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北师大版高中数学必修1模块综合测试卷(一)


模块综合评估(一)
时限:120分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则( A.M?N C.M∩N={2,3} B.N?M D.M∪N={1,4} ) 满分:150分

解析:根据集合 M,N 的元素可知,二者没有包含关系,故 A, B 都不正确;M∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3},故 C 正确;M∪N= {1,2,3,4},故 D 不正确. 答案:C 2.已知集合 A={x|x2-1=0},则下列式子表示正确的个数为 ( ) ①1∈A;②{-1}∈A;③??A;④{1,-1}?A. A.1 B.2 C.3 D.4

解析:集合 A={x|x2-1=0}={-1,1},则 1∈A,??A,{1,- 1}?A,即①③④正确 答案:C 3.(2012· 山东卷)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B ={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} C.{0,2,4} ) B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

解析:易得?UA={0,4},从而(?UA)∪B={0,2,4}. 答案:C 4.下列等式中,正确的是( )

4 A. a4=a C.a0=1

6 3 B. ?-2?2= -2 D. 10 1 ? 2-1?5=( 2-1)2

6 3 4 解析: a4=|a|,故 A 不正确;∵ ?-2?2>0, -2<0, 6 3 ∴ ?-2?2≠ -2,B 不正确;若 a=0,则 a0 没有意义,C 不正 确;∵ 2>1,∴ 10 5 1 ? 2-1?5=( 2-1)10=( 2-1)2,

∴D 正确,选 D. 答案:D
x-1 ? ?2e ,x<2 5.设 f(x)=? ,则 f[f(2)]=( x ? ?log3?2 -1?,x≥2

)

A.0 C.2 解析:∵f(2)=log3(22-1)=1, ∴f[f(2)]=f(1)=2e1-1=2. 答案:C

B.1 D.3

6.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(3)· g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图像可能是( )

解析:f(x)=ax 与 g(x)=logax 有相同的单调性,排除 A,D;又 当 a>1 时,f(3)· g(3)>0,排除 B,当 0<a<1 时,f(3)· g(3)<0,选 C. 答案:C

7.下列函数在(0,+∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的 是( ) A.y=x
2 3

?1? B.y=?2?x ? ?

C.y=lnx
? ?

D.y=x2+2x+3

?1? 解析:y=?2?x 与 y=lnx 不具有奇偶性,排除 B、C;又 y=x2+

2x+3 对称轴为 x=-1,不是偶函数,排除 D;y=x 上是增函数且在定义域 R 上是偶函数,选 A. 答案:A

2 3

在(0,+∞)

8.函数 y=x2-3 在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度 0.1)是 ( ) A.1.55 C.1.75 B.1.65 D.1.85

解析:经计算知函数零点的近似值可取为 1.75. 答案:C 9.(2012· 天津改编)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内 是增函数的为( )

A.y=|lgx|,x∈(0,+∞) B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 ex-e-x C.y= 2 ,x∈R D.y=x3+1,x∈R 解析:显然 y=|lgx|,x∈(0,+∞)的定义域关于原点不对称,因 此不具有奇偶性;依据 y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 的图像可得它既是偶

ex-e-x 函数,又在区间(1,2)内是增函数;y= 2 ,x∈R 是奇函数;y=x3 +1,x∈R 不具有奇偶性. 答案:B 10. 已知函数 f(x)是偶函数, 在[0, +∞)上是减函数, 若 f(lgx)>f(1), 则 x 的取值范围是(
?1 ? A.?10,1? ? ? ? ?1 ? C.?10,10? ?

) 1? ? B.?0,10?∪(1,+∞)
? ?

D.(0,1)∪(10,+∞)

解析:因为 f(x)是偶函数,在[0,+∞)上是减函数,所以函数 f(x) 在(-∞,0]上是增函数,故 f(lgx)>f(1)可以转化为-1<lgx<1,依据对 1 数函数的性质可得10<x<10. 答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则 实数 a 的值为________. 解析:依据交集的概念可得 3 为集合 A,B 的公共元素,所以 3 ∈B.因为 a2+4≥4,所以 a+2=3,解得 a=1. 答案:1 12.函数 y= 解析:由 log1
2

log1 ?5x-3?的定义域为________.
2

(5x-3)≥0,得:0<5x-3≤1,

?3 4? 3 4 ∴5<x≤5,函数的定义域为?5,5?. ? ? ?3 4? 答案:?5,5? ? ?

13.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(a-2)<f(1-a), 则 a 的取值范围是________. -1≤a-2≤1 ? ? 解析:由题意知?-1≤1-a≤1, ? ?a-2<1-a 3 3 解得 1≤a<2.故 a 的取值范围是 1≤a<2. 3? ? 答案:?1,2?
? ?

14.若函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为 ________. 解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为 g(x)=x 是奇函数,f(x) =g(x)h(x)是偶函数,所以 h(x)=ex+ae-x 也为奇函数,又函数 h(x)的 定义域为 R,所以 h(0)=e0+ae0=0,所以 a=-1. 答案:-1 15.下列四个结论中正确的有________(填序号). ①函数 f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞); ②若幂函数 y=f(x)的图像经过点(2,4),则该函数为偶函数; ③函数 y=5|x|的值域是(0,+∞); ④函数 f(x)=x+2x 在(-1,0)内有且只有一个零点.
? ?x+1>0 解析:对于①,由题意得? ,解得 x>1,故①正确;∵f(x) ? ?x-1>0

=xα 的图像过点(2,4), ∴2α=4,∴α=2,∴f(x)=x2, 为偶函数,故②正确;∵|x|≥0, ∴y=5|x|≥1,∴函数 y=5|x|的值域是[1,+∞),故③不正确;

1 ∵f(-1)=-1+2-1=-2<0,f(0)=0+20=1>0, ∴f(x)=x+2x 在(-1,0)内至少有一个零点,又 f(x)=x+2x 为增函 数, ∴f(x)=x+2x 在(-1,0)内有且只有一个零点,故④正确. 答案:①②④ 三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的 不得分,共 75 分) 16.(12 分)已知集合 A={x|a-1<x<2a+1},B={x|0<x<1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 解:∵A∩B=?,且 B 不为空集,因此依据 A 是否为空集分两种 情况讨论: (1)当 A=?时,由 2a+1≤a-1,得 a≤-2; (2)当 A≠?时,由 2a+1>a-1,得 a>-2. 1 ∵A∩B=?,则有 2a+1≤0 或 a-1≥1,即 a≤-2或 a≥2, 1 ∴-2<a≤-2或 a≥2. 1 综上可知 a≤-2或 a≥2. 17.(12 分)(1)计算: 1 2 (2)设 4a=5b=m,且a+b=1,求 m 的值. 解:

18.(12 分)设函数 f(x)=2x-4,g(x)=-x+4, (1)求 f(1),g(1),f(1)g(1)的值; (2)求函数 y=f(x)g(x)的解析式,并求此函数的零点; (3)写出函数 y=f(x)g(x)的单调区间. 解:(1)f(1)=2-4=-2,g(1)=-1+4=3, f(1)g(1)=-2×3=-6. (2)∵f(x)=2x-4,g(x)=-x+4, ∴y=f(x)g(x)=(2x-4)(-x+4). 令(2x-4)(-x+4)=0, 解得 x=2 或 x=4, 即此函数的零点是 2,4. (3)y=f(x)g(x)=(2x-4)(-x+4) =-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2, 此函数是二次函数,图像开口向下,对称轴是直线 x=3,则函 数 y=f(x)g(x)的单调递增区间是(-∞, 3], 单调递减区间是(3, +∞). 19.(12 分)已知集合 A={x|2≤x≤π},定义在集合 A 上的函数 y =logax 的最大值比最小值大 1,求 a 的值.

解:(1)当 a>1 时,由题意得 logaπ-loga2=1 π π π ∴a=2,又2>1,∴a=2符合题意. (2)当 0<a<1 时,loga2-logaπ=1, 2 a=π, 2 2 ∵0<π<1,∴a=π符合题意. π 2 综上所述,a 的值为2或π. 1 20.(13 分)已知函数 f(x)=a- x . 2 +1 (1)求证:不论 a 为何实数,f(x)在 R 上总为增函数; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x)的值域. 解:(1)∵f(x)的定义域为 R,设 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) x 1 x2 2 -2 =a- x -a+ x = x1 x2 1 2 2 +1 2 +1 ?1+2 ??1+2 ? 1 1 x1 x2 x1 x2 ∵x1<x2,∴2 -2 <0,(1+2 )(1+2 )>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数. (2)∵f(x)为奇函数, 1 1 ∴f(-x)=-f(x),即 a- -x =-a+ x 2 +1 2 +1 1 解得:a=2.

1 1 (3)由(2)知 f(x)=2- x , 2 +1 1 ∵2x+1>1,∴0< x <1, 2 +1 1 1 1 ∴-1<- x <0,∴-2<f(x)<2. 2 +1
? 1 1? 故函数 f(x)的值域为?-2,2?. ? ?

21.(14 分)函数 f(x)对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)>0. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)证明:f(x)在(-∞,+∞)内是增函数; (3)若 f(2x)>f(x+3),试求 x 的取值范围. 解:(1)证明:∵x∈R, ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称, 令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0, 令 x=-y,则 f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(x)=-f(-x), ∴函数 f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1,x2 是(-∞,+∞)内任意两实数,且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1), ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数. (3)∵函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,且 f(2x)>f(x+3), ∴2x>x+3, ∴x>3, ∴x 的取值范围为(3,+∞).


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