到|f(x)|≤2|x|成立,这样的 M 存在,故⑤正确; 故是“倍约束函数”的函数有 3 个 故选 C. 点评:题属于开放式题,题型新颖,考查数学的阅读理解能力.知识点方面主要考查了函数 的最值及其几何意义, 考生需要有较强的分析问题解决问题的能力, 对选支逐个加以分析变 形,利用函数、不等式的进行检验,方可得出正确结论.

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在△ABC 中, 示) . 考点:向量的三角形法则. 专题:计算题. 分析:根据三角形法则,写出 的表示式,根据点 D 的位置,得到 与 之间的关系, = , = .若点 D 满足 =2 ,则 = + (用 b,c 表

根据向量的减法运算,写出最后结果. 解答: 解:如图所示,在△ABC 中, 又 ∵ ∴ 故答案为: + = + ( ﹣ )= + . ,∴ .

点评:本题考查向量的加减运算, 考查三角形法则, 是一个基础题, 是解决其他问题的基础, 若单独出现在试卷上,则是一个送分题目. 12.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,则 a 的取值 范围是 .

考点:函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析:根据 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,严格应用函数的单调性.要注意定义域. 解答: 解:∵f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1)



,∴

故答案为: 点评:本题主要考查应用单调性解题,一定要注意变量的取值范围.

13.已知向量

满足|2 +3 |=1,则 ? 最大值为



考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:利用 = 即可得出.

解答: 解:∵ 当且仅当 ∴ ? 最大值为 故答案为: . ,且 . 时,上式等号成立.



点评:本题考查了数量积运算及其性质,属于基础题.

14.非零向量



为不共线向量

, 满足 =2



, =k

+

,若 与 共线,

则实数 k 的值是 ﹣2 . 考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量共线的充要条件列出方程,利用平面向量的基本定理求出 k. 解答: 解: 与 共线则存在 λ 使 ∴ , =λ ,即 2 ﹣ =λ(k + ) ,

解得 k=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评:本题考查向量共线的充要条件、平面向量的基本定理,考查计算能力.

15.已知函数 f(x)=

有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是

( ,1) .

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 2 分析:由题意可得,a>0 且 y=ax +2x+1 在(﹣2,0)上有 2 个零点,再利用二次函数的 性质求得 a 的范围.

解答: 解:∵函数 f(x)= ∴a>0 且 y=ax +2x+1 在(﹣2,0)上有 2 个零点,
2

有 3 个零点,





解得

<a<1,

故答案为: ( ,1) .

点评:本题主要考查函数零点的定义,二次函数的性质应用,属于基础题. 三、解答题(75 分) 16. 已知数列{dn}满足 dn=n, 等比数列{an}为递增数列, 且 a5 =a10, 2 (an+an+2) =5an+1, n∈N . (Ⅰ)求 an; n * (Ⅱ)令 cn=1﹣(﹣1) an,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N )的解集为 M,求所有 dk+ak (k∈M)的和. 考点:数列递推式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析: (I)设{an}的首项为 a1,公比为 q,利用等比数列的通项公式及 a5 =a10,即可解 * 得 q 与 a1 的关系,再利用 2(an+an+2)=5an+1,n∈N .即可解得 q. (II)由(I)可得: n 为奇数,
n 2 *

,dn=n.当 n 为偶数,不成立.当 ,即 2 ≥2013,可得:n=2m+1,5≤m≤49.可知:{dk}组成首项
11

为 11,公差为 2 的等差数列;数列{ak}(k∈M)组成首项为 2 ,公比为 4 的等比数列.利 用其前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公比为 q≠0, 2 ∵a5 =a10,



,解得 a1=q.

又∵2(an+an+2)=5an+1, ∴ ∵an≠0, ∴2(1+q )=5q,2q ﹣5q+2=0,解得 ∴ (Ⅱ)由(I)可得: 当 n 为偶数, 当 n 为奇数,
10 11 2 2



(舍)或 q=2.

. ,dn=n. ,即 2 ≤﹣2013,不成立 ,即 2 ≥2013,
n n

∵2 =1024,2 =2048, ∴n=2m+1,5≤m≤49. 则{dk}组成首项为 11,公差为 2 的等差数列; 11 数列{ak}(k∈M)组成首项为 2 ,公比为 4 的等比数列. 则所有 dk+ak(k∈M)的和为 . 点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 分类讨论等基础知识 与基本技能方法,属于难题. 17. 如图, 已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长是 2, D、 E 是 CC1、 BC 的中点, AE=DE (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 表面积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 设正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为 x, 取 BC 中点 E, 连结 AE. 在 Rt△AED 中列出关于 x 的方程求解 (2)根据棱柱的表面积和体积公式计算即可. 解答: 解: (1)设正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为 x,

取 BC 中点 E,连结 AE. ∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC.…(2 分) 又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C.连结 ED, 在 Rt△AED 中,由 AE=DE,得 解得 …(6 分) ,…(4 分)

(2)S=S 侧+S 底…(8 分)

…(12 分)



.…(14 分)

点评:本题考查空间几何体的表面积和体积,要具备空间想象能力、计算能力. 18.有三个生活小区,分别位于 A,B,C 三点处,且 , .今计划 合建一个变电站,为同时方便三个小区,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处,建立坐标 系如图,且 .

(Ⅰ)若希望变电站 P 到三个小区的距离和最小,点 P 应位于何处? (Ⅱ)若希望点 P 到三个小区的最远距离为最小,点 P 应位于何处?

考点:两点间距离公式的应用;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)方法一:∠PBO=α,表示出点 P 到 A,B,C 的距离之和为 y,利用导数, 求出函数的最小值;

方法二:设点 P(0,b) (0≤b≤40) ,P 到 A,B,C 的距离之和为 ,再利用导数求出函数的最小值. (Ⅱ)设点 P(0,b) (0≤b≤40) ,则|PA|=40﹣b,点 P 到 A,B,C 三点的最远距离为 g(b) 求出 g(b)= ,当 0≤b≤5 时,g(b)=40﹣b 在[0,5]上是减函数, 在(5,40]上是增函数,推出 g(b)>g(5)=35,得

当 5<b≤40 时,

到当 b=5 时,g(b)min=35,这时点 P 在 OA 上距 O 点 5km. 解答: 解:在 Rt△AOB 中,y=k2x,则 (Ⅰ)方法一:∠PBO=α( 点 P 到 A, B, C 的距离之和为 ) , (5 (1 分)

分)

,令 y′=0 即



又 当 ∴当 此时

,从而 时,y′<0;当 时, , 时,y'>0. 取得最小值

即点 P 为 OA 的中点. (8 分) 方法二:设点 P(0,b) (0≤b≤40) , 则 P 到 A,B,C 的距离之和为 求导得 (5 分) ,

由 f'(b)=0 即

,解得 b=20

当 0≤b<20 时,f′(b)<0;当 20<b≤40 时,f'(b)>0 ∴当 b=20 时,f(b)取得最小值,此时点 P 为 OA 的中点. (8 分) (Ⅱ)设点 P(0,b) (0≤b≤40) ,则|PA|=40﹣b, 点 P 到 A,B,C 三点的最远距离为 g(b) ①若|PA|≥|PB|即 ,则 g(b)=40﹣b;

②若|PA|<|PB|即

,则



∴g(b)=

(11 分)

当 0≤b≤5 时,g(b)=40﹣b 在[0,5]上是减函数,∴g(b)min=g(5)=35 当 5<b≤40 时, 在(5,40]上是增函数,∴g(b)>g(5)=35

∴当 b=5 时,g(b)min=35,这时点 P 在 OA 上距 O 点 5km. (14 分)

点评:本题考查两点间距离公式的应用, 利用导数求闭区间上函数的最值, 考查分析问题解 决问题的能力,是中档题. 19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 A=45°, (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)设 a=5,求△ABC 的面积. 考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 专题:计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ) ,可求 sinB,然后由 sinC=sin(A+B)展开可求 可求 b,代入三角形的面积公式 S= 即可求



(Ⅱ)法一:由正弦定理得,b= 解

法二:同法一利用正弦定理可求 c,代入 S= 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ∴ (或: ,

即可求解



(Ⅱ)法一:由正弦定理得,





法二:由正弦定理得,







点评:本题主要考查了同角平方关系及两角和与差的正切公式,正弦定理及 三角形的面积 公式的应用

20.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; (2)求证:{

(n∈N )

*

+ }是等比数列,并求{an}的通项公式 an;
n

(3)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)? <Tn+
*

?an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1) λ

n

对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 a1=1,an+1= ,可求 a2,a3; + }是等比数列,由等比数列的

(2)把题目给出的数列递推式取倒数,即可证明数列{ 通项公式求得 + ,则数列{an}的通项 an 的通项可求;
n

(3)把数列{an}的通项 an 代入 bn=(3 ﹣1)? 和为 Tn,对 n 分类,则答案可求. 解答: 解: (1) …(2 分)

?an,由错位相减法求得数列{bn}的前 n 项

(2)由



即 又 所以

…(4 分)

是以 为首项,3 为公比的等比数列.…(6 分)

所以



…(8 分)

(3)

…(9 分)

=

两式相减得



∴ ∴ 若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则

…(11 分)



∴﹣2<λ<3…(14 分) 点评: 本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的前 n 项和,考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不等式,是中档题. 21.已知点 P(﹣2,﹣3) ,圆 C: (x﹣4) +(y﹣2) =9,过 P 点作圆 C 的两条切线,切 点分别为 A、B (1)求过 P、A、B 三点的外接圆的方程; (2)求直线 AB 的方程. 考点:圆的一般方程;直线的一般式方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (1)连结 CA、CB.由平面几何知, CA⊥PA,CB⊥PB.这些点 P、A、C、B 共圆,且 CP 为直径.这也是过三点 A、B、PP 的圆; 2 2 2 2 (2)由 x +y ﹣2x+y﹣14=0 与(x﹣4) +(y﹣2) =9 相减,得直线 AB 的方程.
2 2

解答: 解: (1)如图所示,连结 CA、CB.由平面几何知, CA⊥PA,CB⊥PB.这些点 P、A、C、B 共圆,且 CP 为直径.这也是过三点 A、B、PP 的圆. ∵P(﹣2,﹣3) ,圆心坐标为 C(4,2) ,? 2 2 ∴所求圆的方程为(x+2) (x﹣4)+(y+3) ( y﹣2)=0,即 x +y ﹣2x+y﹣14=0. (2)直线 AB 即为这两个圆的公共弦所在直线. 2 2 2 2 由 x +y ﹣2x+y﹣14=0 与(x﹣4) +(y﹣2) =9 相减,得 6x+5y﹣25=0.

点评:本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,正确求出过 P、A、B 三点的外接圆的方 程是关键.


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